Chapter Objectives Concept of moment of a force in two and three dimensions (หลักการสำหรับโมเมนต์ของแรงใน 2 และ 3 มิติ ) Method for finding the moment of a force about a specified axis. (วิธีการหาโมเมนต์ของแรงรอบแกน) Define the moment of a couple. (นิยามของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ) Determine the resultants of non-concurrent force systems (การหาแรงลัพท์ของระบบแรงที่ไม่มีจุดร่วมกัน) Reduce a simple distributed loading to a resultant force having a specified location (การลดรูปของแรงแผ่กระจายให้เป็นแรงลัพท์กระทำที่จุดหนึ่ง)

Chapter Outline Moment of a Force – Scalar Formation Cross Product Moment of Force – Vector Formulation Principle of Moments Moment of a Force about a Specified Axis Moment of a Couple Simplification of a Force and Couple System Further Simplification of a Force and Couple System Reduction of a Simple Distributed Loading Moment is a combination of a physical quantity and a distance. = the product of quantity (as a force) and the distance to a particular axis or point.

4.1 Moment of a Force – Scalar Formation โมเมนต์ของแรงรอบจุด หรือ แกน ใด ๆ คือ ปริมาณของความพยายามที่จะหมุนวัตถุรอบจุด หรือแกนนั้น แรงบิด (Torque) คือความพยายามที่จะหมุนที่เกิดจากแรง Fx หรือเรียกว่าโมเมนต์ (MO) z

4.1 Moment of a Force – Scalar Formation ขนาด ขนาดของ MO (โมเมนต์รอบจุด O เนื่องจากแรง F) คือ โดยที่ d = ระยะทางที่วัดตั้งฉาก ระหว่างจุด O กับแนวเส้นของแรง ทิศทาง กำหนดทิศทางตาม กฎมือขวา (right hand rule)

4.1 Moment of a Force – Scalar Formation โมเมนต์ลัพท์ (Resultant Moment) โมเมนต์ลัพท์, MRo = ผลรวมโมเมนต์เนื่องจากทุกแรง

Example 4.1 For each case, determine the moment of the force about point O. Line of action is extended as a dashed line to establish moment arm d. Tendency to rotate is indicated and the orbit is shown as a curl.

Solution

Example 4.2 Determine the resultant moment of the forces about point O. Assume positive moment as counter-clockwise;

4.2 Cross Product ขนาด ขนาดของ C ได้จากพิจารณาผลคูณของขนาด Cross product ของเวกเตอร์ A และ B ได้ผลเป็นเวกเตอร์ C C = A X B ขนาด ขนาดของ C ได้จากพิจารณาผลคูณของขนาด ของ A กับ B และมุมระหว่างหางของเวกเตอร์ ทั้งสอง θ, โดยที่ 0°≤ θ ≤ 180° C = AB sinθ

4.2 Cross Product ทิศทาง เวกเตอร์ C มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์ A กับ B ตามกฎมือขวา (กวาดมือขวาจาก A ไป B ได้ทิศตามนิ้วโป้ง) แสดงเวกเตอร์ C ด้วยค่าขนาด และทิศทาง C = A X B = (AB sin θ)uC uC คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามทิศของกฎมือขวา

4.2 Cross Product Laws of Operations แต่ 1. Commutative law ใช้ไม่ได้ A X B ≠ B X A แต่ A X B = - (B X A) Cross product B X A ให้ผลเป็น เวกเตอร์ที่มีทิศตรงข้ามกับ C B X A = -C

4.2 Cross Product Laws of Operations 2. Multiplication by a Scalar a( A X B ) = (aA) X B = A X (aB) = ( A X B )a 3. Distributive Law A X (B + D) = (A X B) + (A X D) And (B + D) X A = (B X A) + (D X A) ลำดับของเวกเตอร์ต้อง cross กันอย่างถูกต้อง เพราะสลับที่กันไม่ได้

4.2 Cross Product Cartesian Vector Formulation i j k

4.2 Cross Product Cartesian Vector Formulation A more compact determinant in the form as

4.3 Moment of Force - Vector Formulation โมเมนต์ของแรง F รอบจุด O สามารถหาได้จาก cross product MO = r X F ขนาด ขนาดของ cross product, MO = rF sin θ พิจารณาว่า F หรือ r สามารถเลื่อนตามแนวได้ (sliding vector) และ d = r sinθ, MO = rF sinθ = F (rsinθ) = Fd ทิศทาง ทิศทางและแนวของ MO สามารถหาได้จากกฎมือขวา *Note: - การกวาดนิ้วให้กวาดจาก r ไป F และนิ้วโป้งแสดงทิศของโมเมนต์

4.3 Moment of Force - Vector Formulation Principle of Transmissibility สำหรับแรง F กระทำที่จุด A ใดๆ, โมเมนต์รอบจุด O คือ MO = rA x F F มีคุณสมบัติที่เลื่อนตามแนวได้ MO = r1 X F = r2 X F = r3 X F

4.3 Moment of Force - Vector Formulation Cartesian Vector Formulation For force expressed in Cartesian form, หาค่า determinant, MO = (ryFz – rzFy)i + (rzFx - rxFz)j + (rxFy – ryFx)k

4.3 Moment of Force - Vector Formulation โมเมนต์ลัพท์สำหรับระบบแรง โมเมนต์ลัพท์รอบจุด O สามารถหาได้จากการรวมเวกเตอร์ MRo = ∑(r x F)

Example 4.4 Two forces act on the rod. Determine the resultant moment they create about the flange at O. Express the result as a Cartesian vector. A (0, 5, 0) B (4, 5, -2)

Solution Position vectors are directed from point O to each force as shown. These vectors are The resultant moment about O is

4.4 Principles of Moments จาก F = F1 + F2 Varignon’s Theorem “โมเมนต์ของแรงลัพท์รอบจุดมีค่าเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ย่อยจากแต่ละแรงย่อยรอบจุดนั้น” จาก F = F1 + F2

Example 4.5 Determine the moment of the force about point O.

Solution The moment arm d can be found from trigonometry, Since the force tends to rotate or orbit clockwise about point O, the moment is directed into the page. or

4.5 Moment of a Force about a Specified Axis โมเมนต์ของแรงรอบจุดมีทิศทางพุ่งตั้งฉากกับระนาบที่มีแนวของระยะทางและแรงนั้น การหาองค์ประกอบของโมเมนต์รอบแนวแกนใด ๆ ที่สนใจ สามารถหาได้จากการวิเคราะห์แบบสเกลลาร์ หรือ การวิเคราะห์แบบเวกเตอร์ เช่น ต้องการหา My จาก Mo

4.5 Moment of a Force about a Specified Axis การวิเคราะห์แบบสเกลลาร์ ตามกฎมือขวา My มีทิศตามแกนบวกของ y และ สำหรับแกน a ใดๆ ที่สนใจ แรงจะไม่ทำให้เกิดโมเมนต์ รอบแกนใดๆ ถ้าแนวของแรงขนานหรือเป็นแนว เดียวกับแกนนั้น

4.5 Moment of a Force about a Specified Axis การวิเคราะห์แบบเวกเตอร์ เริ่มได้จากการหาโมเมนต์รอบจุด O องค์ประกอบตามแกน y หาได้จาก projection บนแกน y สำหรับแกน a ใดๆ ที่สนใจ

4.5 Moment of a Force about a Specified Axis การวิเคราะห์แบบเวกเตอร์ คือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกน a คือองค์ประกอบของเวกเตอร์บอกตำแหน่งที่ลากจาก จุดใดๆ O บนแกน ไปยังจุดใด ๆ A บนแนวของแรง (โมเมนต์รอบแกนที่สนใจ ไม่ใช่รอบจุดที่สนใจ)

4.5 Moment of a Force about a Specified Axis การวิเคราะห์แบบเวกเตอร์ In determinant form, ถ้าผลมีเครื่องหมายบวก หมายถึงแนวของโมเมนต์เหมือนกับแนวบวกของแกนนั้น จากนั้น

Example 4.8 Determine the moment produced by the force F which tends to rotate the rod about the AB axis. A (0, 0, 0) B (0.4, 0.2 0)

Solution Unit vector defines the direction of the AB axis of the rod, where rC or rD can be used For simplicity, choose rD The force is

Solution

Check for different position vector r Using FD F (-0.8, -0.4 ,0) Using ED D (0.6,0,0) E (0.8, 0.4 ,0)

4.6 Moment of a Couple แรงขนานกัน 2 ตัว มีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงกันข้าม ระยะห่างในแนวตั้งฉากระหว่างแรงคือ d แรงลัพท์ = 0 พยายามที่จะทำให้หมุนในแนวหนึ่ง ๆ โมเมนต์ของแรงคู่ควบ คือ ผลรวมของโมเมนต์เนื่องจากแรงทั้งสองรอบจุดหนึ่ง ๆ

4.6 Moment of a Couple โมเมนต์ของแรงคู่ควบ เป็น เวกเตอร์อิสระ (Free vector) เนื่องจากขึ้นกับ r ระหว่างสองแรงเท่านั้น ให้ไปกระทำที่จุดใดก็ได้ผลเท่ากัน (ต่างจากโมเมนต์ของแรง ที่ขึ้นกับจุดที่สนใจในการหาค่ารอบจุดนั้นๆ)

4.6 Moment of a Couple รูปแบบสเกลลาร์ Magnitude of couple moment M = Fd Direction and sense are determined by right hand rule M acts perpendicular to plane containing the forces

4.6 Moment of a Couple รูปแบบเวกเตอร์ For couple moment, M = r X F หากคิดรอบจุด A, โมเมนต์เนื่องจากแรง –F มีค่าเป็นศูนย์ r คูณ cross กับแรงตัวที่ r นั้นชี้ไป

4.6 Moment of a Couple Equivalent Couples (แรงคู่ควบเทียบเท่า) แรงคู่ควบ 2 ชุด เทียบเท่ากันหากมันทำให้เกิดโมเมนต์เดียวกัน แรงที่ทำให้เกิดแรงคู่ควบที่เท่ากันต้องวางอยู่บนระนาบเดียวกัน หรือระนาบที่ขนานกัน

ผลลัพท์ของโมเมนต์แรงคู่ควบ 4.6 Moment of a Couple ผลลัพท์ของโมเมนต์แรงคู่ควบ โมเมนต์แรงคู่ควบเป็นเวกเตอร์อิสระและหาผลรวมตามหลักเวกเตอร์ โมเมนต์แรงคู่ควบสำหรับ 2 แรงที่จุด P, MR = M1 + M2 สำหรับกรณีทั่วไป, MR = ∑(r X F)

Example 4.12 Determine the couple moment acting on the pipe. Segment AB is directed 30° below the x–y plane.

SOLUTION I (VECTOR ANALYSIS) Take moment about point O, Take moment about point A

SOLUTION II (SCALAR ANALYSIS) Take moment about point A or B, Apply right hand rule, M acts in the –j direction

4.7 Simplification of a Force and Couple System ระบบแรงและโมเมนต์เทียบเท่าคือให้ ผลภายนอก เท่ากันกับผลจากระบบแรงและโมเมนต์ที่สนใจตอนแรกนั้น ผลภายนอก หมายถึง ความพยายามที่จะเคลื่อนที่หรือหมุนของวัตถุ หรือเรียกว่า reactive forces ที่จุดรองรับหากวัตถุนั้นถูกยึดจับไว้ Original system + Opposite actions Equivalent system Principle of Transmissibility

4.7 Simplification of a Force and Couple System พิจารณาระบบที่มีแรง F1 F2 และ โมเมนต์คู่ควบ M กระทำ สามารถย้ายแรงไปจุด O ได้ โดยเกิดผลเป็นโมเมนต์คู่ควบ MO เพิ่มเติมคือ M1=r1xF1 รวมกับ M2=r2xF2 ระบบแรงเทียบเท่าที่กระทำที่จุด O และผลลัพท์ของโมเมนต์คู่ควบเขียนได้เป็น สำหรับกรณี 2 มิติ บนระนาบx–y และโมเมนต์คู่ควบตั้งฉากกับระนาบนี้,

4.7 Simplification of a Force and Couple System Procedure for Analysis สร้างระบบพิกัดที่มีจุด origin อยู่ที่ O และแกนชี้ไปทางทิศที่สนใจ รวมแรง รวมโมเมนต์

Example 4.16 A structural member is subjected to a couple moment M and forces F1 and F2. Replace this system with an equivalent resultant force and couple moment acting at its base, point O.

Solution Express the forces and couple moments as Cartesian vectors.

Solution Force Summation.

4.8 Further Simplification of a Force and Couple System ระบบแรงและโมเมนต์คู่ควบใด ๆ สามารถแปลงให้เป็น แรงหนึ่งตัวกระทำที่จุด O (FR) และ โมเมนต์คู่ควบหนึ่งตัว (MR)O สามารถทำการแปลงต่ออีกให้ได้เป็นแรงเพียงตัวเดียวเท่านั้น หากแนวของ FR และ (MR)O ตั้งฉากกัน ได้แก่ ระบบแรงที่มีจุดร่วมกัน ระบบแรงบนระนาบ ระบบแรงที่ขนานกัน

4.8 Further Simplification of a Force and Couple System Concurrent Force System (ระบบแรงที่มีจุดร่วมกัน) แนวของแรงทุกตัวตัดกันที่จุดร่วม O ไม่เกิดโมเมนต์เนื่องจากแรงลัพท์ จึงแทนได้ด้วยแรงลัพท์นั้นเพียงตัวเดียว

4.8 Further Simplification of a Force and Couple System Coplanar Force System (ระบบแรงบนระนาบ) แรงทุกตัวอยู่บนบนระนาบเดียวกัน โมเมนต์ของแรงเหล่านั้น และโมเมนต์ลัพท์ตั้งฉากกับระนาบ โมเมนต์ลัพท์สามารถแทนด้วยแรงที่เลื่อนตั้งฉากออกไปด้วยระยะ d แนวของ FR และ (MR)O ตั้งฉากกัน

4.8 Further Simplification of a Force and Couple System Parallel Force System (ระบบแรงที่ขนานกัน) ตัวอย่าง แรงทั้งหมดขนานกับแกน z แรงลัพท์ก็ขนานกับแกนนี้ โมเมนต์ของแรงเหล่านั้น และโมเมนต์ลัพท์วางอยู่บนระนาบ โมเมนต์ลัพท์สามารถแทนด้วยแรงที่เลื่อนตั้งฉากออกไปด้วยระยะ d แนวของ FR และ (MR)O ตั้งฉากกัน

4.8 Further Simplification of a Force and Couple System Reduction to a Wrench โดยทั่วไปแนวของ FR และ (MR)O ไม่ตั้งฉากกัน (ลดรูปต่อไม่ได้) (a) แตก (MR)O ออกเป็นแนวตั้งฉากและขนานกับ FR ได้ (M┴ , M ║ ) (b) แทน M┴ ได้ด้วยการย้าย FR ไปจุด P ด้วยระยะ d (c) ย้าย M ║ ไปจุด P ได้เนื่องจากเป็น Free vector FR และ M ║ พยายามที่จะเลื่อนและหมุนวัตถุรอบแกน เรียกว่า Wrench หรือ Screw

Example 4.18 The jib crane is subjected to three coplanar forces. Replace this loading by an equivalent resultant force and specify where the resultant’s line of action intersects the column AB and boom BC. 1.75 kN

Solution Force Summation

Solution For magnitude of resultant force, For direction of resultant force, Assume line of FR (assume y or x)

Solution Moment Summation  Summation of moments about point A,

Solution Moment Summation  Principle of Transmissibility

4.9 Reduction of a Simple Distributed Loading วัตถุที่มีพื้นผิวใหญ่อาจถูกแรงกระทำแบบแผ่กระจาย (distributed loadings) แรงบนพื้นผิวนิยามเป็นความดัน (pressure) หน่วย Pascal (Pa): 1 Pa = 1N/m2 Uniform Loading Along a Single Axis (แรงสม่ำเสมอบนแกนเดียว) พบมากที่สุดในปัญหาทั่วไป

4.9 Reduction of a Simple Distributed Loading Magnitude of Resultant Force ขนาดของส่วนเล็ก ๆ dF หาจากพื้นที่ขนาดเล็กๆของเส้นโค้งของแรงแบบแผ่ dA สำหรับความยาว L, แรงลัพท์ ขนาดของแรงลัพท์เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟของเส้นโค้ง (หรือแผนภาพ) ของแรงแบบแผ่

4.9 Reduction of a Simple Distributed Loading Location of Resultant Force (ระยะ Centroid ) MR = ∑MO dF ทำให้เกิดโมเมนต์ xdF = x w(x) dx รอบจุด O คิดแรงทั้งหมด, Solving for

Ex. Determine the magnitude and location of the equivalent resultant force acting on the shaft. Solution For the small differential area element, For resultant force

Solution For location of line of action, Checking,