4. z  1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z2  1 ( mod 2 )

พิสูจน์ (  ) ให้ z  1 ( mod 2 ) จะมี a  I ที่ซึ่ง z - 1 = 2a ดังนั้น z2 = ( 2a + 1 )2 = 4a2 + 4a + 1 = 1 + 2 ( 2a2 + 2a ) จะได้ว่า z2 - 1 = 2 ( 2a2 + 2a ) นั่นคือ z2  1 ( mod 2 )

z  1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z2  1 ( mod 2 ) จะมี a  I ที่ซึ่ง z = 2a นั่นคือ z2 = 4a2 = 2 ( 2a2 ) ดังนั้น z2  1 ( mod 2 ) เพราะฉะนั้นจะได้ว่า z  1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z2  1 ( mod 2 )

ย้อนกลับไปที่สมการ ( 3 ) x2 + p = 2n ถ้า (x, n) เป็นผลเฉลยของสมการแล้ว x ต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีบทประกอบต่อไปนี้

ทฤษฎีบทประกอบ 1 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 ถ้า ( x0 , n0 ) เป็นผลเฉลยของสมการ x2 + p = 2n แล้วจะได้ว่า x0 จะเป็นจำนวนเต็มคี่

พิสูจน์ ให้ ( x0 , n0 ) เป็นผลเฉลยของสมการ x2 + p = 2n ดังนั้น x02 + p = 2n0 นั่นคือ x02 = 2n0 - p …………… ( 1 ) จาก p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ จะได้ว่า p  1 ( mod 2 ) และ 2n0  0 ( mod 2 )

ดังนั้น 2n0 - p  0 - 1 ( mod 2 ) 2n0 - p  - 1 ( mod 2 ) จาก ( 1 ) จะได้ว่า x02  - 1 ( mod 2 ) ดังนั้น x02  1 ( mod 2 ) ( โดยสมบัติของคอนกรูเอนซ์ ข้อ 4 ) จะได้ว่า x0  1 ( mod 2 ) นั่นคือ x0 เป็นจำนวนเต็มคี่

ทฤษฎีบทประกอบ 2 ถ้า y เป็น จำนวนเต็มคี่ แล้ว y 2  1 ( mod 8 )

พิสูจน์ เนื่องจากเราใช้ตัวเลขในมอดุโล 8 จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะจำนวนเต็ม 0 , 1 , 2 , … , 7 เพราะจำนวนเต็มใดๆจะคอนกรูเอนซ์กับจำนวนใดจำนวนหนึ่งของจำนวนเหล่านี้มอดุโล 8 จาก y เป็นจำนวนคี่ จะเห็นว่า y คอนกรูเอนซ์กับจำนวน 1 , 3 , 5 หรือ 7 มอดุโล 8

เนื่องจาก ถ้า y  1 (mod 8) แล้ว y2  1 . 1 = 1  1 ( mod 8 ) ถ้า y  3 (mod 8) แล้ว y2  3 . 3 = 9  1 ( mod 8 ) ถ้า y  5 (mod 8) แล้ว y2  5 . 5 = 25  1 ( mod 8 ) ถ้า y  7 (mod 8) แล้ว y2  7 . 7 = 49  1 ( mod 8 ) ดังนั้น y2  1 ( mod 8 )

Proposition ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8 ถ้า p = 3 แล้ว สมการ ( 3 ) จะมีเฉลยเพียงผลเฉลยเดียวคือ ( 1 , 2 ) ไม่เช่นนั้นสมการ ( 3 ) จะไม่มีผลเฉลย x2 + p = 2 n

พิสูจน์ พิจารณาสมการ x2 + p = 2n p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 กรณีที่ 1 ให้ n = 1 จะได้ x2 + p = 2 เพราะว่า p > 3 เห็นได้ชัดว่า ไม่มีจำนวนเต็ม x0 ใดๆที่ทำให้ x02 + p = 2

กรณีที่ 2 ให้ n = 2 จะได้ x2 + p = 4 เมื่อ p = 3 จะมีผลเฉลยเดียว คือ ( 1 , 2 ) ถ้า p > 3 จะไม่มีจำนวนเต็ม x0 ที่ทำให้ x02 + p = 4

กรณีที่ 3 ถ้า n > 3 กำหนดให้ n = 3 + k ดังนั้น 2n = 2 3 + k = 2 3 . 2 k = 8 . 2 k นั่นคือ 2 n หารด้วย 8 ลงตัว จะได้ว่า 2 n  0 ( mod 8 )

สมมติว่าสมการ ( 3 ) มีผลเฉลย คือ ( x0 , n0 ) โดยที่ n0 > 3 ดังนั้น x02 + p = 2 n พิจารณาสมการมอดุโล 8 ให้ x02 + p  0 ( mod 8 ) x02  - p ( mod 8 ) โดยทฤษฎีบทประกอบ 1 x0 เป็นคำตอบของสมการ x2 + p = 2 n จะได้ว่า x0 จะต้องเป็นจำนวนคี่

แต่เราสมมุติไว้ว่า p ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8 ดังนั้น x02  1 ( mod 8 ) ( โดยทฤษฎีบทประกอบ 2 ) นั่นคือ - p  1 ( mod 8 ) ดังนั้น p  7 ( mod 8 ) แต่เราสมมุติไว้ว่า p ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8 จึงสรุปได้ว่าสมการไม่มีคำตอบ

สรุป หลังจากที่ได้พิจารณาสมการ x2 + p = 2 n ได้บทสรุปคือ

1. ถ้าสมการจะมี ( x0 , n0 ) เป็นผลเฉลย แล้ว x0 จะต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ และ x02  1 ( mod 8 ) 2. ถ้า p = 3 แล้ว x 2 + 3 = 2 n มีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว คือ ( 1 , 2 ) 3. ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่มากกว่า 3 และ p ไม่คอนกรูเอนซ์กับ 7 มอดุโล 8 แล้วสมการ ( 3 ) จะไม่มีผลเฉลย

ตัวอย่างโปรแกรมที่ใช้ในการคำนวณ

ตัวอย่างโปรแกรมที่ใช้ในการคำนวณ

THE END