Chapter 6: Sampling Distributions

Def 1: กลุ่มตัวอย่าง X1, X2, …, Xn ซึ่งเราสุ่มจาก infinite population จะถือเป็น ramdom sample ก็ต่อเมื่อ X1, X2, …, Xn เป็น independent and identically distributed (iid) r.v. Def 2: ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น ramdom sample จะได้ว่า เรียกว่า sample mean เรียกว่า sample variance

6.2 Distribution of the Mean Th’m 1: ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น ramdom sample จาก infinite population ซึ่งมี mean และ variance จะได้ว่า และ Th’m 2 :สำหรับทุกค่าคงที่ที่เป็นบวก c ความน่าจะเป็นที่ มีค่าระหว่าง และ จะมีค่าไม่น้อยกว่า เสมอ และเมื่อ ค่าความน่าจะเป็นจะมีค่าเข้าใกล้ 1 “Law of Large Numbers” (พิสูจน์จาก Chebyshev’s Theorem ตรงๆ)

เมื่อ จะเข้าสู่ standard normal distribution Th’m 3: (Central Limit Theorem) ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น ramdom sample จาก infinite population ที่มี mean และ variance จะได้ว่า limiting distribution of เมื่อ จะเข้าสู่ standard normal distribution พิสูจน์ CLT:

Th’m 4: ถ้า เป็น mean ของ random sample ขนาด n จาก normal distribution ที่มี mean และvariance จะได้ว่า sampling distribution (distribution of ) จะเป็น normal distribution ที่มี mean และvariance เสมอ ไม่ขึ้นกับขนาดของ n

6.3 Distribution of the Mean : Finite Populations Def 3: สมมติให้ X1 เป็นค่าแรกที่สุ่มได้จาก finite population of size N, X2 เป็นค่าลำดับสอง ,…, Xn เป็นค่าลำดับ n ถ้า joint pdf ของตัวแปรสุ่มทั้ง n ตัว มีค่าเป็น เราจะสรุปได้ว่า X1, X2, …, Xn เป็น random sample จาก finite population จริง

Def 4: ค่า mean และ variance ของ finite population of size N (ซึ่งมีค่าเป็น c1, c2, …, cN ) จะมีค่าเท่ากับ คือ และ

Th’m 5: ถ้า และ คือ rv ลำดับที่ r และ s ของ random sample ขนาด n จาก finite population จะได้ว่า Th’m 6: ถ้า คือ mean ของ random sample ขนาด n จาก finite population ขนาด N จะได้ว่า และ

6.4 The Chi-square Distribution จุดเด่นของ Chi-Sq Distribution: ถ้า r.v. X เป็น Normal Dist --> X2 จะเป็น Chi-Square Dist pdf ของ Chi-Sq: ถ้า r.v. X เป็น Chi-Square r.v.

6.4 The Chi-square Distribution Th’m 7: ถ้า X มี standard normal distribution จะได้ว่า X2 จะมี Chi-square distribution with ( degree of freedom ) Th’m 8: ถ้า เป็น independent rv ที่มี standard normal distributions จะได้ว่า Th’m 9: ถ้า เป็น independent rv ที่มี chi-square distribution with degree of freedom จะได้ว่า

Th’m 10: ถ้า และ เป็น independent rv โดยที่ และ จะได้ว่า Th’m 11: ถ้า และ เป็น mean และ variance ของ random sample ขนาด n จาก normal distribution ที่มี mean และ variance จะได้ว่า 1. และ เป็นอิสระต่อกัน 2. ตัวแปรสุ่ม

6.5 The t Distribution Th’m 12: ถ้า Y และ Z เป็น independent rv และ จะได้ว่า จะมี t distribution โดยที่ d.f. = pdf of T จะเป็น for

Th’m 13: ถ้า และ คือ mean และ variance ของ random sample ขนาด n จาก normal population ที่มี mean และ variance จะได้ว่า มีการแจกแจงแบบ t มี degrees of freedom

6.6 The F Distribution Th’m 14: ถ้า U และ V เป็น independent rv มีการแจกแจงแบบ chi-square with d.f. และ จะได้ว่า เป็น rv ที่มีการแจกแจงแบบ F และมี pdf เป็น for และ elsewhere

Th’m 15: ถ้า และ คือ variance ของ independent random sample ขนาด และ จาก normal populations ที่มี variance เป็น และ จะได้ว่า คือ rv ที่มีการแจกแจงแบบ F ที่มี degrees of freedom และ