Confidence Interval Estimation (การประมาณช่วงความเชื่อมั่น)

Confidence Intervals เนื้อหาของการประมาณค่าแบบช่วง ช่วงความเชื่อมั่นของประชากร (Population Mean, μ) เมื่อ Population Standard Deviation σ is Known เมื่อ Population Standard Deviation σ is Unknown ช่วงความเชื่อมั่นของสัดส่วนประชากร (Population Proportion, p) คำนวณขนาดตัวอย่างที่ต้องการ (Sample Size, n) ได้

Point and Interval Estimates point estimate แสดงได้ด้วยตัวสถิติตัวเดียว confidence interval ระบุช่วงของพารามิเตอร์ซึ่งประมาณจากความผันแปรตามธรรมชาติ Upper Confidence Limit Lower Confidence Limit Point Estimate Width of confidence interval

Population Parameter … Point Estimates Population Parameter … ตัวประมาณค่า (a Point Estimate) μ X Mean p Proportion ps

Point Estimate  (Critical Value)(Standard Error) General Formula สูตรทั่วไปของการประมาณค่าแบบช่วง Point Estimate  (Critical Value)(Standard Error)

Confidence Level, (1-) ถ้า confidence level = 95% (continued) ถ้า confidence level = 95% จะเขียนได้ดังนี้  (1 - ) = .95 ซึ่งหมายถึง: ในระยะยาว, 95% ของตัวแปรสุ่มที่ได้จากตัวอย่างจะตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่นที่ประมาณนี้ ดังโอกาสที่ช่วงความเชื่อมั่นจะไม่ครอบคลุมค่าของพารามิเตอร์ที่แท้จริงของประชากรเท่ากับ 5%

Confidence Intervals Confidence Intervals Population Mean Population Proportion σ Known σ Unknown

Confidence Interval for μ (σ Known) Assumptions รู้ค่า σ ประชากรแจกแจงแบบปกติ Confidence interval ประมาณได้จาก: (Z แทน ค่าวิกฤต (critical value) ที่มีความน่าจะเป็นเท่ากับ α/2)

การหาค่าวิกฤต, Z Consider a 95% confidence interval: Z= -1.96 Z= 1.96 Z units: Lower Confidence Limit Upper Confidence Limit X units: Point Estimate Point Estimate

Example (continued) ในการสุ่มตรวจค่าความต้านทานไฟฟ้าของแผงวงจร 11 ตัวจากประชากรแผงวงจรไฟฟ้าที่มีการแจกแจงแบบปกติ ได้ค่าเฉลี่ยที่ 2.20 โอห์ม เราทราบจากการทดสอบครั้งที่แล้วว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าความต้านทานไฟฟ้าของประชากรนี้เท่ากับ 0.35 โอห์ม. จงหาช่วงความเชื่อมั่น 95% ของค่าเฉลี่ยความต้านทานไฟฟ้าของประชากรนี้ Solution:

Confidence Intervals Confidence Intervals Population Mean Population Proportion σ Known σ Unknown

Confidence Interval for μ (σ Unknown) ในกรณีที่ standard deviation σ unknown, เราสามารถแทน σ ด้วย sample standard deviation, S ซึ่งจะเป็นการเพิ่ม extra uncertainty เนื่องจาก S คือ ตัว แปรสุ่มระหว่าง sample to sample ดังนั้นจึงให้ the t distribution แทน the normal distribution

Confidence Interval for μ (σ Unknown) (continued) สมมติฐาน (Assumptions) Population standard deviation is unknown Population is normally distributed ถ้า population ไม่เป็น normal จะต้องใช้ตัวอย่างจำนวนมาก ใช้ Student’s t Distribution การประมาณช่วงความเชื่อมั่น : (เมื่อ t เป็น critical value ของ t distribution ที่มี df = n-1 และพื้นที่ใต้กราฟ α/2 ในแต่ละด้านของ Curve)

Degrees of Freedom (df) Idea: Number of observations that are free to vary after sample mean has been calculated Example: ถ้าต้องการได้ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างสุ่ม 3 ค่าเท่ากับ 8 Let X1 = 7 Let X2 = 8 What is X3? If the mean of these three values is 8.0, then X3 must be 9 (X3 ไม่อิสระ) จาก, n = 3, ดังนั้น degrees of freedom = n – 1 = 3 – 1 = 2

Student’s t Distribution Note: t Z as n increases Standard Normal (t with df = ) t (df = 13) t-distributions จะเป็น bell-shaped และ symmetric, แต่จะต่ำและกว้างกว่า normal t (df = 5) t

Student’s t Table .05 2 t /2 = .05 2.920 Upper Tail Area df .25 .10 1 Let: n = 3 df = n - 1 = 2  = .10 /2 =.05 df .25 .10 .05 1 1.000 3.078 6.314 2 0.817 1.886 2.920 /2 = .05 3 0.765 1.638 2.353 ค่าในตารางจะเป็น t values, ไม่ใช่ probabilities t 2.920

Example ตัวอย่างขนาด n = 25 ,มีค่าเฉลี่ย = 50 และ S = 8. จาก 95% confidence interval สำหรับ μ df. = n – 1 = 24, ดังนั้น The confidence interval คือ (46.698 , 53.302)

Confidence Intervals Confidence Intervals Population Mean Population Proportion σ Known σ Unknown

Confidence Intervals for the Population Proportion, p การแจกแจงของ sample proportion จะประมาณได้ด้วย normal distribution ถ้าขนาดของ sample size เพียงพอ, ด้วย standard deviation ซึ่งเมื่อประมาณด้วย sample data จะได้:

Confidence Interval Endpoints สูตรช่วงความเชื่อมั่น เมื่อ Z แทน standard normal value for the level of confidence desired ps แทน sample proportion n แทนขนาด sample size

Example ตัวอย่างสุ่มจากประชากร 100 คน บ่งชี้ว่า 25 คนถนัดซ้าย ประมาณ 95% confidence interval สำหรับประชากรที่ถนัดซ้าย

ความผิดพลาดของตัวอย่าง (Sampling Error) ขนาดตัวอย่างจะสอดคล้องกับระดับความผิดพลาย หรือ sampling error (e) ที่ยอมให้เกิดขึ้นได้ ซึ่งเกี่ยวข้องโดยตรงกับระดับของความเชื่อมั่น (1 - ) Determining Sample Size Sampling error (margin of error) For the Mean

การกำหนดขนาดตัวอย่าง Sample Size (continued) Determining Sample Size For the Mean หา n

ตัวอย่าง ถ้า  = 45, จงหาขนาดตัวอย่างเมื่อต้องการให้ค่าเฉลี่ยอยู่ระหว่าง ± 5 ที่ 90% confidence level ให้สุ่มตัวอย่างและประมาณ σ ด้วย sample standard deviation, S

การกำหนดขนาดตัวอย่าง Sample Size ของสัดส่วนประชากร Determining Sample Size For the Proportion

Determining Sample Size (continued) Determining Sample Size For the Proportion หา n ได้จาก

Determining Sample Size (continued) ดังนั้นการจะหาขนาดตัวอย่างต้องทราบ level of confidence (1 - ), ซึ่งจะทำให้หาค่า critical Z value ได้ sampling error, e ที่ยอมให้เกิดขึ้นได้ ค่า proportion ของ “successes”, p p สามารถประมาณได้จากตัวอย่าง

ตัวอย่าง เพื่อประมาณ proportion ของ ๆ เสียที่แท้จริงในกระบวนการผลิต ให้มีความคลาดเคลื่อนระหว่าง ±3%, ที่ 95% confidence level (สมมติว่าค่าสัดส่วนจากตัวอย่าง ps = .12) Solution: For 95% confidence, use Z = 1.96 e = .03 ps = .12, so use this to estimate p

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ บริษัทขนส่งรับส่งชิ้นส่วนของลูกค้าจำนวน 1000 ชิ้น บริษัทต้องการประมาณน้ำหนักรวมของสินค้าทั้ง 1000 ชิ้น แต่ต้องใช้เวลามาก จึงสุ่มตัวอย่างจำนวน 80 ชิ้น ซึ่งพบว่ามีน้ำหนักเฉลี่ย เท่ากับ 87.6 กก. มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 22.3 กก. น้ำหนักรวมที่เรือขนส่งของบริษัทจะรับได้ไม่เกิน 100000 กก. ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% บริษัทจะเชื่อได้หรือไม่ว่าน้ำหนักรวมของสินค้าทั้ง 1000 ชิ้นนี้จะไม่เกิน 100000 กก.

Solution