หลักการนับพื้นฐาน การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ สัมประสิทธิ์ทวินาม

หลักการบวก (Addition principle) ขณะที่งานที่สองทำได้ n2 วิธี ซึ่งจะมีวิธีที่จะเลือกทำงานได้ทั้งหมด n1 + n2 วิธี 2) การทำงาน k อย่าง ไม่พร้อมกัน โดยแต่ละงานทำได้ n1, n2, n3, …, nk วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานมีทั้งหมด n1 + n2 + n3 + … + nk วิธี

ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค จากไพ่สำรับหนึ่งที่มี 52 ใบ วิธีทำ เนื่องจากไพ่แต้มคิง หรือ แจ๊ค มีอย่างละ 4 ใบ การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค แบ่งเป็น 2 กรณี คือ 1) การเลือกหยิบไพ่แต้มคิง 1 ใบ จากไพ่แต้มคิงทั้งหมด 4 ใบ ทำได้ 4 วิธี 2) การเลือกหยิบไพ่แต้มแจ๊ค 1 ใบ จากไพ่แต้มแจ๊คทั้งหมด 4 ใบ ทำได้ 4 วิธี ดังนั้น การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค ทำได้ 4 + 4 = 8 วิธี

ตัวอย่าง

หลักการคูณ (Multiplication principle) และในแต่ละวิธีที่ทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงาน อย่างที่ 3 ได้ n3  วิธี จำนวนทั้งหมดที่จะเลือกวิธีทำงานอย่างแรก อย่างที่ 2 และ อย่างที่ 3 = n1 x n2 x n3 วิธี จำนวนทั้งหมดที่จะเลือกวิธีทำงาน k อย่างร่วมกัน = n1 x n2 x n3.....x nk วิธี

ตัวอย่าง ห้องประชุมแห่งหนึ่งมีประตูอยู่ 3 ประตู จงหาวิธีที่เดินเข้าและออกห้องประชุม ถ้ามีเงื่อนไข คือ 1. เดินเข้าและออกประตูใดก็ได้ 2. ห้ามเดินเข้าและออกซ้ำประตูเดิม วิธีทำ สามารถทำได้ ดังนี้ 1. เลือกเดินเข้า 1 ประตู จากทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3 วิธี 2. เลือกเดินออก 1 ประตู จากทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3 วิธี ดังนั้น วิธีที่เดินเข้าและเดินออกห้องประชุมประตูใดก็ได้ เท่ากับ 3x3 = 9 วิธี 2. เลือกเดินออก 1 ประตู จากทั้งหมด 2 ประตู ทำได้ 2 วิธี ดังนั้น วิธีที่เดินเข้าและเดินออกห้องประชุมประตูใดก็ได้ เท่ากับ 3x2 = 6 วิธี

การแต่งกายของดำรงหน่งชุดประกอบด้วย เสื้อ กางเกง และรองเท้าถ้าดำรง มีเสื้อ 5 ตัว กางเกง 3 ตัว และรองเท้า 2 คู่ ดำรงจะเลือกแต่งกายได้ต่างๆกี่ชุด วิธีทำ การแต่งกายของดำรงประกอบด้วย 3 ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 เลือกสวมกางเกงซึ่งเลือกได้ 3 วิธี และในแต่ละวิธีทำในขั้นตอนที่ 1 ยังสามารถเลือกทำงาน ในขั้นตอนที่ 2 คือ สวมเสื้อได้อีก 5 วิธีและในแต่ละวิธีที่เลือกทำงาน ในขั้นตอนที่1 และ 2 ยังสามารถเลือกทำงาน ในขั้นตอนที่ 3 คือ สวมรองเท้าได้อีก 2 วิธี ดั้งนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำกิจกรรมนี้เสร็จสิ้น = 3 x 5 x   2 = 30 วิธี นั่นคือ ดำรงสามารถเลือกแต่งกายได้ 30 ชุด

วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutations) วิธีเรียงสับเปลี่ยนสามารถแบ่งเป็นประเภทใหญ่ๆได้ 3 ประเภทดังนี้ 1.วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่ต่างๆกันในลักษณะเป็นแถวตรง 2.วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่มีบางสิ่งซ้ำกันในลักษณะเป็นแถวตรง 3.วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของต่างๆกันในลักษณะเป็นวงกลม

วิธีเรียงสับเปลี่ยนแถวตรง

4! / 1! นับจำนวนวิธี C D B C D A B C D ? A C D ? A D ?

ข้อแตกต่าง การสับเปลี่ยน และ การจัดหมู่

Pascal's Triangle http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html

สามเหลี่ยมปาสคาล (Pascal’s Triangle) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ Blaise Pascal เป็นที่ผู้นำสัมประสิทธิ์ของการ กระจาย เมื่อ เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ เป็นจำนวนเต็มบวกมาเขียนเรียงกัน จะเป็นลักษณะรูปสามเหลี่ยม จึงเรียกการเรียงกันของค่าที่จัดเรียงนี้ว่าสามเหลี่ยมปาสคาล