ENGINEERING MATHAMETICS 1 เฉลยข้อสอบกลางภาค ENGINEERING MATHAMETICS 1 รหัสวิชา 417167 ประจำปีการศึกษา 2540

เฉลยข้อสอบกลางภาควิชา ENGINEERING MATHAMETICS 1 (417167) 1. จากระบบสมการ x + 2y - 3z = 4 3x - y + 5z = 2 4x + y + (a2-14) z = a + 2 จงหาค่า a ที่ทำให้ระบบสมการเชิงเส้นมีผลเฉลยเพียงหนึ่งผลเฉลย 2. จงพิจารณาลักษณะกราฟของสมการ (บอกด้วยว่าเป็นกราฟอะไร พร้อมทั้งเขียนกราฟด้วย) 3. จงหาค่าของ x 4. จงหาค่าของ x 5. ให้ f(g(x) = x ถ้า g(0) = 1 และ g’(0) = 2 จงหา f’(1)

6. กำหนดให้ x และ y เป็นฟังก์ชันของ t ซึ่งสอดคล้องกับสมการ จงหา 7. ให้ y เป็น ฟังก์ชันของ x ซึ่งสอดคล้องกับสมการ จงหา 8. ให้ จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน f โดยพิจารณาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ จุดต่ำ สุดสัมพัทธ์ จุดเปลี่ยนเว้า ช่วงที่กราฟเพิ่มขึ้นหรือลดลง ช่วงที่กราฟเว้าบนหรือเว้าล่าง เส้นกำกับแนวดิ่ง เส้นกำกับแนวนอน แล้วนำผลที่ได้เติมลงในช่องว่างและเขียนกราฟด้วย 9. จงใช้ผลต่างอนุพัทธ์หาค่าประมาณของ

1. วิธีทำ จากสมการสามารถเปลี่ยนเป็นเมตริกซ์ได้ดังนี้ 1. วิธีทำ จากสมการสามารถเปลี่ยนเป็นเมตริกซ์ได้ดังนี้ ~ โจทย์

ถ้า จึงทำให้ จำนวนตัวแปร = 3 ถ้า จึงทำให้ จำนวนตัวแปร = 3 ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นมีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว ถ้า a เป็นจำนวนจริง ใดๆที่ไม่ใช่ 4 โจทย์

2. วิธีทำ จากสมการสามารถเขียนอยู่ในรูปเมตริกซ์ได้ 2. วิธีทำ จากสมการสามารถเขียนอยู่ในรูปเมตริกซ์ได้ ให้ หาค่าเจาะจง ( eigen value ) จาก จะได้ โจทย์

จาก r = 9 หา eigen vector โจทย์

เวกเตอร์เจาะจง ( eigen vector ) ที่คู่กับค่าเจาะจง = 9 คือ ให้ x1 = 1 , x2 = - 2 เวกเตอร์เจาะจง ( eigen vector ) ที่คู่กับค่าเจาะจง = 9 คือ จาก r = 4 หา eigen vector ; y1 = 2y2 ให้ y2 = 1 ; y1 = 2 โจทย์

เวกเตอร์เจาะจง ( eigen vector ) ที่คู่กับค่าเจาะจง = 4 คือ เมตริกซ์การหมุน P = จาก สมการที่เทียบกับการหมุน คือ โจทย์

โจทย์

y y’ x x’ โจทย์

ข้อ.3 วิธีทำ lim x อยู่ในรูป . lim x lim x x lim = ( L’Hopital ) x lim ข้อ.3 วิธีทำ lim x อยู่ในรูป . lim x lim x x lim = ( L’Hopital ) x lim = x lim = = 1 x โจทย์

= x = lim y = e3 x โจทย์

ข้อ.5 วิธีทำ ที่ x = 0 ได้ ( โจทย์กำหนด ) โจทย์

ข้อ.6 วิธีทำ โจทย์

โจทย์

ข้อ.7 วิธีทำ โจทย์

ดังนั้นเส้นตรง x = - 1 เป็นเส้นกำกับแนวดิ่ง ข้อ.8 วิธีทำ lim x -1 - lim x -1 + lim x lim x ดังนั้นเส้นตรง x = - 1 เป็นเส้นกำกับแนวดิ่ง โจทย์

ดังนั้นจุดวิกฤติคือ ( 1 , f ( 1 ) ) ซึ่ง เมื่อ และ ดังนั้นจุดวิกฤติคือ ( 1 , f ( 1 ) ) และช่วงที่ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มคือ ( -1 , 1 ) และช่วงที่ x เป็นฟังก์ชันลดคือ และจุด ( 1 , f ( 1 ) ) เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ โจทย์

ดังนั้นที่จุด ( 2 , f ( 2 ) ) เป็นจุดเปลี่ยนเว้า โจทย์

และช่วงที่กราฟเว้าบนคือ และช่วงที่กราฟเว้าล่างคือ จุดสูงสุดสัมพัทธ์คือ , จุดเปลี่ยนเว้าคือ ช่วงที่กราฟเพิ่มขึ้นคือ , ช่วงที่กราฟลดลงคือ ช่วงที่กราฟเว้าบนคือ , ช่วงที่กราฟเว้าล่างคือ เส้นกำกับแนวดิ่งคือ , เส้นกำกับแนวนอนคือ โจทย์

y x =1 x โจทย์

ข้อ.9 วิธีทำ จาก ให้ จะหา เมื่อ และ จาก ดังนั้น และจาก โจทย์