ค32214 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 4 การนับและหลักการนับ ค32214 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 4

หลักการนับเนื้องต้น ในชีวิตประจำวันเรามักจะต้องใช้การนับกับจำนวน หรือเหตุการณ์ต่างๆเป็นประจำ เช่น จำนวนแมตช์ในการแข่งขัน จำนวนกลุ่มในการ ทำโครงงาน จำนวนวิธีในการจัดหนังสือ เป็นต้น หลักการนับเบื้องต้นจะช่วยให้การนับวิธีหรือ เหตุการณ์ต่างๆ ง่ายขึ้น หลักการนับเบื้องต้นประกอบหลักการคูณและการ บวก

หลักการคูณ พิจารณาจากตัวอย่าง คนกลุ่มหนึ่งประกอบด้วย ชาย 2 คน หญิง 3 คน จงหาจำนวนวิธีเลือกตัวแทนเป็นชาย 1 คน หญิง 1 คน

วิธีทำ สมมติชาย 2 คนคือ ช1, ช2 หญิง 3 คนคือ ญ1, ญ2, ญ3 จะเห็นว่ามีวิธีเลือกตัวแทนทั้งหมด 6 วิธีคือ (ช1,ญ1),(ช1,ญ2),(ช1,ญ3), (ช2,ญ1),(ช2,ญ2),(ช2,ญ3)

ข้อสังเกต สมมติให้ A เป็นเซตของนักเรียนชาย = {ช1,ช2} B เป็นเซตของนักเรียนหญิง = {ญ1,ญ2,ญ3} จำนวนวิธีในการเลือกตัวแทน 2 คนที่เป็นชาย 1 คน และหญิง 1 คน ก็คือจำนวนสมาชิกของเซต A  จำนวนสมาชิกของเซต B ซึ่งเท่ากับ 2  3 = 6 วิธี

กฎของหลักการคูณข้อที่ 1 ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยการทำงาน 2 ชนิด โดยที่งานชนิดที่ 1 ทำได้ n1 วิธี และแต่ละวิธี ในการทำงานที่ 1 มีวิธีทำงานที่ 2 ได้ n2 วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดของการทำงานนี้เท่ากับ n1n2 วิธี

ตัวอย่าง 1 สมมติวินมอเตอร์ไซค์รับจ้างสี่แยกเซเว่น อ.ปลวก แดง มีทั้งหมด 10 คัน จงหาจำนวนวิธีในการนั่งรถ มอเตอร์ไซค์รับจ้างจากสี่แยกเซเว่นมาโรงเรียนและ กลับคนละคัน

วิธีทำ จำนวนวิธีเดินทางจากสี่แยกมาโรงเรียน 10 วิธี จำนวนวิธีกลับคนละคันมี 9 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเดินทางไปและกลับ เท่ากับ 10  9 = 90 วิธี

ตัวอย่าง 2 จงหาผลลัพธ์จากการโยนเหรียญ 1 เหรียญและ ลูกเต๋า 1 ลูกว่าออกมาได้กี่แบบ วิธีทำ ผลการโยนเหรียญมีได้ 2 แบบคือ หัว,ก้อย ผลการโยนลูกเต๋ามีได้ 6 แบบคือ 1,2,3,4,5,6 ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด 2  6 = 12 แบบ

กฎของหลักการคูณข้อที่ 2 งานชนิดที่ 1 ทำได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีที่ 1 มีวิธีทำงานชนิดที่ 2 ทำได้ n2 วิธี ในแต่ละวิธีที่ 2 มีวิธีทำงานชนิดที่ 3 ทำได้ n3 วิธี … ในแต่ละวิธีที่ k-1 มีวิธีทำงานชนิดที่ k ทำได้ nk วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดของการทำงานนี้เท่ากับ n1n2n3…nk วิธี

ตัวอย่าง 3 สถานีรถไฟมีทั้งหมด 7 ชานชลา ถ้ามีรถไฟเข้าจอด 3 ขบวนจะมีวิธีจอดรถไฟได้กี่วิธี วิธีทำ รถไฟขบวนที่ 1 จอดได้ 7 วิธี รถไฟขบวนที่ 2 จอดได้ 6 วิธี (จอดไป 1 เหลือ 6) รถไฟขบวนที่ 3 จอดได้ 5 วิธี (จอดไป 2 เหลือ 5) ดังนั้น รถไฟทั้ง 3 ขบวนจะเข้าจอดได้ 765=210 วิธี

ตัวอย่าง 4 จำนวนเต็มคี่บวก 3 หลักมีกี่จำนวนเมื่อเลขไม่ซ้ำกัน วิธีทำ ตัวเลขเป็นเซตของ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ตัวเลขในหลักหน่วยเป็นเลขคี่เลือกได้ 5 วิธีคือ {1,3,5,7,9} ตัวเลขในหลักสิบได้ 8 วิธี (ไม่ใช้ 0 และไม่ซ้ำกับหลักหน่วย) ตัวเลขในหลักร้อยได้ 7 วิธี (ไม่ใช้ 0 และไม่ซ้ำกับหลักหน่วย และหลักสิบ) ดังนั้นจำนวนเต็มคี่บวกสามหลักที่ต้องการมี 587=280