Chapter 3: Expected Value of Random Variable

Def 1: ถ้า X เป็น discrete r. v Def 1: ถ้า X เป็น discrete r.v. และ f(x) เป็น ค่าของ probability distribution ณ x, ค่าคาดหมาย (Expected value) ของ x จะเป็น E(X) = Def 2: ถ้า X เป็น continuous r.v. และ f(x) เป็น ค่าของ probability density ณ x, ค่าคาดหมาย (Expected value) ของ x จะเป็น E(X) =

Th’m1: ถ้า X เป็น discrete r. v Th’m1: ถ้า X เป็น discrete r.v. ซึ่งมี f(x) เป็นค่า pdf ณ จุด x, ค่า expected value of g(X) จะเป็น: E[g(X)] = ถ้า X เป็น continuous r.v. ซึ่งมี f(x) เป็นค่า pdf ณ จุด x, ค่า expected value of g(X) จะเป็น:

Th’m 3: ถ้า X และ Y เป็น discrete r. v Th’m 3: ถ้า X และ Y เป็น discrete r.v. ซึ่งมี f(x, y) เป็น joint pdf ณ จุด (x, y), ค่า expected value of g(X, Y) จะเป็น: E[g(X, Y)] = ถ้า X และ Y เป็น continuous r.v. ซึ่งมี f(x, y) เป็น joint pdf ณ จุด (x, y), ค่า expected value of g(X, Y) จะเป็น:

Def 2: โมเมนต์ลำดับที่ r รอบจุด origin (rth moment about the origin) ของ r.v. X ให้แทนด้วยสัญลักษณ์ และมีค่าเท่ากับค่า expected value of Xr ในกรณี X เป็น discrete r.v. และ r = 0, 1, 2, … ในกรณี X เป็น continuous r.v. และ r = 0, 1, 2, …

Def 3: โมเมนต์ลำดับที่ r รอบค่าเฉลี่ย (rth moment about the mean) ของ r.v. X ให้แทนด้วยสัญลักษณ์ และมีค่าเท่ากับค่า expected value of (X - )r ในกรณี X เป็น discrete r.v. และ r = 0, 1, 2, … ในกรณี X เป็น continuous r.v. และ r = 0, 1, 2, …

Variance & S.D. เป็นตัวบอกถึงค่าเฉลี่ยของการกระจายตัวของ X ออกจากค่า mean ของมัน Def 4: เราเรียก ว่าเป็น variance of the distribution of X หรือ variance of X (ความแปรปรวนของ X ) ใช้สัญลักษณ์เป็น , var(X), หรือV(X) เราเรียก รากที่สองของ ว่าเป็น Standard Deviation of X (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ X ) ใช้สัญลักษณ์ หรือ S.D.

3.3 Chebyshev’s Theorem Th’m 5: ถ้า และ เป็นค่า mean และ standard deviation ของ r.v. X และให้ k เป็นค่าคงที่บวกใดๆแล้ว จะได้ว่า ค่าความน่าจะเป็นที่ X จะมีค่าห่างจากค่า ไม่เกิน k standard deviation จะมีค่าไม่น้อยกว่า 1 - 1/k2

3.4 Skewness and Kurtosis Def 5: นิยามให้ ค่าสัมประสิทธิ์ของความเบ้ (Coefficient of Skewness) มีค่าเป็น Def 6: นิยามให้ ค่าสัมประสิทธิ์ของความโด่ง (Coefficient of Kurtosis) มีค่าเป็น

3.5 Moment-Generating Function Def 7: กรณี X เป็น discrete r.v., the moment-generating function of X จะมีค่าเป็น กรณี X เป็น continuous r.v., the moment-generating function of X จะมีค่าเป็น

Taylor’s Series Expansion รอบค่า t=0 (Maclaurin’s Series) ==> ค่า coeff. ของ ใน Taylor’s Series Expansion รอบจุด t=0 มีค่าเท่ากับ

Th’m 6: Th’m 7: คุณสมบัติของ Moment-Generating Fn ถ้าให้ a & b เป็นค่าคงที่ใดๆ 1. 2. 3.

3.6 Product Moments Def 8: The rth and sth product moment about the origin of the r.v. X and Y แทนด้วยสัญลักษณ์ และมีค่าเท่ากับค่า expected value ของ XrYs ในกรณีที่ r = 0,1,2,…; s = 0,1,2,... และ X & Y เป็น discrete r.v. ในกรณีที่ r = 0,1,2,…; s = 0,1,2,... และ X & Y เป็น continuous r.v.

Def 9: The rth and sth product moment about the means of the r. v Def 9: The rth and sth product moment about the means of the r.v. X and Y แทนด้วยสัญลักษณ์ และมีค่าเท่ากับค่า expected value ของ (X - )r (Y - )s ในกรณีที่ r = 0,1,2,…; s = 0,1,2,... และ X & Y เป็น discrete r.v. ในกรณีที่ r = 0,1,2,…; s = 0,1,2,... และ X & Y เป็น continuous r.v.

Def 10: เราจะเรียก ว่าเป็น covariance of X and Y และแทนด้วยสัญลักษณ์ , cov (X, Y), หรือ C(X, Y) ค่า cov (X, Y) จะมีค่าเป็นบวก เมื่อ X & Y มีค่าแปรผันในทิศเดียวกัน --> ถ้า X มีค่าสูง จะพบว่า Y มักมีค่าสูงด้วย --> ถ้า X มีค่าต่ำ จะพบว่า Y มักมีค่าต่ำด้วย ค่า cov (X, Y) จะมีค่าเป็นลบ เมื่อ X & Y มีค่าแปรผันในทิศตรงข้ามกัน --> ถ้า X มีค่าสูง จะพบว่า Y มักมีค่าต่ำ --> ถ้า X มีค่าต่ำ จะพบว่า Y มักมีค่าสูง

3.7Additional Properties of Moments Th’m 11: ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น r.v. และ โดยที่ a1, a2, …, an เป็นค่าคงที่ใดๆแล้ว จะได้ว่า และ

Corollary 11: ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น r.v. ซึ่งเป็นอิสระต่อกัน และ จะได้ว่า [เนื่องจากในกรณี indep, cov(Xi, Xj) = 0 เสมอ]

Th’m 12: ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น r.v. ซึ่งเป็นอิสระต่อกัน และ โดยที่ a1, a2, …, an และ b1, b2, …, bn เป็นค่าคงที่ใดๆแล้ว จะได้ว่า

Corollary 12: ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น r.v. ซึ่งเป็นอิสระต่อกัน และ จะได้ว่า [ในกรณี indep, cov(Xi, Xj) = 0 เสมอ]

3.7 Conditional Expectations Def 11: กรณี X เป็น discrete r.v. ซึ่งมี f(x|y) เป็น conditional pdf of X given Y=y ค่า conditional expectation of u(X) given Y=y จะมีค่าเป็น กรณี X เป็น continuous r.v. ซึ่งมี f(x|y) เป็น conditional pdf of X given Y=y ค่า conditional expectation of u(X) given Y=y จะมีค่าเป็น