นางสาวอารมณ์ อินทร์ภูเมศร์ สื่อการเรียนการสอน เพาเวอร์พอยท์ เรื่องวงกลม จัดทำโดย นางสาวอารมณ์ อินทร์ภูเมศร์ โรงเรียนวัดบวรนิเวศ สังกัดสำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กรุงเทพมหานคร เขต 1

วงกลม (Circle)

เมื่อกำหนดส่วนต่าง ๆ ของวงกลมให้ และเขียนกราฟของความสัมพันธ์นั้นได้ ผลการเรียนรู้ เขียนความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลม เมื่อกำหนดส่วนต่าง ๆ ของวงกลมให้ และเขียนกราฟของความสัมพันธ์นั้นได้

วงกลม คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่าง บทนิยาม วงกลม คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่าง จากจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเป็นระยะทางเท่ากัน จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม ระยะทางที่เท่ากัน เรียกว่า ความยาวของรัศมี

1. วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( 0, 0 ) ให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆ บนวงกลมที่มี จุดศูนย์กลางที่ ( 0, 0 ) รัศมียาว r หน่วย จากบทนิยามจะได้ PC = r = r ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ x2 + y2 = r2 ดังนั้น ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (0, 0) รัศมียาว r หน่วย คือ (x, y)  RR  x 2+ y 2 = r 2  Y P(x,y) r X C(0,0) หมายเหตุ ถ้า r2 > 0 เป็นวงกลม ถ้า r2 = 0 เป็นวงกลมจุด (point circle) ถ้า r2 < 0 ไม่ เป็นวงกลม

ตัวอย่างที่ 1 จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง ที่จุด (0, 0) และรัศมียาว 3 หน่วย วิธีทำ จากโจทย์จะได้ r = 3 นำ r = 3 ไปแทนค่าในสมการ x2 + y2 = r2 จะได้ x2 + y2 = 9 ดังนั้น ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง ที่จุด (0, 0) รัศมียาว 3 หน่วย คือ (x, y)  RR  x2+ y2 = 9 

และรัศมีของวงกลม เทียบกับสมการ x2 + y2 = r2 จะได้ r2 = 20 r = ดังนั้นวงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) และมีรัศมียาว หน่วย

2) วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (h, k) Y ให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆ บนวงกลมที่มี จุดศูนย์กลางที่จุด (h,k) รัศมียาว r หน่วย จากบทนิยามจะได้ P(x,y) r C(h,k) x PC = r O = r ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2 ดังนั้นความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (h, k) รัศมียาว r หน่วย คือ (x, y)  RR  (x – h)2 +(y – k)2 = r2 เรียกสมการ (x –h)2 + (y– k)2 = r2 ว่าเป็นสมการใน รูปมาตรฐาน

จากสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จะได้ x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2 x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 เรียกสมการ x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ว่า รูปทั่วไปของสมการวงกลม

นำสมการ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ไปจัดเป็น สมการในรูปมาตรฐานได้ดังนี้ เทียบสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จะได้ ดังนั้นวงกลม x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 จะมี จุดศูนย์กลางที่จุด รัศมียาว หน่วย หรือ

ตัวอย่างที่ 3 จงหา จุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีของวงกลม ( x + 3)2 + (y – 5)2 = 36 วิธีทำ จากสมการ (x + 3)2+ (y – 5)2 = 36 เทียบสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จะได้ h = - 3 , k = 5 และ r = 6 ดังนั้น จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) = ( - 3 , 5) และรัศมียาว 6 หน่วย

วิธีที่ 1 จัดสมการ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐานดังนี้ ตัวอย่างที่ 4 จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีของวงกลม x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 วิธีที่ 1 จัดสมการ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐานดังนี้ จัดพวก (x2 – 4x ) + (y2 + 6y ) = 3 (x2 – 4x + 4) + (y2+ 6y + 9) = 3 + 4 + 9 (x – 2 )2 + ( y + 3 )2 = 16 เทียบสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จะได้ h = 2 , k = - 3 และ r = 4 ดังนั้น จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( 2 , - 3) และ รัศมียาว 4 หน่วย

วิธีที่ 2 ( ใช้สูตร ) จากสมการ x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 จะได้ D = -4 , E = 6 , F = -3 จุดศูนย์กลางอยู่ที่ = ( 2 , - 3) รัศมียาว = 4 ดังนั้น จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( 2 , - 3) และ รัศมียาว 4 หน่วย

ตัวอย่างที่ 5 จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีของวงกลม ตัวอย่างที่ 5 จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีของวงกลม 2x2 + 2y2+ 4x - 16y +10 = 0 วิธีทำ จัดสมการ 2x2 + 2y2+ 4x - 16y +10 = 0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน ทำสัมประสิทธิ์ของ x2 และ y2 ให้เป็น 1 โดย นำ 2 หารตลอดทั้งสองข้างของสมการ จะได้ x2 + y2+ 2x - 8y + 5 = 0 (x2 + 2x + 1) + (y2 - 8y + 16) = - 5 + 1 + 16 (x + 1)2 + (y – 4 )2 = 12 เทียบสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จะได้ h = - 1 , k = 4 และ r = ดังนั้นจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด( - 1, 4 )และรัศมียาว หน่วย

ตัวอย่างที่ 6 จงหาสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (- 4 , 6 ) และรัศมียาว 5 หน่วย วิธีทำ จากโจทย์จะได้ h = - 4 , k = 6 และ r = 5 นำ h = - 4 , k = 6 และ r = 5 ไปแทนค่าในสมการ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 จะได้ (x + 4)2 + (y – 6)2 = 25 ( ตอบในรูปมาตรฐาน ) หรือ x2 + 8x + 16 + y2 – 12y + 36 = 25 x2 + y2 + 8x – 12y + 27 = 0 ( ตอบในรูปทั่วไป ) ดังนั้นสมการของวงกลมนี้คือ (x + 4)2 + (y – 6)2 = 25 หรือ x2 + y2 + 8x – 12y + 27 = 0

จบการนำเสนอ