หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้ง สามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเท่ากับ 180 องศา

180 B A C ˆ กำหนดให้ DABCเป็นรูปDใดๆ ต้องการพิสูจน์ว่า + พิสูจน์ สร้าง E A B กำหนดให้ DABCเป็นรูปDใดๆ ต้องการพิสูจน์ว่า = 180 B A C ˆ + พิสูจน์ สร้าง DE//AB DE ผ่านจุดC ให้

A C D ˆ B เนื่องจาก AC เป็นเส้นตัด AB DE และ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

B C E ˆ A 180 A C D ˆ B E = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) = 180 A C D ˆ + B E (ขนาดของมุมตรง)

180 B A C ˆ A C D ˆ B B C E ˆ A 180 B A C ˆ + (แทน ด้วย และ ด้วย ) + = 180 B A C ˆ + (แทน ด้วย และ A C D ˆ B ด้วย ) B C E ˆ A = 180 B A C ˆ + (สมบัติการเท่ากัน)

D C A ˆ D C A ˆ B B C A ˆ D กำหนดD ABC และต่อด้านBC ออก ไปทางจุด C ถึงจุด D A D C A ˆ เรียก ว่ามุมภายนอก ของ D ABC B D C D C A ˆ B เรียก ว่าเป็นมุมประชิด และ B C A ˆ หรือกล่าวว่า เป็นมุมประชิดของ D

ทฤษฎีบท ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของ รูปสามเหลี่ยมออกไป มุม ภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาด เท่ากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไม่ใช่มุม ประชิดของมุมภายนอกนั้น

D C A ˆ D C A ˆ B กำหนดให้ DABCมี เป็นมุม ภายนอกที่ได้จากการต่อ BC = ต้องการพิสูจน์ว่า B +

D C A ˆ 180 B 180 C B A ˆ 180 เนื่องจาก + (ขนาดของมุมตรง) + = 180 + B (ขนาดของมุมตรง) = 180 C B A ˆ + (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 180

D C A ˆ B D C A ˆ B A C B ˆ จะได้ + (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น + = + B (สมบัติของการเท่ากัน) D C A ˆ ดังนั้น = B + (นำ A C B ˆ มาลบทั้งสองข้างสมการ)

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมี มุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่และ ด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากัน คู่หนึ่ง แล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

E, D F ˆ B A C E กำหนดให้ DABC และDDEF มี = และ BC = EF

E, D F ˆ B A C E 180 B A C ˆ 180 เนื่องจาก = (กำหนดให้) + B A C ˆ + (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 180

180 E D F ˆ 180 B A C ˆ E D F + (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ = 180 E D F ˆ + (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 180 = B A C ˆ + E D F (สมบัติการเท่ากัน)

A C B ˆ D F E ดังนั้น = (สมบัติการเท่ากัน) BC = EF (กำหนดให้) ดังนั้น DABC @ DDEF (ม.ด.ม.)

รูปสามเหลี่ยมสองรูปใดมีขนาด ของมุมเท่ากันสองคู่ และมีด้านที่อยู่ ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันคู่หนึ่งแล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนี้เท่ากันทุกประการนั้นมี ความสัมพันธ์แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.)

D O A ˆ 120 D C O ˆ 36 AB//CD ตัวอย่าง กำหนดให้ และมี = AC ตัด ที่จุดO ตัวอย่าง กำหนดให้ และมี D O A ˆ = 120 AC ตัด ที่จุดO BD และ D C O ˆ = 36 จงหาค่า x B X C O 36 36 120 D A

D C O ˆ 36 A B เนื่องจาก มี เป็นเส้นตัด AB//CD AC (กำหนดให้ ) จะได้ = X C O 36 36 120 D A เนื่องจาก มี เป็นเส้นตัด AB//CD AC (กำหนดให้ ) จะได้ D C O ˆ = 36 A B (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

D O A ˆ D O A ˆ C เนื่องจาก เป็น มุมภายนอก DCOD ดังนั้น + B A D O 120 36 X เนื่องจาก D O A ˆ เป็น มุมภายนอก DCOD D O A ˆ ดังนั้น = C + (ขนาดมุมภายนอกของรูปDเท่ากับ ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

120 O D C ˆ 36 O D C ˆ 120 36 O D C ˆ 84 180 O D C ˆ x จะได้ + = - O D C ˆ 36 B X C O 36 O D C ˆ = 120 - 36 36 120 84 D O D C ˆ = 84 A เนื่องจาก + = 180 O D C ˆ x (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียว กันของเส้นตัดเส้นขนานรวมกัน เท่ากับ 180 องศา)

180 x 84 x 180 84 x 96 จะได้ + = - ดังนั้น = = B C O D A X 36 36 120 x 84 x = 180 - 84 ดังนั้น x = 96

68 1.จากรูป กำหนดให้ AB//CD จงหาค่า x AB//CD เนื่องจาก E C B 64 68 x AB//CD เนื่องจาก 68 C A B ˆ E = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) = 68 C A B ˆ (สมบัติการเท่ากัน)

A E C B 64 68 x 68 = 180 C B A ˆ + (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ รูป D รวมกันเท่ากับ ) 180 68 = 64 + x 180 68 = 64 - x 180 = x 48

เป็นมุมฉากจงหาค่า x และ y E C A ˆ AB//CD 2. จากรูป กำหนดให้ มี D E C ˆ และ เป็นมุมฉากจงหาค่า x และ y B A x 105 D y E C

+ วิธีทำ 180 (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมีเส้น ตัดแล้วขนาดของมุม C D B ˆ A + = 180 (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมีเส้น ตัดแล้วขนาดของมุม ภายในข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกัน เท่ากับ 180 องศา) B A x 105 D y E C

+ - 105 180 180 105 75 75 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี B D C A ˆ + = 180 105 A D C A ˆ - = 180 105 x 105 D C A ˆ = 75 D y D C A ˆ x = E C (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) x = 75 (สมบัติการเท่ากัน)

= y y 90 y 75 90 y 75 90 15 นั่นคือ x = 75 , y = 15 D C A ˆ + 90 เนื่องจาก B (ขนาดของมุมฉาก) A x = 90 75 + y 105 D 75 y E = 90 75 - y C y = 15 นั่นคือ x = 75 , y = 15