(Some Extension of Limit Concept) ส่วนขยายแนวคิดลิมิต (Some Extension of Limit Concept)

บทนิยาม 4.3.1 ให้ f : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D( x0, ) = { xD | x > x0 } ฟังก์ชัน f จะเรียกว่า มีลิมิตขวา (right-hand limit) ที่ x0 เท่ากับ L ก็ต่อเมื่อสำหรับ  > 0 จะมี  > 0 ถ้า 0 < x – x0 < , xD ทำให้ | f(x) – L | <  และเขียนแทนด้วย f(x) = L อ่านว่า ลิมิตของ f เมื่อ x เข้าใกล้ x0 ทางขวาเท่ากับ L

บทนิยาม 4.3.2 ให้ f : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D( –, x0 ) = {xD | x < x0} ฟังก์ชัน f จะเรียกว่า มีลิมิตซ้าย (left-hand limit) ที่ x0 เท่ากับ L ก็ต่อเมื่อ สำหรับ  > 0 จะมี  > 0 ถ้า 0 < x0 – x < , xD ทำให้ | f(x) – L | <  และเขียนแทนด้วย f(x) = L อ่านว่า ลิมิตของ f เมื่อ x เข้าใกล้ x0 ทางซ้ายเท่ากับ L

ทฤษฎีบท 4.3.3 ให้ f : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D( x0, ) แล้ว f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับลำดับ xn ใดๆที่ลู่เข้าสู่ x0 ที่ xnD และ xn > x0 ทุก n แล้วลำดับ ลู่เข้าสู่ L การพิสูจน์ สามารถทำได้ในทำนองเดียวกับ ทฤษฎีบท 4.1.2 

ทฤษฎีบท 4.3.4 ให้ f : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D( x0, ) และ D( –, x0 ) แล้ว f(x) = L ก็ต่อเมื่อ f(x) = L = f(x) การพิสูจน์ ( ) ให้ f(x) = L สำหรับ  > 0 จะมี  > 0 ที่ 0 < | x – x0 | <  ทำให้ | f(x) – L | <  ดังนั้น f(x) = L = f(x)

( ) ให้  > 0 เนื่องจาก f(x) = L จะมี 1 > 0 ที่ 0 < x – x0 < 1 และ xD ทำให้ | f(x) – L | <  เนื่องจาก f(x) = L จะมี 2 > 0 ที่ 0 < x0 – x < 2 และ xD เลือก  = min { 1, 2 } จะได้ว่า ถ้า 0 < | x – x0 | <  ทำให้ | f(x) – L | <  นั่นคือ f(x) = L 

ลิมิตอนันต์ (Infinite Limits) กำหนด f(x) = เมื่อ x  0 ดังรูป 4.3.1 ฟังก์ชัน f ไม่มีขอบเขตบนย่านของจุด 0 ฟังก์ชัน f ย่อมไม่สอดคล้องกับนิยาม 4.1.1 ทำให้ f ไม่มีลิมิตที่ 0 Y X

ในที่นี้เพื่อความสะดวกจะใช้สัญลักษณ์  (+ ) หรือ – แทนค่าที่ฟังก์ชันไม่มีขอบเขต แต่ต้องคำนึงเสมอว่า  และ – ไม่เป็นจำนวนจริง

บทนิยาม 4.3.5 ให้ f : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D 1) จะกล่าวว่า f มีค่าเข้าใกล้  เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ x0 และเขียนแทนด้วย f(x) =  ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < | x – x0 | <  และ xD แล้ว f(x) >  2) จะกล่าวว่า f มีค่าเข้าใกล้ – เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ x0 และเขียนแทนด้วย f(x) = – ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < | x – x0 | <  และ xD แล้ว f(x) < –

ทฤษฎีบท 4.3.6 ให้ f, g : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D และ f(x)  g(x) สำหรับทุกๆ xD เมื่อ x  x0 (2) ถ้า g(x) = - แล้ว f(x) = -

การพิสูจน์ (1) กำหนด f(x) =  ให้  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < | x – x0 | < , xD ทำให้ f(x) >  เนื่องจาก f(x)  g(x) ทุก xD เมื่อ x  x0 ดังนั้น ถ้า 0 < | x – x0 | < , xD ทำให้ g(x) >  นั่นคือ g(x) =  (2) พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด 

บทนิยาม 4.3.7 ให้ f : D (1) x0 เป็นจุดลิมิตของ D( x0,  ) = { xD | x > x0 } จะเรียก f เข้าใกล้ (–) เมื่อ x  x0+ และเขียนแทนด้วย f(x) =  [ f(x) = – ] ก็ต่อเมื่อสำหรับ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < x – x0 <  และ xD แล้ว f(x) > [ f(x) < – ]

x0 เป็นจุดลิมิตของ D( –, x0 ) = { xD | x < x0 } จะเรียก f เข้าใกล้ (–) เมื่อ x  x0– และเขียนแทนด้วย f(x) =  [ f(x) = – ] ก็ต่อเมื่อสำหรับ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < x0 – x <  และ xD แล้ว f(x) > [ f(x) < – ]

บทนิยาม 4.3.8 ให้ f : D (1) ให้ ( a,  )  D จะเรียก L ว่าเป็น ลิมิตของ f เมื่อ x เข้าใกล้  และเขียนแทนด้วย f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับ  > 0 จะมี k > a ซึ่งถ้า x > k ทำให้ | f(x) – L | <  (2) ให้ (–, b )  D จะเรียก L ว่าเป็น ลิมิตของ f เมื่อ x เข้าใกล้ – และเขียนแทนด้วย f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับ  > 0 จะมี k < b ซึ่งถ้า x < k ทำให้ | f(x) – L | < 

บทนิยาม 4.3.9 ให้ f : D (1) ให้ ( a,  )  D , a จะเรียกว่า f เข้าใกล้ (–) เมื่อ x เขียนแทนด้วย f(x) =  [ f(x) = – ] ก็ต่อเมื่อ  > 0 จะมี k > a ซึ่งถ้า x > k แล้ว f(x) >  [ f(x) < – ]

ให้ (–, b )  D , b จะเรียกว่า f เข้าใกล้  (–) เมื่อ x– เขียนแทนด้วย f(x) =  [ f(x) = – ] ก็ต่อเมื่อ  > 0 จะมี k < b ซึ่งถ้า x < k แล้ว f(x) >  [ f(x) < – ]

ทฤษฎีบท 4.3.10 ให้ D  และ f, g : D , ( a, )  D , a ถ้า g(x) > 0 สำหรับ x > a และ = L เมื่อ L , L  0 ถ้า L > 0 แล้ว f(x) =  ก็ต่อเมื่อ g(x) =  ถ้า L < 0 แล้ว f(x) = – ก็ต่อเมื่อ g(x) = 