การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม ค32214 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 4

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมจะต่างจากวิธี เรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น ทั้งนี้เพราะวิธีเรียง สับเปลี่ยนเชิงวงกลมไม่มีหัวแถวหรือท้ายแถว เช่น สมมติว่าจัดอักษร 3 ตัวคือ A,B และ C เรียง เป็นเชิงเส้นจะจัดได้ทั้งหมด 3! = 6 วิธีคือ ABC BAC CAB ACB BAC CBA

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม (ต่อ) แต่จัดอักษร 3 ตัวเรียงเป็นวงกลมจะมีวิธีจัดเพียง 2 วิธีเท่านั้น ดังรูป A A C B C B

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม (ต่อ) จะเห็นว่าการจัดเรียง ABC, BCA และ CAB ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน และการจัดเรียง ACB, BAC และ CBA ก็ถือเป็นวิธีเดียวกัน ดังนั้นถ้า กำหนดให้ A อยู่คงที่เหลืออักษรอีก 2 ตัวคือ B กับ C ที่ต้องเรียงสับเปลี่ยนซึ่งมีวิธีจัดได้ 2! หรือ (3-1)! วิธี อาศัยแนวคิดนี้สามารถสรุปได้ดังนี้

กฎวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม ถ้ามีของ n สิ่งแตกต่างกันทั้งหมดเมื่อนำมา จัดเรียงเป็นวงกลมกำหนดให้สิ่งของสิ่งหนึ่งอยู่คงที่ แล้วจัดของที่เหลือ (n-1) สิ่ง เรียงสับเปลี่ยนจะได้ จำนวนวิธีเท่ากับ (n-1)! วิธี

ตัวอย่าง มีผู้ชาย 3 คนและผู้หญิง 3 คนโดยที่มีชายและหญิงคู่ หนึ่งเป็นสามีภรรยากัน จงหาจำนวนวิธีจัดคนทั้ง 6 คน นั่งรอบโต๊ะเมื่อ ๑. สามีภรรยานั่งติดกันเสมอ สามีภรรยานั่งติดกันเหลือคนอีก 4 คน ถูกจัดได้ 4! วิธี ขณะเดียวกันสามีภรรยานั่งสลับกันได้อีก 2!=2 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมด 24  2 = 48 วิธี

ตัวอย่าง มีผู้ชาย 3 คนและผู้หญิง 3 คนโดยที่มีชายและหญิงคู่ หนึ่งเป็นสามีภรรยากัน จงหาจำนวนวิธีจัดคนทั้ง 6 คน นั่งรอบโต๊ะเมื่อ ๒. สามีภรรยา อยู่ตรงข้ามกัน สามีภรรยานั่งอยู่ตรงข้ามกันได้ 1 วิธี เหลืออีก 4 คนจัดได้ 4! = 24 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมด 1  24 = 24 วิธี

ตัวอย่าง มีผู้ชาย 3 คนและผู้หญิง 3 คนโดยที่มีชายและหญิงคู่ หนึ่งเป็นสามีภรรยากัน จงหาจำนวนวิธีจัดคนทั้ง 6 คน นั่งรอบโต๊ะเมื่อ ๓. ผู้ชาย 3 คนนั่งไม่ติดกัน จัดผู้หญิง 3 คนนั่งรอบโต๊ะได้ 2! = 2 วิธี จัดผู้ชายนั่งแทรกระหว่างผู้หญิงได้ 3! = 6 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมด 2  6 = 12 วิธี

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมแบบพลิกได้ สังเกตได้ว่าการจัดคนนั่งรอบโต๊ะ หรือการจัด ตัวอักษรเป็นวงกลมเป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่มอง ได้ด้านเดียว แต่ก็มีการจัดเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมที่สามารถ มองอีกด้านหนึ่งได้ เช่น การร้อยพวงมาลัย การ ร้อยลูกปัด เป็นต้น

วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมแบบพลิกได้ พิจารณาการเรียง ABC เป็นวงกลม จะเห็นว่าเมื่อ พลิก ABC จะตรงกับ ACB A A C B C B

กฎวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมแบบพลิกได้ ถ้ามีของ n สิ่งแตกต่างกันทั้งหมดเมื่อนำมา จัดเรียงเป็นวงกลมในลักษณะมีการพลิกกลับอีก ด้านหนึ่งได้ จะได้จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเท่ากับ (n-1)!/2 วิธี

ตัวอย่าง นำกุหลาบ ดอกดาวเรือง และดอกไม้อื่นๆ อีก 6 ชนิดมา ร้อยเป็นพวงมาลัย โดยที่ดอกดาวเรืองและดอกกุหลาบ อยู่ตรงข้ามกันเสมอ จะได้พวงมาลัยที่แตกต่างกัน ทั้งหมดกี่แบบ จำนวนวิธีจัดดอกกุหลาบและดอกดาวเรืองตรงข้ามกันมี 1 วิธี ดอกไม้อื่นๆจัดเรียงได้ 6! วิธี ดังนั้นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมแบบพลิกได้ เท่ากับ (n-1)!/2 = 6!/2 = 720/2 = 360 วิธี