Second-Order Circuits CHAPTER 7 Second-Order Circuits A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

วัตถุประสงค์และเนื้อหา ศึกษาวงจรอันดับสอง: การหาค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้าย วงจรอนุกรม RLC ขณะไม่มีแหล่งจ่าย วงจรขนาน RLC ขณะไม่มีแหล่งจ่าย ผลตอบสนองต่อฟังก์ชั่นขั้นบันไดของวงจรอนุกรม RLC ผลตอบสนองต่อฟังก์ชั่นขั้นบันไดของวงจรขนาน RLC A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Finding initial and final values การแก้สมการอนุพันธ์เพื่อหาคำตอบสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องทราบค่าเงื่อนไขเริ่มต้นและค่าสุดท้าย กระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนแปลงทันทันใดได้ ดังนั้น โดยที่ แสดงถึงเวลาก่อนที่จะทำการสวิตซ์และ คือเวลาหลังทำการสวิตซ์ ซึ่งเราจะสมมุติเหตุการณ์เหล่านี้ว่าเกิดการสวิตซ์ที่ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Finding initial and final values Example สวิตซ์ถูกปิดเป็นเวลานาน มันถูกเปิดที่เวลา คำนวณหา (ก) และ (ข) และ (ค) และ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Finding initial and final values (ก) และ กระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนแปลงทันทีทันใด ดังนั้น A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Finding initial and final values และ (ข) จาก KVL A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Finding initial and final values (ค) และ กรณีแหล่งจ่ายไฟตรงตัวเหนี่ยวนำเสมือนลัดวงจรในขณะที่เก็บประจุเสมือนเปิดวงจร A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit ที่เวลา ค่าเริ่มต้นคือ KVL A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit เรารู้ว่าคำตอบอยู่ในรูปของเอ็กซ์โพเนเชียล (Exponential form) โดยที่ A และ s เป็นค่าคงที่ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit เพราะ เป็นคำตอบดังนั้น รากของสมการหาได้โดย A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit คำตอบของสมการอนุพันธ์อันดับสองเป็นผลรวมของกระแส และ ดังนั้นผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรอนุกรม RLC คือ คำตอบมีสามรูปแบบ 1.ในกรณี เรียกว่า Overdamped case 2.ในกรณี เรียกว่า Critically damped case 3.ในกรณี เรียกว่า Underdamped case A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit Overdamped Case หรือ รากสมการ และ เป็นจำนวนจริงและมีเครื่องหมายเป็นลบ ดังนั้นคำตอบของสมการในกรณีนี้ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit Critically damped case หรือ รากสมการ และ เท่ากันและเป็นจำนวนจริง ดังนั้นคำตอบของสมการในกรณีนี้ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit Underdamped Case หรือ รากสมการแสดงได้เป็น ดังนั้นคำตอบของสมการ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit สมมุติว่าวงจรอยู่ในสถานะอิ่มตัวที่เวลา Example คำนวณหา หาเงื่อนไขเริ่มต้น A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit รากสมการแสดงได้เป็น ผลตอบสนองธรรมชาติแสดงเป็น Underamped โดยแสดงคำตอบได้ดังนี้ (1) A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit หาค่าคงที่ โดยแทนเวลา ในสมการ (1) ค่าเริ่มต้นอนุพันธ์กระแส (2) ทำการอนุพันธ์คำตอบกระแส (3) A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of series RLC circuit แทนค่า และ ในสมการที่ (3) หาค่า โดยการแทนค่า ดังนั้นคำตอบสมบูรณ์ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of parallel RLC circuit ที่เวลา ค่าเริ่มต้นคือ KCL A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of parallel RLC circuit สรุปรากสมการอนุพันธ์อันดับสอง (ขั้นตอนหาเช่นเดียวกันกับวงจรอนุกรม) คือ ผลเฉลยของระบบสมการนี้มีสามรูปแบบ 1.ในกรณี เรียกว่า Overdamped case 2.ในกรณี เรียกว่า Critically damped case 3.ในกรณี เรียกว่า Underdamped case A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of parallel RLC circuit Overdamped Case หรือ รากสมการ และ เป็นจำนวนจริงและมีเครื่องหมายเป็นลบ ดังนั้นคำตอบของสมการในกรณีนี้ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of parallel RLC circuit Critically damped case หรือ รากสมการ และ เท่ากันและเป็นจำนวนจริง ดังนั้นคำตอบของสมการในกรณีนี้ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of parallel RLC circuit Underdamped Case หรือ รากสมการแสดงได้เป็น ดังนั้นคำตอบของสมการ ค่าเริ่มต้นอนุพันธ์กระแส i คือ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Source free of parallel RLC circuit ใช้ KVL วิเคราะห์ลูปเมื่อเวลา แทน A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of series RLC circuit คำตอบประกอบด้วยสองส่วนคือผลตอบสนองธรรมชาติ และผลตอบสนองด้วยแรงกระทำ ผลตอบสนองธรรมชาติหาได้โดยการเซ็ทแหล่งจ่ายให้เท่ากับศูนย์ คำตอบมีสามกรณีคือ (Overdamped) (Critically damped) (Underdamped) A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of series RLC circuit ผลตอบสนองด้วยแรงกระทำหาได้จากสภาวะ (Steady state) ดังนั้นคำตอบสมบูรณ์คือ (Overdamped) (Critically damped) (Underdamped) และ ค่าคงที่ และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่มต้น A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of series RLC circuit Example คำนวณหา และ สำหรับ เมื่อ กระแสเริ่มต้นที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ ค่าแรงดันเริ่มต้นที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุคือแรงดันที่ตกคร่อมตัวต้านทาน A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of series RLC circuit ดังนั้นผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรอยู่ในกรณี Underdamped รากสมการคือ ดังนั้นคำตอบสมบูรณ์คือ (1) ค่าคงที่ และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่มต้น (2) A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of series RLC circuit จาก (3) ทำการอนุพันธ์รูปแบบคำตอบสมบูรณ์เพื่อหาค่า (4) ที่เวลา (5) A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of series RLC circuit จาก (2) และ (5) จะได้ค่า และ กระแสตัวเหนี่ยวนำ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of parallel RLC circuit KCL แทน ในสมการด้านบนและจัดรูปใหม่ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of parallel RLC circuit คำตอบประกอบด้วยสองส่วนคือผลตอบสนองธรรมชาติ และผลตอบสนองด้วยแรงกระทำ คำตอบสมบูรณ์คือ (Overdamped) (Critically damped) (Underdamped) A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of parallel RLC circuit Example คำนวณหา และ สำหรับ สวิตซ์เปิดวงจรทำให้วงจรถูกแยกออกเป็นสองวงจรย่อย กระแส ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำดังนั้น A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of parallel RLC circuit เมื่อเวลา และเท่ากับ 0 เมื่อเวลา ดังนั้น สวิตซ์ปิดวงจร จะได้วงจรดังนี้ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of parallel RLC circuit รากสมการหาได้ดังนี้ ดังนั้นผลตอบสนองวงจรอยู่ในกรณี Overdamped (1) คือค่าสุดท้ายของ ค่าคงที่ และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่มต้นที่เวลา (2) A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)

Step response of parallel RLC circuit ทำการอนุพันธ์รูปแบบคำตอบสมบูรณ์เพื่อหาค่า และ ที่เวลา (3) แต่ (4) จาก (2) ถึง (4) จะได้ค่า และ A. Aurasopon Electric Circuits (0307 201)