ระบบจำนวนจริง(Real Number) สำหรับ a , b , c ที่เป็นจำนวนจริง 1. a+b เป็นจำนวนจริง มีสมบัติปิดการบวก 2.(a+b)+c = a+(b+c) มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ 3. a+0 = a มีเอกลักษณ์การบวก คือ 0 4. a+(-a)=0 มีอินเวอร์สการบวกคือ -a ระบบที่มีสมบัติทั้งสี่ เรียกว่า กรุ๊ปกับการบวก (Group)

ระบบจำนวนจริง(Real Number) สำหรับ a , b , c ที่เป็นจำนวนจริง 1. axb เป็นจำนวนจริง มีสมบัติปิดการคูณ 2. ax(bxc)=(axb)xc มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ 3. ax1 = a มีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1   ระบบที่มีสมบัติทั้งสี่ เรียกว่า กรุ๊ปกับการคูณ (Group)

ระบบจำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) Im(Z) Imagine Axis Complex Real Real Axis Re(Z)

i คือ (0,1) และ i2 = -1 Z=a+ib I (a,b) |Z| b i R a

กราฟของสมการ y= x2+1 จงหาคำตอบสมการของ x2+1=0 พบว่า ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เพราะ x2= -1หาค่า xอยู่ใน Rไม่มี นักคณิตศาสตร์จึงพยายาม หาคำตอบ โดยนิยามให้ i2= -1 โดย i อยู่ใน C

ระบบจำนวนเชิงซ้อนที่นิยามขึ้นมา จำเป็นต้องมีการตรวจสอบว่า มีสมบัติการเป็นกรุ๊ปกับการบวก และการคูณ หรือไม่

(a,0) เรียกว่า ส่วนจริง Re(Z) (0,b) เรียกว่า ส่วนจินตภาพ Im(Z) บทนิยาม จำนวนเชิงซ้อน Z คือ (a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a+ib เมื่อ 12 = -1 (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+ib = a+bi (a,0) เรียกว่า ส่วนจริง Re(Z) (0,b) เรียกว่า ส่วนจินตภาพ Im(Z) ดังนั้นจำนวนจริง a เขียนแทนได้ด้วย (a,0) = a+i0

การเท่ากัน (a,b)=(c,d)เมื่อ a=cและb=d ข้อตกลงเบื้องต้น การเท่ากัน (a,b)=(c,d)เมื่อ a=cและb=d การบวก (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) หรือ a+ib + c+id = [a+c] + i[b+d] การคูณ (a,b)(c,d)=(ac-bd , ad+bc) หรือ [a+bi][c+di]= {ac+bdi2}+i{ad+bc} = {ac-bd}+i{ad+bc} เมื่อ i2 =-1

สมบัติของ in เมื่อนำ 4 หาร n แล้วเหลือเศษ ได้ว่า 1 i i i2 -1 2 1 i4 i3 -i Cyclic Order 3

ตรวจสอบสมบัติของการเป็นกรุ๊ป กับการบวกและการคูณ (a,b)+(c,d) และ (a,b)*(c,d) ผลที่ได้เป็นจำนวนเชิงซ้อน มีสมบัติปิดกับ การบวกและการคูณ (a,b)+{(c,d)+(e,f)}={(a,b)+(c,d)}+(e,f) และ (a,b)*{(c,d)*(e,f)}={(a,b)*(c,d)}*(e,f) มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้กับการบวกและการคูณ

สมบัติการมีเอกลักษณ์ (a,b)+(0,0) = (a,b) มีเอกลักษณ์การบวกคือ (0,0) (a,b)*(1,0) = (a,b) มีเอกลักษณ์การคูณคือ (1,0) สมบัติการมีอินเวอร์ส(ตัวผกผัน) (a,b)+(-a,-b) = (0,0) มีอินเวอร์สการบวกคือ (-a,-b) (a,b)*(x,y) = (1,0) มีอินเวอร์สการคูณคือ (x,y) และ(x.y) คือ

ตรวจสอบสมบัติครบ 4 ข้อ แสดงว่าระบบจำนวนเชิงซ้อนเป็นกรุ๊ป กับการบวกและการคูณ สามารถนำไปใช้ได้ทุกกรณี ผลสืบเนื่องได้ว่า การลบคือการบวกด้วยตัวผกผัน การหารคือการคูณด้วยตัวผกผัน

แต่แนวทางปฏิบัติมักจะใช้สังยุคของ ตัวหารช่วยในการคำนวณ การหารคือการคูณด้วยตัวผกผัน แต่แนวทางปฏิบัติมักจะใช้สังยุคของ ตัวหารช่วยในการคำนวณ เพราะ (a,b)(a,-b) =(a2+b2,0) a2+b2 เป็นจำนวนจริงหรือเป็นส่วนจริง ของระบบจำนวนเชิงซ้อน เป็นตัวช่วยหาผลหาร