หน่วยที่ 3 อินทิกรัลและการประยุกต์ อ.ปิยพร นุรารักษ์

ตอนที่ 3.1 อินทิกรัลเบื้องต้น

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F(x) f(x) derivative หรือ การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) F(x) antiderivative หรือ การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน

บทนิยาม ถ้า F(x) = f(x) สำหรับทุกๆ ค่า x ในโดเมนของฟังก์ชัน f(x) แล้ว จะได้ว่า ปฏิยานุพันธ์ทั่วไปหรือ ฟังก์ชันดั้งเดิมทั่วไป ของ f(x) คือ F(x) + c และจะเขียนแทน F(x) + c ด้วย ซึ่งเรียกว่า อินทิกรัลไม่จำกัดเขต (indefinite integrals) ของ f(x) เทียบกับ x

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ f(x) เมื่อกำหนดให้ 1) 2) วิธีทำ 1) เนื่องจากอนุพันธ์ของ จะได้ว่า คือ ปฏิยานุพันธ์ของ

ดังนั้น คือ อินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ ดังนั้น

2) เนื่องจากอนุพันธ์ของ จะได้ว่า คือ ปฏิยานุพันธ์ของ ดังนั้น คือ อินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ ดังนั้น

ตัวอย่าง จงอินทิเกรต

วิธีทำ โดยการประยุกต์สูตร จากโจทย์จะได้ว่า n=2 เมื่อแทนค่าในสูตรจะได้ เมื่อ c คือ ค่าคงตัวใดๆ

เมื่อ จากสูตร และ จะได้ว่า เมื่อ

จากสูตร และ จะได้ว่า

อินทิกรัลจำกัดเขต ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันที่หาค่าได้บน [a,b] อินทิกรัลจำกัดเขต (definite integral) ของ f บน [a,b] เขียนแทนด้วย เรียก a และ b ว่า ลิมิตล่าง (lower limit) และ ลิมิตบน (upper limit) ของการอินทิเกรตตาม ลำดับ

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลจำกัดเขตของ f(x) เมื่อกำหนดให้ 1) 2) วิธีทำ

ตอนที่ 3.2 เทคนิคการอินทิเกรต

1. การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร 2. การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน 3. การอินทิเกรตโดยการแยกเป็นเศษส่วนย่อย 4. การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ 5. การอินทิเกรตโดยการแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรเป็นเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรในโจทย์ที่เราไม่คุ้นเคยให้อยู่ในรูปที่เรารู้จัก หรือสามารถใช้สูตรช่วยในการคำนวณได้

ตัวอย่าง จงหา กำหนดให้ u = x3-1 วิธีทำ จะได้ ดังนั้น

การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน การอินทิเกรตโดยการแยกส่วนจะถูกนำมาใช้ในกรณีที่อินทิกรัลมีตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปของ ฟังก์ชัน เช่น และ จากสูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณ ให้ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x จึงได้สูตรสำหรับการอินทิเกรตโดยการแบ่งส่วนดังนี้

ตัวอย่าง จงหา กำหนดให้ u = ln x, dv = x3 dx จะได้ จากสูตร วิธีทำ จะได้ จากสูตร เมื่อแทนค่าจะได้

การอินทิเกรตโดยการแยกเป็นเศษส่วนย่อย การอินทิเกรตโดยการแยกเป็นเศษส่วนย่อยจะถูกนำมาใช้ในกรณีที่อินทิกรัลมีตัวถูกอินทิเกรต อยู่ในรูปของฟังก์ชัน ตรรกยะ โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และกำลังสูงสุดของ P(x) น้อยกว่ากำลังสูงสุดของ Q(x)

ตัวอย่าง จงหา วิธีทำ แล้ว

การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ซับซ้อน สามารถหาได้โดยการใช้การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร นอกจากนั้นบางครั้งยังต้องอาศัยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติช่วยในการเปลี่ยนรูปอินทิกรัลให้อยู่ในรูปที่สามารถใช้สูตรพื้นฐานได้

ตัวอย่าง จงหา ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ จะได้ วิธีทำ จะได้ จาก sin(-x)= -sin x จะได้ว่า

การอินทิเกรตโดยการแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ การอินทิเกรตโดยการแทนที่ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติจะถูกนำมาใช้ในกรณีที่อินทิกรัลมีตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปของฟังก์ชัน , และ เมื่อ a>0 รวมอยู่