matrix 1.Thamonaporn intasuwan no.7 2.Wannisa chawlaw no.13 3.Sunita taoklang no.17 4.Aungkhana mueagjinda no.20

การแก้ระบบสมการโดยการใช้อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

1. การแก้ระบบสมการโดยการใช้อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ กำหนดระบบสมการเชิงเส้น 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 2 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑥 1 + 𝑎 𝑛2 𝑥 2 ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛

สามารถเขียนระบบสมการในรูปเมทริกซ์ได้เป็น AX = 𝑎 11 𝑎 21 ⋮ 𝑎 12 𝑎 22 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ ⋯ 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 =B …………...(1) โดยที่ A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (det(A) ≠0) นำ 𝐴 −1 คูณทั้งสองข้างของสมการ (1) จะได้ว่า A −1 (AX) = A −1 B ( A −1 A) = A −1 B I n X = A −1 B X = A −1 B ดังนั้น A −1 Bเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

(*)……..1. การตรวจสอบว่า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานให้ดูจาก det(A) ≠ 0 สรุปได้ว่า ถ้า AX = B เป็นระบบสมการเชิงเส้นโดยที่ A = [ 𝑎 𝑖𝑗 ] 𝑛×𝑛 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานแล้วระบบสมการเชิงเส้นนี้จะมีคำตอบเพียงคำตอบคือ x = 𝐴 −1 B (*)……..1. การตรวจสอบว่า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานให้ดูจาก det(A) ≠ 0 2. การหา 𝐴 −1 ให้หาจากสูตร 𝐴 −1 = 1 det⁡(𝐴) ×adj A

ตัวอย่างที่ 1จงแก้สมการเชิงเส้น x + 2y = 4 2x + 3y = 7 วิธีทำAX = B 1 2 2 3 𝑥 𝑦 = 4 7 𝐴 −1 (AX) = 𝐴 −1 B ( 𝐴 −1 A) = 𝐴 −1 B X = 𝐴 −1 B จะได้เมทริกซ์ คือ AX = B 1 2 2 3 𝑥 𝑦 = 4 7

เนื่องจาก det (A) = -1 ≠ 0 ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน จะได้ 𝐴 −1 = 1 −1 3 −2 −2 1 = −3 2 2 1 จาก X = 𝐴 −1 B = −3 2 2 1 4 7 = −12 + 14 8 − 7 = 2 1 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ x = 2 และ y = 1 หรือ ( 2,1 )

ตัวอย่างที่ 2จงแก้ระบบสมการ x + y + z = 10 3x + z = 13 y + 2x – z – 9 = 0 แปลงค่า x + y + z = 10 3x+ z = 13 2x + y – z = 9 วิธีทำ จะได้เมทริกซ์ คือ AX = B 1 1 1 3 0 1 2 1 −1 𝑥 𝑦 𝑧 = 10 13 9

det (A) = 1 3 1 0 2 1 1 1 −1 1 1 3 0 2 1 = (0 + 2 + 3) – (0 + 1 + (-3)) = 5 – (-2) = 5+ 2 = 7 ดังนั้น det (A) คือ 7 เนื่องจาก det (A) ≠0 ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

จาก CO-A = 0 1 1 −1 − 3 1 2 −1 3 0 2 1 − 1 1 1 −1 1 1 2 −1 − 1 1 2 1 1 1 0 1 − 1 1 3 1 1 1 3 0 CO-A = −1 5 2 1 −3 1 3 1 −3 adj A = −1 2 5 3 −3 1 1 2 −3

หา 𝐴 −1 จาก 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 adjA 𝐴 −1 = 1 7 −1 2 5 3 −3 1 1 2 −3 = −1 7 5 7 3 7 2 7 1 7 −3 7 2 7 1 7 −3 7

ดังนั้น 𝐴 −1 คือ −1 7 5 7 3 7 2 7 1 7 −3 7 2 7 1 7 −3 7 หา x ได้จาก X = 𝐴 −1 B = −1 7 5 7 3 7 2 7 1 7 −3 7 2 7 1 7 −3 7 10 13 9

= −1 7 (10) 5 7 (10) 3 7 (10) 2 7 (13) 1 7 (9) −3 7 (13) 2 7 (9) 1 7 (13) −3 7 (9) = −10 7 50 7 30 7 26 7 9 7 −39 7 18 7 13 7 −27 7

ดังนั้น X = 𝐴 −1 B = 25 7 29 7 16 7 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ x = 25 7 ,y = 29 7 , 𝑧= 16 7 หรือ ( 25 7 , 29 7 , 16 7 )

แบบฝึกหัด จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ โดยใช้อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ 1.จงแก้ระบบสมาการ 3x – 6y = 2 5x + 4y = 1 2. จงแก้ระบบสมาการ x + y - z = -1 4x - 3y + 2z = 16 2x - 2y - 3z = 5

เฉลยแบบฝึกหัด 1.จงแก้ระบบสมการ 3x – 6y = 2 5x + 4y = 1 วิธีทำ 3 −6 5 4 𝑥 𝑦 = 2 1 เนื่องจาก det (A) = 12 - (-30) = 42 ซึ่งไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน

จะได้ 𝐴 −1 = 1 42 4 6 −5 3 = 4 42 6 42 −5 42 3 42 = 2 21 1 7 −5 42 1 14 ดังนั้น 𝐴 −1 คือ 2 21 1 7 −5 42 1 14

จาก X = 𝐴 −1 B = 2 21 1 7 −5 42 1 14 2 1 = 2 21 (2) 1 7 (1) −5 42 (2) 1 14 (1) = 4 21 + 1 7 −10 42 + 1 14

= 4 21 + 3 21 −10 42 + 3 42 = 7 21 −7 42 = 1 3 −1 6 ดังนั้น คำตอบของสมการคือ x = 1 3 และ y = −1 6

2. จงแก้ระบบสมาการ x + y - z = -1 4x - 3y + 2z = 16 2x - 2y - 3z = 5 วิธีทำ จะได้เมทริกซ์ คือ AX = B 1 1 −1 4 −3 2 2 −2 −3 𝑥 𝑦 𝑧 = −1 16 5 det (A) = 1 1 −1 4 −3 2 2 −2 −3 1 1 4 −3 2 −2

= (9 + 4 + 8) – (6 - 4 -12) = 21 –(-10) = 31 เนื่องจาก det(A) = 31 ซึ่งไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน หา 𝐴 −1 จาก 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 adj A

CO-A = −3 2 −2 −3 − 4 2 2 −3 4 −3 2 −2 − 1 −1 −2 −3 1 −1 2 −3 − 1 1 2 −2 1 −1 −3 2 − 1 −1 4 2 1 1 4 −3 CO-A = 13 16 5 −1 −1 −6 −2 4 −7 adj A = 13 5 16 −2 −1 4 −1 −6 −7

หา 𝐴 −1 จาก 𝐴 −1 = 1 det 𝐴 adj A 𝐴 −1 = 1 31 13 5 16 −2 −1 4 −1 −6 −7 = 13 31 −16 31 −2 31 5 31 −1 31 −1 31 −6 31 4 31 −7 31

ดังนั้น 𝐴 −1 คือ 13 31 −16 31 −2 31 5 31 −1 31 −1 31 −6 31 4 31 −7 31 หา x ได้จาก X = 𝐴 −1 B = 13 31 −16 31 −2 31 5 31 −1 31 −1 31 −6 31 4 31 −7 31 −1 16 5

= 13 31 (−1) −16 31 (−1) −2 31 (−1) 5 31 (16) −1 31 (5) −1 31 (16) −6 31 (5) 4 31 (16) −7 31 (5) = (−13) 31 + (−16) 31 2 31 + + 80 31 + 65 31 (−16) 31 + (−30) 31 64 31 + (−35) 31

ดังนั้น X = 𝐴 −1 B = 62 31 −62 31 31 31 = 2 −2 1 ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ x = 2 ,y = -2 , 𝑧= 1 หรือ ( 2 , -2 , 1)

THE END