Review of Ordinary Differential Equations 2301520 Fundamentals of AMCS

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) คำนิยาม ให้ f(t) เป็นฟังก์ชันของ t บนช่วง (a,b) จะได้ว่า สมการอนุพันธ์ สามัญคือสมการที่เกี่ยวข้องกับ t, ฟังก์ชัน f(t), และอนุพันธ์ของ f(t) เรามักจะแทนฟังก์ชัน f(t) ด้วย y ใน ODE ตัวอย่าง

Linear Differential Equation ถ้าเขียนสมการเชิงอนุพันธ์แบบข้างบนไม่ได้เราจะเรียกว่าเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ เชิงเส้น (non-linear differential equation)

Solution ผลเฉลย (Solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์บนช่วง t∈(a,b) คือฟังก์ชัน y(t) ที่ทำให้สมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวเป็นจริงเมื่อ t∈(a,b) ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นผลเฉลยของ สำหรับ จริงๆแล้วสมการจากตัวอย่างนี้มีผลเฉลยมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างผลเฉลยอื่นๆ คือ เป็นต้น

Initial Condition(s) เงื่อนไขเริ่มต้น (initial condition(s)) คือเงื่อนไขหรือเซตของเงื่อนไขที่ บอกค่าของผลเฉลยหรือค่าของอนุพันธ์ของผลเฉลย ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยเฉพาะ เงื่อนไขเริ่มต้นจะเขียนอยู่ในรูป และ/หรือ ตัวอย่าง จงแสดงว่า เป็นผลเฉลยของ

Interval of Validity ช่วงความสมเหตุสมผล (interval of validity) ของปัญหาสมการเชิง อนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น (initial value problem) คือช่วงที่ใหญ่ ที่สุดที่เป็นไปได้โดยที่ผลเฉลยที่ได้ยังคงสมเหตุสมผลและช่วงดังกล่าวต้องรวมค่า อยู่ด้วย

Particular Solution ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์คือผล เฉลยที่ไม่มีตัวคงค่า arbitrary constant และสอดคล้องกับเงื่อนไข เริ่มต้น

General Solution ผลเฉลยทั่วไป (general solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์ คือผลเฉลยที่ มีตัวคงค่า arbitrary constant โดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้น ผลเฉลยทั่วไปเป็นผลเฉลยที่อยู่ในรูปทั่วไปมากที่สุด และสามารถแปลงเป็นผลเฉลย เฉพาะได้ทุกๆ ผลเฉลยเมื่อกำหนดค่าให้ arbitrary constant

Explicit/Implicit Solution ผลเฉลยชัดแจง (explicit solution) คือผลเฉลยในรูป ผลเฉลยโดยปริยาย (implicit solution) คือผลเฉลยในรูป

First Order Differential Equations โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบทั่วไปที่สุดจะเขียนได้เป็น ซึ่งไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับผลเฉลย มีสมการเชิงอนุพันธ์อันดังหนึ่งในรูปแบบพิเศษบางกรณีที่มีสูตรในการหาผลเฉลย อย่างเช่น Linear Equations Separable Equations Exact Equations

Second Order Differential Equations โดยทั่วไปแล้วสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองในรูปแบบทั่วไปที่สุดจะเขียนได้เป็น ถ้า เราเรียกสมการเชิงอนุพันธ์นี้ว่าเป็นสมการ homogeneous ถ้าไม่ใช่ จะเรียกว่าเป็นสมการ nonhomogeneous

Direction Fields บางครั้งเราไม่สามารถหาผลเฉลยที่อยู่ในรูปแบบที่ชัดเจนได้ แต่เราสามารถดู พฤติกรรมของผลเฉลยโดยการวาดกราฟ Direction Fields ได้ ตัวอย่าง

Direction Fields (ต่อ)