การประมาณค่าพารามิเตอร์และ ขนาดของตัวอย่าง

งานนำเสนอเรื่อง: "การประมาณค่าพารามิเตอร์และ ขนาดของตัวอย่าง"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 การประมาณค่าพารามิเตอร์และ ขนาดของตัวอย่าง
บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์และ ขนาดของตัวอย่าง

2 1. ความรู้เบื้องต้น การอนุมานเชิงสถิติ (statistical inference) เป็นกระบวนการใช้ข้อมูลจากตัวอย่าง เพื่อหาข้อสรุปเกี่ยวกับข้อมูลของประชากร เทคนิคของการอนุมานเชิงสถิติสามารถที่จะแบ่งออกเป็นสองส่วนใหญ่ ๆ คือ 2 2

3 1.1 การประมาณค่าพารามิเตอร์
(parameter estimation) 1.2 การทดสอบสมมุติฐาน (Test of Hypothesis)

4 2. การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter estimation)
วิธีการนี้จะเกี่ยวข้องกับการประมาณค่าของพารามิเตอร์ด้วยค่าสถิติที่สมนัยกัน สำหรับการประมาณค่าของพารามิเตอร์นั้น ยังแบ่งออกได้เป็น 2 วิธี ดังนี้ คือ 4

5 2.1 การประมาณค่าแบบจุด (point estimation) 2.2 การประมาณค่าแบบช่วง (interval estimation)

6 3. การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimation)
3. การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimation) ค่าประมาณแบบจุด (point estimate) ของตัวพารามิเตอร์  หมายถึงจำนวนจริงที่มีค่าใกล้เคียงกับค่าของ  ค่าประมาณนี้หาได้โดยการเลือกตัวสถิติที่เหมาะสมแล้วคำนวณค่าของตัวสถิติจากกลุ่มตัวอย่างที่เลือกมา ดังนั้นค่าโดยประมาณนี้จะ เปลี่ยนแปลงไปได้ตามกลุ่มตัวอย่าง 6

7 ส่วนตัวสถิตินั้นจะเรียกว่า ตัวประมาณแบบจุด (point estimator) ของพารามิเตอร์

8 ตัวอย่างของการประมาณค่าแบบจุดเป็นดังนี้
คะแนนสอบวิชา Prob & Stat ของนักศึกษาจำนวน 600 คน มีการแจกแจกแบบปกติด้วยค่าของ mean =  และ variance =  2 ที่ยังไม่ทราบค่า

9 แต่ผู้ตรวจกระดาษคำตอบ ต้องการประมาณค่าของ  และ  2 จึงได้เลือกตัวสถิติเป็น ต่อจากนั้นก็ทำการสุ่มคะแนนนักศึกษามา 10 คน พบว่าคะแนนดังกล่าวเป็นดังนี้ คือ (คะแนนเต็ม 100 คะแนน) 9

10 คำนวณค่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างได้ดังนี้ คือ
10

11 ดังนั้นในที่นี้ estimator = และ estimate =
ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ดังนั้นในที่นี้ estimator = และ estimate = 11

12 ความแปรปรวนตัวอย่าง Estimator = Estimate = 12

13 จากตัวอย่างข้างต้นนักศึกษาพบว่าเราได้ใช้
1) ตัวสถิติ ประมาณค่าเฉลี่ย (ประชากร) 2) ตัวสถิติ ประมาณค่าความแปร- ปรวน (ประชากร)

14 เหตุผลที่เราเลือกตัวประมาณค่าเช่น นี้ เพราะว่าทั้ง และ ต่างก็เป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียง (unbiased estimator) ของทั้ง และ ( นั่นคือ และ ) 14

15 มีคำถามต่อมาก็คือว่าค่าโดยประมาณที่ให้มานี้มีความน่าเชื่อถือมากน้อยเพียง ใด เราจะนำเครื่องมืออะไรมาวัดดี คำตอบก็คือเราสามารถใช้ standard error วัดความเที่ยงตรงของการประมาณค่าแบบจุดได้ * ดังตัวอย่างต่อไปนี้

16 ตัวอย่าง ขอให้พิจารณาคะแนนของนักศึกษา 10 ท่านตามที่กล่าวไว้ในตัวอย่างข้างต้นนั่นคือ
16

17 * โดยบทนิยาม ถ้า เป็นตัวประมาณค่าของ แล้ว Standard error ของ
จะเป็น standard deviation ของ

18 เราได้คำนวณไว้แล้วว่า ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง = 43.40
ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s = สำหรับ standard error ของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง นั้นได้เคยกล่าวถึงไว้แล้วในบทก่อนว่ามีค่าเท่ากับ 18

19 แต่เนื่องจาก  เป็นค่าของประชากรที่เราไม่ทราบ ดังนั้นจึงแทน  ในสมการสุดท้ายด้วย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง คือ s = ผลลัพธ์ก็คือ 19

20 พบว่า standard error มีค่าราว 8

21 กล่าวโดยสรุปเรื่องการประมาณค่าแบบจุด มีดังนี้
1) พารามิเตอร์ : ค่าเฉลี่ยประชากร  ข้อมูล : estimator : 21

22 พารามิเตอร์ : ความแปรปรวนประชากร ข้อมูล : estimator :

23 3) การวัดความน่าเชื่อถือของการประมาณค่า 3.1 ความเอนเอียง
= E[estimator - parameter] 3.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐานของตัวประมาณค่า ซึ่งเราเรียกว่า standard error ในกรณีของ mean 23

24 (Interval Estimation)
4. การประมาณค่าแบบช่วง (Interval Estimation) ในหลายกรณีการประมาณค่าแบบจุดอาจจะไม่ให้ข้อมูลที่เพียงพอเกี่ยวกับตัวพารามิเตอร์ที่เราสนใจ ดังนั้นในบางครั้งเราจึงชอบที่จะประมาณค่าพารามิเตอร์ ด้วยช่วงของจำนวนจริง เรียกช่วงที่ใช้ในการประมาณค่า นี้ว่า ช่วงความเชื่อมั่น (confidence interval) 24

25 และเรายังมีวิธีการควบคุม เพื่อที่จะกำหนดว่าช่วงความเชื่อมั่นที่ได้สร้างขึ้นมานี้ มีระดับความเชื่อมั่น (Level of significance) อยู่ในระดับใด

26 บทนิยาม : ระดับของความเชื่อมั่น (Level of Significance)
บทนิยาม : ระดับของความเชื่อมั่น (Level of Significance) หมายถึง โอกาส (หรือความน่าจะเป็น) ที่พารามิเตอร์ของประชากรจะอยู่ในช่วงความเชื่อมั่นหนึ่ง ตัวอย่างเช่นเราเขียน 26

27 หมายความว่า ความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์ จะอยู่ในช่วง (L,U) มีค่าเท่ากับ หรือกล่าวอีกอย่างหนึ่ง ก็คือค่า ของ  จะอยู่ในช่วง (L,U) ด้วยระดับความเชื่อมั่น 95%

28 รูปข้างล่างนี้แสดงช่วงความเชื่อมั่นต่าง ๆ ที่ใช้ในการประมาณค่าเฉลี่ยประชากร ซึ่งมี true mean = 20
10 15 20 5 25 30 35 Yes Sample number True m = 20 28

29 4.1 การสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยของประชากร
พิจารณาออกได้เป็น 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ : เมื่อขนาดของตัวอย่างเชิง สุ่มมีขนาดใหญ่ n  30 กรณีที่ : เมื่อขนาดของตัวอย่างสุ่ม มีขนาดน้อย n < 30 29

30 4.1.1 การสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย  เมื่อขนาดตัวอย่าง n  30
เราจะเริ่มต้นด้วยการเลือกตัวอย่างเชิงสุ่ม (n  30) มาจากประชากรที่ยังไม่ทราบค่าเฉลี่ย  แต่ขอสมมุติว่าทราบค่าความแปรปรวน แล้วให้ เป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่าง 30

31 จาก ทฤษฎีบทลิมิตเข้าสู่ส่วนกลาง จะได้ว่า ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง มีการแจกแจงโดยประมาณเป็นแบบปกติ นั่นคือ
31

32 ดังนั้น ตัวแปรสุ่ม จึงมีการแจกแจงโดยประมาณแบบปกติ N(0,1)

33 เพราะฉะนั้น เมื่อมีการกำหนดความน่า จะเป็น 1- มาให้ (  เป็นค่าน้อยๆ เช่น 0.01, 0.05 หรือ 0.10) เราสามารถหาค่าจากตารางการแจกแจงแบบปกติได้ ว่าเท่ากับ (1) 33

34 ดูรูปนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว a/2 m L U 1-a -Z a / 2 Z a / 2 Z X 34

35 ขอให้สังเกตว่านิพจน์ในวงเล็บของสมการ(1) สามารถที่จะเขียนใหม่ได้เป็น
35

36 ดังนั้น ความน่าจะเป็นในสมการ (1) จึงเขียนได้ใหม่เป็น
(2) เพราะฉะนั้นช่วงสุ่ม (random interval)สำหรับการประมาณค่า คือ 36

37 เมื่อได้มีการสุ่มตัวอย่างหาค่าเฉลี่ย แล้ว ช่วงสุ่ม (random interval) ก็จะเปลี่ยนเป็นช่วงของจำนวนจริงดังนี้

38 (3) = error =

39 ตามความเป็นจริงแล้วเราก็ไม่ทราบว่าช่วง (3) นี้จะบรรจุค่า  อยู่ด้วยหรือเปล่า แต่เราสามารถที่จะกล่าวออกมาได้โดยอ้าง (2) ว่า “ เรามีความเชื่อมั่นถึง (1-)100% ว่าช่วง (3) จะบรรจุ  อยู่ด้วย ” หรืออาจจะกล่าวอีกอย่างหนึ่งว่าช่วง (3) คือ 39

40 ช่วงความเชื่อมั่น (confidence interval) สำหรับการประมาณค่า  ด้วยระดับความเชื่อ มั่น (1-)100%
ขอให้นักศึกษาสังเกตว่าในการหาช่วงความเชื่อมั่น (3) นั้น ต้องทราบค่าต่อไป นี้ คือ

41 (1) ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ค่านี้หาได้จากการเลือกตัวอย่างเชิงสุ่มขนาด n มา 1 ชุด สมมุติว่าเป็น ต่อจากนั้น ก็คำนวณหาค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

42 (2) ค่า ค่านี้หาได้จากการเปิดตารางการแจกแจงแบบปกติ (ส่วนค่า  นั้นเป็นค่าที่เรากำหนดขึ้นมาเอง ถ้าต้องการให้มีความเชื่อมั่นสูง ก็กำหนด  ให้มีค่าน้อยเพื่อว่า (1-)100% จะได้มีค่ามาก) 42

43 (3) ต้องทราบค่า  ค่านี้เป็นค่าส่วนเบี่ยง เบนของประชากรค่านี้หาได้ลำบากหน่อย เพราะเป็นค่าประชากร แต่ในทางปฏิบัติแล้ว ค่านี้จะได้จากประสบการณ์ในการทำงานเรื่องนั้นจนชำนาญ ก็พอจะคาดเดาค่า  ได้

44 ในกรณีที่ไม่สามารถจะคาดเดาค่า  ได้ ก็ให้ใช้ sample standard deviation
แทน ในกรณีนี้ช่วงความเชื่อมั่น (3) ก็จะเปลี่ยนเป็น (4) 44

45 ตัวอย่างที่ 1 จงเปิดตารางค่าการแจกแจงแบบปกติ N(0,1) เพื่อหาค่าของ เมื่อ  = 0.1 และ  =0.05

46 วิธีทำ กรณีที่ 1 0.05 46

47 สร้างเป็นตารางได้ดังนี้
วิธีทำ กรณีที่ 2 เปิดตารางได้ สร้างเป็นตารางได้ดังนี้ Confidence level 90% 95% 1.645 1.96 47

48 ตัวอย่างที่ 2 โรงงานผลิตสายเบรกแห่งหนึ่งต้องการทราบว่าสายเบรกที่ผลิตได้ จะสามารถรับแรงดึงได้โดยเฉลี่ยเท่าใด เพื่อที่จะประมาณค่าเฉลี่ยของแรงดึงนั้น โดยได้มีการเลือกตัวอย่างเชิงสุ่มมา 32 เส้น แล้วทำการตรวจสอบแรงดึงของ

49 แต่ละเส้นต่อจากนั้นจึงหา sample mean ออกมาได้ = 42,196 ปอนด์
จากประสบการณ์ทางโรงงานทราบว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของแรงดึงมีค่าเท่ากับ 500 ปอนด์ จงประมาณค่าแรงดึงเฉลี่ยของสายเบรคที่ผลิตจากโรงงานนี้ กำหนดให้  = 0.1 49

50 วิธีทำ จะประมาณค่าเฉลี่ย  ด้วยการหาช่วงเชื่อมั่นด้วยสูตร (3) เรามี
วิธีทำ จะประมาณค่าเฉลี่ย  ด้วยการหาช่วงเชื่อมั่นด้วยสูตร (3) เรามี 1) = 42,196 ปอนด์ 2)  = 0.1 , 3)  = 500 ; 50

51 ดังนั้น โดยสูตร (3) confidence interval สำหรับ  ด้วยระดับความเชื่อมั่น 90% คือ

52 กล่าวโดยสรุปก็คือ ค่าของ  จะอยู่ใน ช่วง 42,051 - 42,341 ด้วยระดับความเชื่อมั่น 90%
52

53 การหาขนาดของตัวอย่าง
สูตรของค่าผิดพลาด (error) สามารถใช้ในการหาขนาดของตัวอย่างเพื่อให้เกิด error ไม่เกินข้อกำหนดได้ สมมุติว่าเราต้องการใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเพื่อประมาณค่าเฉลี่ยประชากรและ

54 ต้องการยืนยันว่า error ที่เกิดจากการประมาณนี้มีค่าไม่เกิน E ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1- เราจะคำนวณหาค่าของ n จากการแก้สมการ ได้ค่า 54

55 ตัวอย่าง A researcher wants to deter-mine the average time it takes a mechanic to rotate the tires of a car, and she wants to be able to assert with 95% confi-

56 dence that the mean of her sample is off by at most 0. 5 minutes
dence that the mean of her sample is off by at most 0.5 minutes. If she can presume from past experience that  = 1.6 minutes, how large sam-ples will she have to take? 56

57 วิธีทำ ในโจทย์ข้อนี้ E = 0. 50 ,  = 1
วิธีทำ ในโจทย์ข้อนี้ E = 0.50 ,  = และ แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรเพื่อหา n ได้ ดังนั้นนักวิจัยก็ควรจะเลือกตัวอย่างมาอย่างน้อย 40 คน

58 4.1.2 การสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ
ค่าเฉลี่ยเมื่อขนาดตัวอย่าง n < 30 ในกรณีนี้ต้องสมมุติว่าประชากรที่เราสนใจ มีการแจกแจงแบบปกติด้วย เพื่อว่าตัวแปรสุ่ม จะมีการแจกแจงแบบ t 58

59 ช่วงการประมาณค่าของ  ที่ระดับความ
เชื่อมั่น (1-)100%

60 ตัวอย่าง 3 Consider the following sample of fat content (in percen-tage) of n = 10 randomly selected hot dogs 60

61 Assume that these were selected from a normal population distri-bution.
Find 95% confidence interval for the population mean fat content.

62 วิธีทำ

63 The confidence interval of popula- tion mean fat content is
Point estimate สำหรับโจทย์ข้อนี้ คือ 63

64 5. การสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ สัดส่วนประชากร
ในกรณีที่ข้อมูลไม่ได้เป็นข้อมูลเชิงปริมาณ (ตัวเลข) เราไม่สามารถนำมาหาค่าเฉลี่ยได้ แต่ข้อมูลเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ เช่น ความคิดเห็น คุณภาพของสินค้า เป็นต้น 64

65 ในกรณีเช่นนี้ เมื่อต้องการประมาณค่าสัดส่วนประชากร เราจะให้ p แทนค่าสัด-ส่วนของประชากร ต่อจากนั้นทำการสุ่มตัวอย่างขนาด n และให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทน success ในตัวอย่าง ถ้า n มีขนาดน้อยเมื่อเทียบกับขนาดของประชากร

66 แล้ว ตัวแปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบทวินาม ด้วย
และ นอกจากนี้ถ้า n มีค่ามากพอ ( นั่นคือ np  10 และ nq  10 ) 66

67 โดยที่ q = 1 – p จากทฤษฎีเข้าสู่ส่วน กลางจะได้ว่า X จะมีการแจกแจงโดย ประมาณเป็นแบบปกติ
เราจะเลือกตัวสถิติ เป็น estimator ของ p เนื่องจาก ก็คือ X คูณด้วยค่าคงตัว 1/n ดังนั้น จึงมี

68 การแจกแจงโดยประมาณเป็นแบบปกติ
ด้วย และ

69 นั่นคือ ดังนั้น 69

70 a/2 m L U 1-a -Z a / 2 Z a / 2 Z X 70

71 จากรูปข้างต้นจะได้ว่า
71

72 (5.1) เนื่องจากเราไม่ทราบค่า p , q เราจึงใช้
72

73 หรือเขียนอย่างสั้นๆว่า
หมายเหตุ การประมาณค่าสัดส่วนประชากร จะต้องใช้ตัวอย่างขนาดใหญ่เสมอ เนื่องจากผลสรุปเป็นเปอร์เซนต์จึงไม่มีการใช้สถิติ t

74 ตัวอย่าง 4 There is a reported that in n = 48 trials in a particular laboratory, 16 resulted in ignition of particular type of substrate by a lighted cigarette. Let p denote the long-run proportion of all such trials that would result in ignition.

75 A point estimate for p is
Find a confidence interval for p with  = 75

76 วิธีทำ ในที่นี้ n=48 และ ส่วน
ดังนั้นจึงใช้สูตร (5.1) ได้ช่วงความเชื่อมั่นของ p ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% คือ 76

77 กรุงเทพ ฯ มา 100 คน พบว่าเป็นผู้มีบ้านของตนเอง 60 คน จงประมาณค่า p
ตัวอย่าง 5 ต้องการประมาณค่าสัดส่วนของคนกรุงเทพ ฯ ที่มีบ้านเป็นของตนเองที่ระดับความเชื่อมั่น 90% จึงสุ่มคน กรุงเทพ ฯ มา 100 คน พบว่าเป็นผู้มีบ้านของตนเอง 60 คน จงประมาณค่า p 77

78 จัดว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ดังนั้น
วิธีทำ จัดว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ดังนั้น 78

79 ช่วงของการประมาณค่าที่ระดับความเชื่อมั่น 90% คือ
แทนค่า 79

80 นั่นคือสัดส่วนคนกรุงเทพ ฯ ที่มีบ้านเป็นของตนเองจะอยู่ในช่วง 51
นั่นคือสัดส่วนคนกรุงเทพ ฯ ที่มีบ้านเป็นของตนเองจะอยู่ในช่วง 51.94% ถึง 68.06% ที่ระดับความเชื่อมั่น 90%

81 6. การประมาณค่าแปรปรวนประชากร
ตัวประมาณค่าแบบจุดเราใช้สถิติ ประมาณ โดยที่ 81

82 ให้ เป็นตัวอย่างเชิงสุ่มจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติและมีความแปรปรวน จะได้ว่าตัวแปรสุ่ม
จะมีการแจกแจงแบบไคสแควร์ v = n-1

83 83

84 84

85 ดังนั้น หลังจากที่ได้เลือกตัวอย่างขนาด n และคำนวณค่า แล้ว ช่วงความเชื่อมั่นของ ที่ระดับความเชื่อมั่น (1-)100% คือ 85

86 ตัวอย่าง 5 ถ้าสุ่มตัวอย่างขนาด 31 จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติและคำนวณค่าแปรปรวนตัวอย่างได้ 25 จงประมาณค่าแบบช่วงของ ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% 86

87 วิธีทำ ช่วงของการประมาณค่า ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% คือ
ในที่นี้ 87

88 (ที่องศาอิสระ = = 30)

89 แทนค่าได้ นั่นคือค่าแปรปรวนจะอยู่ในช่วง และ ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% 89

90 แบบฝึกหัดสำหรับบทที่ 7
ข้อ 1. กำหนดให้ เป็นตัวอย่างเชิงสุ่มชุดหนึ่งที่เลือกมาจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบแบร์นูลี B(1, p) ดังนั้น จะมี การแจกแจงแบบทวินาม B(n, p) แล้ว เป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของพารามิเตอร์ p หรือไม่

91 วิธีทำ เนื่องจาก เป็นตัวอย่างเชิงสุ่มชุดหนึ่งที่เลือกมาจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบแบร์นูลี
ดังนั้น 91

92 และ จะมีการแจกแจงแบบทวินาม ดังนั้น
และ จะมีการแจกแจงแบบทวินาม ดังนั้น 92

93 เราต้องการทดสอบว่า จริงหรือไม่
วิธีที่ 1 93

94 วิธีที่ 2 94

95 แสดงว่า เป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียง ของพารามิเตอร์ p
จะเห็นว่าทั้งสองวิธีได้ผลลัพธ์เหมือนกัน แสดงว่า เป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียง ของพารามิเตอร์ p 95

96 ข้อ 2. จากตัวอย่างเกรดเฉลี่ยที่เลือกมาแบบสุ่มของนิสิตปีสุดท้ายจำนวน 36 คน ได้ข้อมูลดังนี้

97

98 จากข้อมูล ค่าของเกรดเฉลี่ยเท่ากับ 2. 6 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 0
จากข้อมูล ค่าของเกรดเฉลี่ยเท่ากับ 2.6 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 0.3 จงหาช่วงความเชื่อมั่น 99% ของเกรดเฉลี่ยของนิสิตปีสุดท้ายทั้งหมด

99 ช่วงความเชื่อมั่น 99% ของ  คือ
วิธีทำ พิจารณา 1. 2. 3. ช่วงความเชื่อมั่น 99% ของ  คือ 99

100

101 ข้อ 3. เพื่อที่จะหาค่าเฉลี่ยของ compressive strength ของแท่งคอน-กรีตที่ผลิตจากโรงงานแห่งหนึ่งวิศวกรโยธาได้เลือก ตัวอย่างเชิงสุ่มแท่งคอนกรีตมา 12 แท่ง แล้วทำการทดสอบหา compressive strength ได้ผลดังนี้

102 จงหาช่วงประมาณค่าเฉลี่ยของ compressive strength ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% 102

103 วิธีทำ 103

104 เนื่องจาก n = 12 < 30 ช่วงความเชื่อมั่นของ  คือ

105 105

106 นั่นคือค่าเฉลี่ยของ compressive strength อยู่ในช่วง 2237. 31 - 2282

107 ข้อ 4. ภาชนะที่ใช้บรรจุกรดกำมะถันมีน้ำหนัก(หน่วยออนซ์) ดังนี้
ข้อ 4. ภาชนะที่ใช้บรรจุกรดกำมะถันมีน้ำหนัก(หน่วยออนซ์) ดังนี้ จงหาช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่า เฉลี่ยของน้ำหนักภาชนะสำหรับบรรจุกรดกำมะถันซึ่งสมมติว่ามีการแจกแจงแบบปกติ 107

108 วิธีทำ 108

109 เนื่องจาก n = 7 < 30 ช่วงความเชื่อมั่นของ  คือ
109

110 ข้อ 5. สมมติว่า การไฟฟ้าฝ่ายผลิตแห่งประเทศไทยต้องการสำรวจความคิดเห็นเกี่ยวกับให้เงินกู้ยืมกับผู้ที่ต้องการเปลี่ยนตู้เย็นไปเป็นรุ่นใหม่ที่ประหยัดพลังงานไฟฟ้า จึงได้ทำการสุ่มตัวอย่างขนาด n = 100 แล้วสอบถามพบว่ามีผู้เห็นด้วย 110

111 กับโครงการนี้เท่ากับ x = 36 คน จงหาว่าช่วงแห่งความเชื่อมั่นสำหรับสัดส่วนประชากรที่เห็นด้วยกับโครงการดังกล่าวที่ระดับความเชื่อมั่น 95%

112 จัดว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ดังนั้น
วิธีทำ จัดว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ดังนั้น 112

113 ช่วงของการประมาณค่าที่ระดับความเชื่อมั่น 95% คือ
แทนค่า 113

114 นั่นคือสัดส่วนประชากรที่เห็นด้วยกับโครงการนี้จะอยู่ในช่วง 26
นั่นคือสัดส่วนประชากรที่เห็นด้วยกับโครงการนี้จะอยู่ในช่วง 26.59% ถึง 45.08% ที่ระดับความเชื่อมั่น 95%

115 ข้อ 6. จากตัวอย่างสุ่มของครอบครัวในเมืองหลวงแห่งหนึ่งมีขนาด n = 500 มีโทรทัศน์ไว้ในครอบครอง 160 ครอบ ครัว จงหาช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับสัดส่วนที่แท้จริงของ ครอบครัวในเมืองหลวงที่มีโทรทัศน์ไว้ในครอบครอง 115

116 จัดว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ดังนั้น
วิธีทำ จัดว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่ ดังนั้น 116

117 ช่วงของการประมาณค่าที่ระดับความเชื่อ มั่น 90% คือ
แทนค่า 117

118 ข้อ 7. สมมติว่าน้ำหนักของแผ่น CD ที่ผลิตจากโรงงานแห่งหนึ่ง มีการแจกแจงแบบปกติ เพื่อที่จะประมาณค่าความแปรปรวน จึงได้สุ่มตัวอย่างแผ่น CD จากโรงงาน 25 แผ่น แล้วตรวจชั่งน้ำหนักคำนวณค่า sample mean 118

119 mm. และ sample standard derivation 0. 8 mm

120 THE END 120