สมบัติของความสัมพันธ์ ค31212 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 2
สมบัติของความสัมพันธ์ สมบัติพื้นฐานของความสัมพันธ์ประกอบด้วย 1. สมบัติถ่ายทอด (transitivity) 2. สมบัติสะท้อน (reflexivity) 3. สมบัติสมมาตร (symmetry)
นิยาม 5.3 สมบัติถ่ายทอด a b c ความสัมพันธ์ R บนโดเมน D จะมีสมบัติถ่ายทอด ถ้า a R b และ b R c แล้ว a R c หรือ ถ้า (a,b) R และ (b,c) R แล้ว (a,c) R a b c กราฟของความสัมพันธ์ถ่ายทอด
นิยาม 5.4 สมบัติสะท้อน a b c ความสัมพันธ์ R บนโดเมน D จะมีสมบัติสะท้อน ถ้า a R a หรือ ถ้า (a,a) R สำหรับทุกๆสมาชิก a ของ D a b c กราฟของความสัมพันธ์สะท้อน
นิยาม 5.5 สมบัติสมมาตร ความสัมพันธ์ R บนโดเมน D จะมีสมบัติสมมาตร ถ้า a R b แล้ว b R a หรือ ถ้า (a,b) R แล้ว (b,a) R a b กราฟของความสัมพันธ์สมมาตร
ตัวอย่าง จงพิจารณาความสัมพันธ์บนเซต {a,b,c} ต่อไปนี้ โดยกำหนด a b c R1 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} R2 = {(a,a),(a,b),(b,a)} R3 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)} R4 = {(b,a),(c,a),(c,b)} R5 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)} จะได้ว่า
จะได้ว่า ความสัมพันธ์ R1, R3, R4 และ R5 มี สมบัติถ่ายทอด แต่ R1 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} R2 = {(a,a),(a,b),(b,a)} R3 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)} R4 = {(b,a),(c,a),(c,b)} R5 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)} จะได้ว่า ความสัมพันธ์ R1, R3, R4 และ R5 มี สมบัติถ่ายทอด แต่ R2 ไม่มีสมบัติถ่ายทอดเพราะ (b,a) R2 และ (a,b) R2 แต่ (b,b) R2
จะได้ว่า ความสัมพันธ์ R3และ R5 มีสมบัติสะท้อน แต่ R1 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} R2 = {(a,a),(a,b),(b,a)} R3 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)} R4 = {(b,a),(c,a),(c,b)} R5 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)} จะได้ว่า ความสัมพันธ์ R3และ R5 มีสมบัติสะท้อน แต่ R1 ไม่มีสมบัติสะท้อนเพราะ (c,c) R1 R2 ไม่มีสมบัติสะท้อนเพราะ (b,b) R2 และ (c,c) R2 R4 ไม่มีสมบัติสะท้อนเพราะ (a,a) R4, (b,b) R4 และ (c,c) R4,
จะได้ว่า ความสัมพันธ์ R1,R2 และ R3 มีสมบัติสมมาตร แต่ R1 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} R2 = {(a,a),(a,b),(b,a)} R3 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)} R4 = {(b,a),(c,a),(c,b)} R5 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)} จะได้ว่า ความสัมพันธ์ R1,R2 และ R3 มีสมบัติสมมาตร แต่ R4 ไม่มีสมบัติสมมาตรเพราะ แต่ (b,a) R4 แต่ (a,b) R4 R5 ไม่มีสมบัติสมมาตรเพราะ แต่ (a,b) R5 แต่ (b,a) R5