ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

บทนิยาม ดีกรี (degree) ของจุดยอด v ในกราฟ คือ จำนวนครั้ง ทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด v ใช้สัญลักษณ์ deg v แทน ดีกรีของ v

ดีกรีของจุดยอด พิจารณากราฟที่กำหนด แล้วเติมคำตอบลงในตาราง

2 2 4 4 4 4 2 2 12 ca cb cd cd dc dc ab ac bb bb ba bc จุดยอด a มีเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a คือ ab และ ac bb bb ba bc 4 4 เส้นเชื่อม bb เป็นวงวนที่เกิดกับจุดยอด b ให้นับเส้นเชื่อมที่เป็นวงวน 1 วงวนเป็น 2 ca cb cd cd 4 4 2 2 dc dc 12

พิจารณากราฟต่อไปนี้ deg A = 2 deg B = 3 deg C = 2 deg D = 3 deg E =

deg A = deg B = deg C = deg D = deg E = 2 3 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด = 2+3+2+3+0

4 จำนวนเส้นเชื่อม = 8 5 จำนวนเส้นเชื่อม = 10 หาจำนวนเส้นเชื่อม และผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด ในกราฟแต่ละกราฟต่อไปนี้ จำนวนเส้นเชื่อม = 4 = 8 5 จำนวนเส้นเชื่อม = = 10

6 จำนวนเส้นเชื่อม = 12 = มีความสัมพันธ์กันอย่างไร ผลรวมของดีกรี กับ จำนวนเส้นเชื่อมของกราฟ มีความสัมพันธ์กันอย่างไร ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับ สองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

ทฤษฎีบทที่สำคัญ ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ หรือ จำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ เป็นครึ่งหนึ่งของ ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ

ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ พิสูจน์ เนื่องจากเส้นเชื่อมแต่ละเส้นในกราฟเกิดกับจุดยอดเป็นจำนวน 2 ครั้ง ดังนั้นเส้นเชื่อมแต่ละเส้นจะถูกนับ 2 ครั้งในผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด นั่นคือ ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับ สองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ

กราฟมีเส้นเชื่อม 11 เส้น ช่วยกันคิด 1. จงหาจำนวนเส้นเชื่อมของกราฟที่มีผลรวมของดีกรีของ จุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับ 22 วิธีทำ สมมติว่ากราฟมีเส้นเชื่อม n เส้น จากทฤษฎีบทที่ 1 “ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับ สองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ” ดังนั้น 22 = 2n n = 11 กราฟมีเส้นเชื่อม 11 เส้น

ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด คือ 1 + 1 + 2 + 3 = 7 ช่วยกันคิด 2. จงพิจารณาว่าเป็นไปได้หรือไม่ว่าจะมีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด และดีกรีของจุดยอด คือ 1 , 1 , 2 และ 3 ตามลำดับ วิธีทำ สมมติว่ามีกราฟที่มีจุดยอด 4 จุด ดีกรีของจุดยอดเท่ากับ 1 , 1 , 2 และ 3 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด คือ 1 + 1 + 2 + 3 = 7 เป็นจำนวนคี่ ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่1 ดังนั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะมีกราฟดังกล่าว

บทนิยาม จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคู่ เรียกว่า จุดยอดคู่ จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจำนวนคี่ เรียกว่า จุดยอดคี่ จุดยอดคู่ : A และ D จุดยอดคี่ : B และ C

ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุดของกราฟ a b c d e f a d c e b G2 G3 G1 G4 a a b กราฟ จำนวนเส้นเชื่อม ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุดของกราฟ จำนวนจุดยอดคี่ จำนวนจุดยอดคู่ G1 1 G2 1 2 2 G3 8 16 3 2 G4 10 20 2 4

1 2 2 1 5 10 2 1 จำนวนคู่ 6 9 18 2 16 8 2 8

ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่ ทฤษฎีบทที่ 2 ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจำนวนคู่