ลำดับทางเดียว (Monotonic Sequences)

บทนิยาม 3.3.1 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง (1) ถ้า s1  s2  s3  …  sn  sn+1  … แล้วเรียก ว่าเป็น ลำดับไม่ลด (non-decreasing sequence) (2) ถ้า s1  s2  s3  …  sn  sn+1  … แล้วเรียก ว่าเป็น ลำดับไม่เพิ่ม (non-increasing sequence) (3) ลำดับทางเดียว คือ ลำดับที่เป็นลำดับไม่ลด หรือ เป็นลำดับไม่เพิ่ม

ตัวอย่าง 1 จงพิจารณาว่า เป็นลำดับทางเดียวหรือไม่ พิจารณา sn+1 – sn = ( 1+ ) – ( 1 + ) = > 0 , n ดังนั้น sn  sn+1 , n จึงได้ว่า เป็นลำดับไม่ลด นั้นคือ เป็นลำดับทางเดียว 

ตัวอย่าง 2 ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับทางเดียว (1) 1, 3, 5, 7, …, 2n – 1, ... เป็นลำดับไม่ลด (2) , , , , ... , , ... เป็นลำดับไม่ลด (3) –1, –4, –7, –10, …, 2 – 3n, ... เป็นลำดับไม่เพิ่ม (4) 1, , , , . . . , , . . . เป็นลำดับไม่เพิ่ม

ลำดับทางเดียวบางลำดับลู่เข้า เช่นตัวอย่าง 2 (2) และ (4) แต่บางลำดับลู่ออก เช่น ตัวอย่าง 2 (1) และ (3) การเป็นลำดับทางเดียวเพียงอย่างเดียวไม่สามารถบอกการลู่เข้า หรือลู่ออกของลำดับได้ แต่ถ้าพิจารณาร่วมกับการมีขอบเขตของลำดับนั้นๆ เราสามารถ ทราบว่าลำดับนั้นเป็นลำดับลู่เข้า หรือลู่ออกได้ ดังทฤษฎีที่จะกล่าวต่อไป

ทฤษฎีบท 3.3.2 ให้ เป็นลำดับไม่ลด และมีขอบเขตบน แล้ว เป็นลำดับลู่เข้า การพิสูจน์ ให้ A เป็นเรนจ์ของลำดับ A = { s1, s2, s3, … } เนื่องจากเซต A มีขอบเขตบน ดังนั้นเซต A จะมี ขอบเขตบนน้อยสุด และให้ M = l.u.b.A คาดว่า sn  M เมื่อ n  

ให้  > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ sk > M –  ,  k เนื่องจาก sn  sn+1 , n ดังนั้น sn > M –  , n  k ..........(1) แต่ M เป็นขอบเขตบน ดังนั้น sn  M , n และ sn < M +  , n ..........(2) จาก (1), (2) จึงได้ว่า M –  < sn < M +  , n  k ดังนั้น | sn – M | <  , n  k นั่นคือ = M

ทฤษฎีบท 3.3.3 ให้ เป็นลำดับไม่ลดและไม่มีขอบเขตบน แล้ว เป็นลำดับที่ลู่ออกสู่บวกอนันต์ การพิสูจน์ ให้ M > 0 จาก ไม่มีขอบเขตบน จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ sk > M แต่ เป็นลำดับไม่ลด ทำให้ sn > M , n  k นั่นคือ sn   เมื่อ n   

ทฤษฎีบท 3.3.4 ให้ เป็นลำดับไม่เพิ่ม และมีขอบเขตล่าง แล้ว เป็นลำดับที่ลู่เข้า การพิสูจน์ (ให้ผู้อ่านพิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด) 

ทฤษฎีบท 3.3.4 ให้ เป็นลำดับไม่เพิ่ม และไม่มี ขอบเขตล่าง แล้ว เป็นลำดับที่ลู่ออกสู่ลบอนันต์ การพิสูจน์ (ให้ผู้อ่านพิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด) 