การพัฒนาสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง x2 + p = 2n

น.ส.ณัฐกานต์ มนัสพาสน์เกษม จัดทำโดย น.ส.ณัฐกานต์ มนัสพาสน์เกษม อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์กรรณิกา คงสาคร

การพัฒนาสมการไดโอแฟนไทน์กำลังสอง x2+ p = 2n ในสาขาของทฤษฎีจำนวนมักจะมีความเกี่ยวข้องกับการหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการพีชคณิตที่มีมากกว่าหรือเท่ากับสองตัวแปร พีชคณิตของกรีกและทฤษฎีจำนวนนับว่ามีบทบาทสำคัญที่ก่อ ให้เกิดหนังสือ Arithmetica ซึ่งเขียนโดย Diophantus

( Diophantine equations ) Diophantus สนใจที่จะหาคำตอบที่แท้จริงมากกว่า คำตอบที่เป็นค่าโดยประมาณ เขาสนใจที่จะหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะของสมการพหุนามในหนึ่งตัวแปรหรือที่มากกว่านั้น ซึ่งเรียกสมการประเภทนี้ว่า สมการไดโอแฟนไทน์ ( Diophantine equations )

Pierre de Fermat ได้พัฒนาทฤษฎีบทจำนวนมากในทฤษฎีจำนวน หลังจากที่เขาได้อ่านหนังสือ Arithmetica ของ Diophantus ที่กล่าวถึงสมการของพีทาโกรัส ( Pythagorus ) ที่ว่า x2+ y2 = z2

Fermatได้เลียนแบบความคิดนี้แล้วเสนอเป็นทฤษฎีใหม่ขึ้นมา ที่รู้จักกันดีคือทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ( Fermat’s Last Theorem ) Fermat กล่าวว่าหากเรามีสมการ x n + y n = z n และ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 แล้ว เราจะไม่สามารถหา x , y , z ที่เป็นเลขจำนวนเต็มมาแทนลงในสมการข้างต้นได้เลย

นับจากอดีตจนถึงปัจจุบันยังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎี บทนี้ได้อย่างสมบูรณ์

ตัวอย่างของสมการ Diophantine ที่รู้จักกันคือ x2 + 7 = 2n 1 ในปี 1913 S. Ramanujan นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้คาดเดาว่าสมการ (1) นี้น่าจะมีคำตอบเพียง 5 คำตอบเท่านั้นสำหรับจำนวนเต็ม ( x , n ) เมื่อ x = 1 , 3 , 5 , 11 , 181 และ n = 3 , 4 , 5 , 7 , 15 ตามลำดับ

เห็นได้ชัดว่าสมการ (1) นั้น x จะเป็นจำนวนเต็มคี่ ดังนั้นสมการ (1) นี้จึงสามารถเขียนได้ใหม่เป็น ( 2x – 1 ) 2 = 2n - 7 2 โดยที่คำตอบสำหรับ x เป็น 1 , 2 , 3 , 6 และ 91 การคาดคะเนที่ว่าสมการนี้มี เพียง 5 ผลเฉลยนั้นยังคงเป็นปัญหาที่เปิดกว้างอยู่

ในที่นี้จะพิจารณาสมการในรูป x2 + p = 2n 3 เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะใด ๆ

เนื่องจากคอนกรูเอนซ์เป็นวิธีที่สะดวกที่จะอธิบายการหารลงตัวในจำนวนเต็ม จึงมีประโยชน์มากที่จะแสดงให้เห็นว่าสมการ ( 3 ) นี้จะมีคำตอบหรือไม่ เราจะใช้วิธี การทางคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวกับมอดุโล ( modulo ) เพื่อจะสรุป และตรวจสอบว่าสมการนี้มีผลเฉลย หรือไม่

วิธีการ x2 + p = 2n พิจารณาสมการ สนใจผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็ม เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ใดๆโดยกำหนดให้ผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการอยู่ในรูป ( x0 , n0 )

ถ้า ( x0 , n0 ) เป็นคำตอบจะเห็นได้ชัดว่า ( - x0 , n0 ) จะเป็นคำตอบด้วย เนื่องจาก x02 = ( - x0 )2 ดังนั้นจึงจะพิจารณาเฉพาะ ( x , n ) ที่เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น

นิยาม ให้ m เป็นจำนวนเต็มบวก a และ b เป็นจำนวนเต็ม จะกล่าวว่า a คอนกรูเอนซ์กับ b มอดุโล m ถ้า m(a – b) และเรียก m ว่า มอดุลัส ( modulus ) เขียนแทนด้วย a  b ( mod m )

สมบัติของคอนกรูเอนซ์ ให้ a1 , a2 , b1 และ b2 เป็นจำนวนเต็มใดๆ 1. ถ้า a 1  b1 ( mod m ) และ a2  b2 ( mod m ) แล้ว a1 + a2  b1 + b2 ( mod m ) และ a1 - a2  b1 - b2 ( mod m )

เพราะว่า a1  b1 ( mod m ) และ a2  b2 ( mod m ) พิสูจน์ เพราะว่า a1  b1 ( mod m ) และ a2  b2 ( mod m ) จะมี c , d  I ที่ซึ่ง a1 - b1 = cm และ a2 - b2 = dm นั่นคือ a1 = b1 + cm และ a2 = b2 + dm a1 + a2 = b1 + b2 + cm + dm = b1 + b2+ ( c + d ) m ดังนั้น ( a1 + a2 ) - ( b1 + b2 ) = ( c + d ) m นั่นคือ a1 + a2  b1 + b2 ( mod m )

ในทำนองเดียวกัน a1 - a2 = b1 - b2 + cm - dm = b1 - b2 + ( c - d ) m ดังนั้น ( a1 - a2 ) - ( b1 - b2 ) = ( c - d ) m นั่นคือ a1 - a2  b1 - b2 ( mod m )

2. ถ้า a1  b1 ( mod m ) และ a2  b2 ( mod m ) แล้ว a1a2  b1 b2 ( mod m )

ให้ a1  b1 ( mod m ) และ a2  b2 ( mod m ) พิสูจน์ ให้ a1  b1 ( mod m ) และ a2  b2 ( mod m ) จะมี c , d  I ที่ซึ่ง a1 - b1 = cm และ a2 - b2 = dm นั่นคือ a1 = b1 + cm และ a2 = b2 + dm a1 a2 = ( b1 + cm ) ( b2 + dm ) = b1 b2 + b1dm + b2cm + cmdm = b1 b2 + ( b1d + b2c + cmd ) m จะได้ว่า a1b2 - b1b2 = ( b1d + b2c + cmd ) m ดังนั้น a1a2  b1 b2 ( mod m )

3. z  1 ( mod 2 ) ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนเต็มคี่

พิสูจน์ (  ) ให้ z  1 ( mod 2 ) จะมี a  I ที่ซึ่ง z - 1 = 2a นั่นคือ z = 2a + 1 ดังนั้นจะได้ว่า z เป็นจำนวนเต็มคี่

(  ) ให้ z เป็นจำนวนเต็มคี่ จะมี a  I ที่ซึ่ง z = 2a + 1 จะได้ว่า z  1 ( mod 2 ) NEXT