หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมนอกและมุมภายใน คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมนอกและมุมภายใน สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

และมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และ มุมภายใน ที่อยู่ตรงข้าม ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และ มุมภายใน ที่อยู่ตรงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน

= = = = ˆ 1 5 ˆ 2 6 ˆ 7 3 ˆ 8 4 AB // CD, PQ จากรูป เป็นเส้นตัด จะได้ว่า P 1 ˆ 5 = A B 1 2 2 ˆ 6 = 3 4 7 ˆ 3 = 5 6 C 7 8 D 8 ˆ 4 = Q

F A B ˆ C E A ˆ 52 104 D C E ˆ AB//CD 4. จากรูปกำหนดให้ ถ้า = = และ 4. จากรูปกำหนดให้ ถ้า F A B ˆ C E A ˆ = = 52 104 และ D C E ˆ จงหาขนาดของ F A B 52 G E 104 C D

F A B ˆ 52 C E A ˆ 104 D C E ˆ กำหนดให้ AB//CD, = = และ หาขนาดของ G กำหนดให้ AB//CD, F A B ˆ = 52 C E A ˆ = 104 และ หาขนาดของ D C E ˆ ต้องการพิสูจน์ สร้างเพื่อการพิสูจน์ ลาก EG//AB//CD

B A F ˆ G E G E A ˆ 52 จะได้ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมีเส้นตัด C D 104 52 G (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียว กันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) G E A ˆ = 52 (สมบัติการเท่ากัน)

C E A ˆ 104 G E A ˆ C C E G ˆ 52 C E G ˆ 52 C E G ˆ 52 C E G ˆ D = + = A B F E C D 104 52 G G E A ˆ C + = 104 C E G ˆ + = 104 52 52 C E G ˆ = 104 52 - C E G ˆ = 52 C E G ˆ D + = 180 (มุมภายในบนข้างเดียวกันของเส้นตัด เส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 องศา)

D C E ˆ 52 D C E ˆ 52 D C E ˆ 128 + = 180 = 180 - = A B F E C D G 52 104 52 G 52 D C E ˆ + = 180 52 D C E ˆ = 180 52 - D C E ˆ = 128

E B A ˆ D C B ˆ 6.จากรูปกำหนดให้ ABCD เป็น  คางหมูมี AB//CD = (2x-17) ถ้า D C B ˆ = (x+48) และ จงหาค่า x D C (x+48) B A (2x-17) E

E B A ˆ D C B ˆ กำหนดให้ ABCDเป็น  คางหมู AB//CD, = (2x-17) และ และ D C B ˆ = (x+48) ต้องการพิสูจน์ หาค่าของ x

E B A ˆ C D AB//CD เนื่องจาก จะได้ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้น (x+48) (ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียว กันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) B A (2x-17) E

จะได้ 2x - 17 = x + 48 2x - x -17+17 = x - x +48+17 x = 65 D C (x+48) B A (2x-17) E จะได้ 2x - 17 = x + 48 2x - x -17+17 = x - x +48+17 x = 65

จงพิสูจน์ว่า DABC @ DCDE CB//ED 7.จากรูปกำหนดให้ และ AC = CE จงพิสูจน์ว่า DABC @ DCDE B D A C E

E C D ˆ A B A C B ˆ E D AB//CD เนื่องจาก CB//ED จะได้ = และ = (เส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้น ตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่ อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้น ตัดมีขนาดเท่ากัน)

B D A C E AC = CE (กำหนดให้) ดังนั้น DABC @ DCDE ( ม.ด.ม.)

ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรง คู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุม ภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ เส้นตัดมีขนาด เท่ากันแล้ว เส้น ตรงคู่นั้นจะขนานกัน

= = ˆ 1 5 ˆ 2 6 PQ จากรูปกำหนด เป็นเส้นตัด AB และ CD ทำให้ P A B จะได้ว่า C D AB // CD Q

ลองทำดู

D A E ˆ C B 1) เนื่องจาก = DF//CB ดังนั้น (เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรง ข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)

C N M ˆ B A 2) เนื่องจาก = MN//AB ดังนั้น (เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรง ข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)

M Y X ˆ R Q P 3.จากรูป กำหนดให้ และ YM//QR จงพิสูจน์ว่า YX//QP = X P Y 3.จากรูป กำหนดให้ และ YM//QR จงพิสูจน์ว่า YX//QP M Y X ˆ = R Q P X P Y Q A M R

M Y X ˆ R Q P กำหนดให้ YM//QR และ = ต้องการพิสูจน์ว่า YX//QP X P Y Q A

M A P ˆ R Q YM//QR พิสูจน์ = (เส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้น X P Y Q A M R พิสูจน์ YM//QR M A P ˆ = R Q (เส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้น ตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่ อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้น ตัดมีขนาดเท่ากัน)

M Y X ˆ R Q P M Y X ˆ A P (กำหนดให้) = จะได้ = (สมบัติการเท่ากัน) X P

(เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ X P Y Q A M R YX//QP ดังนั้น (เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรง ข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)

C B A ˆ C A B ˆ D F E ˆ F E D ˆ 4. กำหนดให้ DABC และ DDEF เป็น รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี C B A ˆ และ C A B ˆ D F E ˆ F E D ˆ เป็นมุมยอดถ้า = จงพิสูจน์ว่า AB//DE, BC//EF A D C F E B

C B A ˆ F E D C A B ˆ D F E กำหนดให้ DABC และ DDEF เป็น และ เป็นมุมยอด C A B ˆ = D F E AB//DE, BC//EF ต้องการพิสูจน์ว่า

C A B ˆ D F E C D E ˆ F C D E ˆ A B = (โจทย์กำหนดให้) = (สมบัติการเท่ากัน)

(เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ A D C F E B AB//DE ดังนั้น (เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรง ข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)

C A B ˆ C A B ˆ D F E A C B ˆ D F E = (มุมที่ฐานของรูป Dหน้าจั่ว) (โจทย์กำหนดให้) A C B ˆ = D F E (สมบัติการเท่ากัน)

(เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ A D C F E B BC//EF ดังนั้น (เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำ ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรง ข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)

การบ้าน แบบฝึกหัดที่ 4.3 หน้าที่ 131 ข้อที่ 1(3, 4) ข้อ 2