คลื่นและสมบัติความเป็นคลื่น Witchuda Pasom

1.1 ชนิดของคลื่น คลื่นกล (mechanical waves) ต้องอาศัยตัวกลางในการเคลื่อนที่ ได้แก่ คลื่นเสียง คลื่นผิวน้ำ คลื่นในเส้นเชือก เป็นต้น คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic waves) ไม่ต้องอาศัยตัวกลางในการเคลื่อนที่ ได้แก่ คลื่นแสง คลื่นวิทยุ ไมโครเวฟ เป็นต้น

คลื่นกล Mechanical Waves คลื่นกล เกิดจาก การที่ตัวกลางถูกรบกวน(disturb) การรบกวนทำให้อนุภาคของตัวกลางเคลื่อนที่จากตำแหน่งสมดุลและเกิดการแกว่งกวัด(oscillation) และเนื่องจากตัวกลางมีความยืดหยุ่น การสั่นของอนุภาคจะส่งผ่าน(transmit) ไปยังอนุภาคใกล้เคียง ทำให้เกิดการสั่นต่อเนื่องกันไป

พิจารณาจากลักษณะการสั่นของอนุภาคของตัวกลาง และทิศทางการแผ่ของคลื่นจะแบ่งคลื่นออกเป็น 2 ชนิดคือ คลื่นตามขวาง คลื่นตามยาว

1.2 คลื่นเคลื่อนที่แบบไซน์ C p y P ∙ λ

พิจารณาจากรูป ที่เวลา t ใดๆ อนุภาคนี้จะสั่น โดยมีสมการการกระจัดเป็น A คือ แอมพลิจูดของการสั่น ѡ คือความถี่เชิงมุมของการสั่น ที่จุด P ซึ่งเป็นอนุภาคของเชือก ณ ตำแหน่ง +X ใดๆ และมีเฟสตามหลังจุด O เป็นมุม ø ดังนั้นสมการการกระจัดของจุด P จะเขียนได้เป็น ø คือ ผลต่างเฟส ระหว่างจุด O กับจุด P โดยที่ ถ้าแทนระยะห่าง จะได้ผลต่างเฟส ดังนั้น เรียก k ว่าเลขคลื่น และ และถ้าแทน ø=kx จะได้

ถ้าคลื่นเคลื่อนที่ไปในทิศ –X จะเขียนสมการการกระจัดได้เป็น หรือฟังก์ชันทั่วไปของคลื่นฮาร์มอนิกที่เป็นคลื่นแบบไซน์ จะเขียนได้เป็น ถ้าแทน โดยที่ T คือ คาบของการสั่น และแทน จะได้ฟังก์ชันทั่วไปของคลื่นแบบไซน์คือ

1.3 สมการของคลื่น จะหาอัตราเร็ว v(t) และอัตราเร่ง a(t) ที่เวลา t ใดๆ ของอนุภาคหนึ่งในตัวกลาง ได้จากสมการ เทียบกับ t เมื่อ x คงที่ (1) (2) (3) เทียบกับ x เมื่อ t คงที่ (4) หรือ (2)/(4) จะได้

1.4 อัตราเร็วของคลื่นกลในตัวกลางชนิดต่างๆ 1.4.1 อัตราเร็วของคลื่นตามขวางในเส้นเชือกขึงตึง R Q F v v o’ v ส่วนที่อยู่นิ่ง v S S vt P O c ct ก) เมื่อเวลา t=0 ส่วนที่เคลื่อนที่ ข) เมื่อเวลา t ต่อมา

พิจารณาสามเหลี่ยมคล้าย O’QR และ OO’P จะเห็นว่า ในการสะบัดเชือกขึ้นด้วยแรง F ในเวลา t จะเกิดการดล ตามขวางขนาด Ft และผลของการดลนี้จะทำให้เชือกมวล µct เคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร็ว v ดังนั้น จากสมการ การดลตามขวาง=การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมตามขวาง จะได้ นั่นคือ ( อัตราเร็วของคลื่นตามขวางในเส้นเชือก) หรือ

1.4.2 อัตราเร็วของคลื่นตามยาวในของไหล รูปการเคลื่อนที่ของคลื่นตามยาวของของไหลที่อยู่ในท่อ ก) เมื่อเวลา t=0 ข) เมื่อเวลา t ต่อมา pA ct vt P v pA (p+∆p)A v Q ส่วนที่อยู่นิ่ง ส่วนที่เคลื่อนที่

ในการออกแรงอัด(∆p)A ในช่วงเวลา t จะเกิดการดลตามยาวขนาด (∆p)At การดลนี้ทำให้มวลทางด้านซ้าย (pctA) ของขอบเขต QP เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ดังนั้น จากสมการ การดลตามยาว=การเปลี่ยนโมเมนตัมตามยาว หรือ จากนิยามของของมอดูลัสเชิงปริมาตร(bulk modulus)B ของของไหล คือ ∆p คือ ความดันที่เพิ่มขึ้น ∆v คือ ปริมาตรที่ลดลงในที่นี้ ∆v =Avt , v0 คือ ปริมาตรเดิม ซึ่งเท่ากับ Act ดังนั้น จะได้ แทน ∆p ในสมการข้างต้น จะได้ นั่นคือ (อัตราเร็วของคลื่นตามยาวในของไหล)

1.4.3 อัตราเร็วของเสียงในแท่งโลหะ อัตราเร็วของเสียงในแท่งโลหะ นอกจากจะขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของโลหะแล้วยังขึ้นกับคุณสมบัติความยืดหยุ่นของแท่งโลหะ ทำให้เกิดความเค้นขึ้นภายในแท่งโลหะ Y คือ มอดูลัสของยัง คือ ความหนาแน่นของแท่งโลหะ

1.4.4 อัตราเร็วของเสียงในก๊าซ เมื่อคลื่นเสียงเคลื่อนที่ไปในอากาศ จะเกิดส่วนอัดและส่วนขยายของก๊าซทำให้ความดันของก๊าซเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว จนถือได้ว่าไม่มีการถ่ายเทพลังงานให้กับสิ่งแวดล้อมเลย ซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างความดัน p กับปริมาตร V เป็นไปตามสมการ โดยที่ ความเร็วของคลื่นเสียงในก๊าซอุดมคติ คือ R คือ ค่าคงตัวของก๊าซ T คือ อุณหภูมิสัมบูรณ์ของก๊าซ M คือ มวลโมเลกุล สำหรับก๊าซชนิดหนึ่งๆ เป็นค่าคงที่ ดังนั้น ค่าคงตัว

1.5 พลังงานของคลื่น เมื่อคลื่นเคลื่อนที่ไปในตัวกลางจะมีการส่งผ่านพลังงานจากอนุภาคหนึ่งไปยังอนุภาคอื่นๆต่อเนื่องกันไป เมื่อคลื่นตามขวางเคลื่อนที่ผ่านเชือกขึงตึง พิจารณาส่วนสั้นๆของเชือก dx มวล dm ถ้า µ คือความหนาแน่นเชิงเส้นของเชือก จะได้ dm = µ dx เมื่อคลื่นเคลื่อนที่ผ่านมวล dm จะสั่นแบบฮาร์มอนิกส์อย่างง่าย(SHM) และมีพลังงานรวม dE เป็น k เป็นค่าคงตัวของแรงตามกฎของฮุก ในที่นี้ ดังนั้น พลังงานที่ส่งผ่านมวล dm ในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ dE/dt คือกำลังเฉลี่ย (average power) Pav จะได้ เนื่องจาก dx/dt = c = อัตราเร็วของคลื่น จะได้ ถ้าแทน ( S คือ แรงดึงในเส้นเชือก) ลงในสมการข้างต้นจะได้

1.6 การสะท้อนของคลื่น ก) การสะท้อนจากปลายตรึง ข) การสะท้อนจากปลายอิสระ ก) การสะท้อนจากปลายตรึง ข) การสะท้อนจากปลายอิสระ c c c c

1.7 การซ้อนทับกันของคลื่นและคลื่นนิ่ง เมื่อคลื่นสองชุดเคลื่อนที่มาพบกันการกระจัดของคลื่นรวมเกิดจากผลรวมของการกระจัดของคลื่นทั้งสอง การรวมกันของคลื่นทั้งสองเรียกว่า การแทรกสอดของคลื่น เกิดขึ้นได้กับคลื่นทุกชนิด การแทรกสอดของคลื่นบนเส้นเชือกขึงตรึง ทำให้เกิดคลื่นรวมเรียกว่า คลื่นนิ่ง(standing waves) N N f1 f2 f3

1.8 ฟังก์ชันคลื่นของคลื่นนิ่ง t=T/4 t=T/2 t=0

เมื่อคลื่นสองคลื่นมารวมกันจะเกิดเป็นคลื่นนิ่ง ดังนี้ ถ้า y1 เป็นฟังก์ชันคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้าย และy2เป็นฟังก์ชันคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางขวา เมื่อคลื่นสองคลื่นมารวมกันจะเกิดเป็นคลื่นนิ่ง ดังนี้ เนื่องจาก จะได้ (แอมพลิจูด ซึ่งจะเปลี่ยนแปลงตามเวลา t )

1.9 คลื่นนิ่งในเส้นเชือกขึงตึง 1.9 คลื่นนิ่งในเส้นเชือกขึงตึง N A N ก) f1 ความถี่ที่ใช้ในการสั่นของเชือก เรียกว่า ความถี่ ธรรมชาติ n=1 ข) L f2 ถ้าแทน n=2 จะได้ ค) f3 n=3

และเรียกว่าความถี่มูลฐาน และเรียก n ว่าเลขฮาร์มอนิก เมื่อ n=1 f1 จะมีความถี่ต่ำสุด

1.10 คลื่นนิ่งในท่ออากาศ

สำหรับท่อปลายเปิด สำหรับท่อปลายปิด

1.11 คลื่นนิ่งในสองมิติ

1.12 การสั่นพ้อง การสั่นพ้อง หรือ เรโซแนนซ์(resonance) ถ้าสามารถให้แรงขนาดเล็กแรงหนึ่งกระทำเป็นคาบๆ แก่ระบบหนึ่ง ซึ่งสามารถออสซิเลตได้ ถ้าเราให้แรงด้วยจังหวะที่เท่ากับหรือใกล้เคียงกับ ความถี่ธรรมชาติของเชือกขณะที่กำลังสั่นอยู่นั้น เชือกจะสั่นด้วยแอมพลิจูดที่กว้างมาก

1.13 คลื่นเสียง (sound wave) เป็นคลื่นกลและเป็นคลื่นตามยาวที่สามารถเคลื่อนที่ผ่านของแข็ง ของเหลวและก๊าซได้

เสียงเกิดจากการสั่น กลองกำเนิดเสียงได้โดยการสั่นในขณะที่ตีกลองพื้นผิวหน้ากลองจะสั่นอย่างรวดเร็วจนกระทั่งไม่สามารถมองเห็นการสั่นได้ ทำให้โมเลกุลของอากาศรอบๆกลอง เกิดการสั่นไป ตามจังหวะการตีกลองทำให้อากาศเกิดส่วนอัดและส่วนขยายเกิดขึ้น เส้นเสียงของมนุษย์ก็ประพฤติตัวคล้ายกับการสั่นของสายกีต้าร์ เมื่อไรก็ตามที่เราพูดอากาศจากปอดจะเดินทางขึ้นสู่กล่องเสียง ซึ่งประกอบด้วยเนื้อเยื่อสองพับที่เรียกว่า เส้นเสียง อากาศจากปอดจะทำให้เส้นเสียงเกิดการสั่น เมื่อเส้นเสียงเคลื่อนที่เข้าหากันอากาศระหว่างเส้นเสียงจะถูกอัด เมื่อเส้นเสียงเคลื่อนที่ออกจากกัน อากาศจะกระจายตัวออก อากาศนี้จะทำหน้าที่เป็นตัวกลางในการนำเสียงนี้ไปยังหูของคนอื่นๆ รวมทั้งหูของเรา

การได้ยินเสียง

เมื่อเสียงเดินทางมาสู่หูของเรา หูชั้นนอกจะทำหน้าที่เป็นช่องรับเสียงโดยการรวบรวมคลื่นเสียงที่มาถึง และส่งต่อไปตามช่องหู (ear canal)ประมาณสองสามเซนติเมตร ถึงเยื่อแก้วหู (eardrum) เป็นเนื้อเยื่อเล็กที่ถูกดึงให้ตึงคล้ายหน้ากลอง เสียงจะทำให้เยื่อแก้วหูสั่น ทำให้กระดูกค้อน กระดูกทั่ง และกระดูกโกลนในหูชั้นกลางสั่นต่อเนื่องกันไป จนถึงคอเคลียในหูชั้นในที่เต็มไปด้วยของเหลว และมีขนจำนวนมากกว่า 10,000 เส้น เกิดการสั่น ขนเล็กๆนี้จะแกว่งไปและกลับ ซึ่งติดอยู่กับเซลล์ประสาทรับสัญญาณการเคลื่อนไหว และส่งต่อไปยังสมองเพื่อแปลงข้อมูลที่ได้มา ให้เรารู้ว่าได้ยินเสียงอะไร

1.14 สมการของคลื่นเสียงฮาร์มอนิก 1.14 สมการของคลื่นเสียงฮาร์มอนิก y C S X X X X+ X

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรที่เปลี่ยนแปลง V ต่อปริมาตรเดิม V และความดันที่เปลี่ยนแปลง p พิจารณาได้จาก ถ้ากำหนดให้ p0 คือความดันปรกติ p คือความดันที่เปลี่ยนแปลงไปจากเดิมเมื่อแทน p ด้วย p จะได้ พิจารณาชั้นของไหลหนา X ความดัน p0 พื้นที่หน้าตัด S ปริมาตร S X เมื่อความดันเปลี่ยนไป p ทำให้ชั้นของไหลมีความหนาเปลี่ยนไป y ดังนั้น ปริมาตรที่เปลี่ยน V=S y เมื่อแทนในสมการ จะได้ จากสมการแสดงว่า ถ้าพิจารณาการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาสั้นๆคือ X 0 คือ

เนื่องจากการกระจัดของอนุภาคเป็นไปตามสมการ ดังนั้น เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงความดัน ณ ขณะใดๆจะเขียนได้เป็น เมื่อแทน ลงในสมการ จะได้ หรือเขียนเป็น แอมพลิจูดของความดัน

1.15 ความเข้มเสียง ความเข้มเสียง คือ อัตราเฉลี่ยของการส่งผ่านพลังงานต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ที่ตั้งฉากกับทิศการเคลื่อนที่ของเสียง หรือ กำลังเฉลี่ยต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ แทนค่า และ จะได้ เนื่องจาก ดังนั้น

พื้นที่ผิวทรงกลมรัศมี r ดังนั้น = 1/2 ค่าคงที่ ถ้าแทน จะได้ หรือแทน และใช้ความสัมพันธ์ จะได้ ถ้าแหล่งกำเนิดเสียงมีขนาดเล็กมากจนถือว่าเป็นจุด และกำลังเฉลี่ย pav ความเข้มเสียง ณ จุดที่อยู่ห่างระยะ r หาได้จากสมการ I = กำลังเฉลี่ย พื้นที่ผิวทรงกลมรัศมี r

1.16 ระดับความเข้มเสียง ประเภทของเสียง ระดับความเข้ม (dB) 1.16 ระดับความเข้มเสียง ประเภทของเสียง ระดับความเข้ม (dB) ความเข้ม (W/m2) ดังที่สุด 120 1.0 รถไฟยกระดับ 90 10-3 ถนนที่มีการจราจรคับคั่ง 70 10-5 สนทนาทั่วไป 65 3.2 x 10-6 วิทยุเปิดเบาๆ 40 10-8 นกหวีด 20 10-10 เบาที่สุด 10-12

ระดับความเข้มเสียงหาได้จากสมการ I0 คือ ความเข้มเสียงเบาที่สุด ซึ่งเท่ากับ 10-12 วัตต์/เมตร2 และมีระดับความเข้ม I คือความเข้มเสียงที่กำลังพิจารณา

1.17 คุณภาพและระดับเสียง คุณภาพของเสียง พิจารณาได้จากจำนวนโอเวอร์โทนและความเข้มเสียงนั้น การรวมกันของเสียงที่มีโทนเสียงมูลฐานและโอเวอร์โทนทำให้เกิดเป็นลักษณะเสียงเฉพาะตัว ส่วนระดับเสียง จะขึ้นอยู่กับความถี่ของเสียงนั้น ถ้าความถี่ยิ่งสูง ระดับเสียงก็จะยิ่งสูง

1.18 การแทรกสอดของเสียง P Q

1.19 บีตส์

การกระจัดของคลื่นทั้งสองแสดงด้วยสมการ เนื่องจาก จะได้ ดังนั้น ความถี่บีตส์หาได้จาก

1.20 ปรากฎการณ์ดอปเพลอร์

ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์ คือ การเปลี่ยนแปลงความถี่ที่เกิดขึ้นเมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้ฟังเคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน ถ้าให้ vL และ vS คือความเร็วของผู้ฟังและต้นกำเนิดเสียงเทียบกับอากาศ c คือ ความเร็วของเสียงในอากาศ ในการคำนวณจะกำหนดเครื่องหมายดังนี้ ถือว่าอัตราเร็วของเสียงในอากาศเป็นค่าคงตัวและมีเครื่องหมาย +เสมอ ทิศจากผู้ฟัง L ไปหาต้นกำเนิด S มีเครื่องหมาย + ส่วนทิศตรงข้ามมีเครื่องหมาย -

เมื่อผู้ฟังเคลื่อนที่เข้าหาแหล่งกำเนิด

เมื่อแหล่งกำเนิดเคลื่อนที่เข้าหาผู้ฟัง

1.21 คลื่นกระแทก

รูป ก และ ข แสดงให้เห็นถึงเครื่องบินที่บินช้ากว่าและเร็วเท่ากับอัตราเร็วของเสียงตามลำดับ เครื่องเสียงจะไปรวมกันอยู่ด้านหน้าของเครื่องบินทำตัวเหมือน “กำแพงเสียง” (sound barrier) เมื่อเครื่องบินที่บินด้วยอัตราเร็วที่มากกว่าอัตราเร็วเสียง เครื่องบินจะต้องฝ่ากำแพงเสียงนี้ไป เมื่อใดก็ตามที่กำแพงเสียงถูกเจาะผ่านไป ดังรูป ค พลังงานจำนวนมากจะถูกปลดปล่อยออกมาในรูปของคลื่นกระแทก คนที่อยู่บนพื้นดินในบริเวณใกล้ๆจะได้ยินเสียงที่ดังมาก เรียกว่า โซนิคบูม การเกิดคลื่นกระแทก พิจารณาได้จากอัตราส่วนระหว่างอัตราเร็วของต้นกำเนิดเสียง vS กับอัตราเร็วของเสียงในอากาศ c คือ vS/c เรียกว่าเลขมัค แทนด้วย นั่นคือ M = vS/c

ใบงาน ให้นักศึกษาค้นคว้าข้อมูลเกี่ยวกับ เสียงกับการประยุกต์ใช้งาน การสะท้อน เช่น โซนาร์ ประโยชน์ของคลื่นเหนือเสียงและคลื่นใต้เสียง เอ็กโคโลเคชั่นในค้างคาว คลื่นเหนือเสียงกับการแพทย์ คลื่นเหนือเสียงกับอุปกรณ์ในบ้าน

กิจกรรม หากระป๋องนม ที่ไม่ใช้แล้วมา 1 ใบ เจาะปากกระป๋องด้านหนึ่ง นำถุงมือยางส่วนที่เป็นอุ้งมือมาขึงให้ตึงกับปากกระป๋องนำกระจกเล็กมาแปะติดที่ตรงกลางของถุงมือ ฉายแสงไฟฉายให้แสงตกกระทบกับกระจกและสะท้อนสู่ฝาผนัง ให้เพื่อนใช้ช้อนเคาะกับก้นกระป่องอย่างต่อเนื่อง โดยต้องแน่ใจว่าได้ฉายไฟไปที่กระจกตลอดเวลา สังเกตลักษณะขอแสงที่สะท้อนออกมาที่ฝาผนัง ลักษณะที่ได้เป็นอย่างไร ให้วาดลักษณะของภาพที่สังเกตได้ ให้เพื่อนเปลี่ยนจังหวะความถี่ของการเคาะ วาดลักษณะของภาพที่สังเกตได้ ( อะไรที่ทำให้เกิดภาพเคลื่อนไหวบนกำแพง เกิดอะไรขึ้นเมื่อเปลี่ยนความถี่ของการเคาะ)

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า Electromagnetric Waves

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีอยู่รอบๆตัวเรา

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นคลื่นตามขวาง ที่เกิดจากการสั่นของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กในทิศทางตั้งฉากกัน ซึ่งมีสมบัติทั้งทางไฟฟ้าและทางแม่เหล็ก คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าประกอบไปด้วยสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง เราเรียก การถ่ายเทพลังงานคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าว่า การแผ่รังสีของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetric radiation)

เมื่อสนามไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กมีการเปลี่ยนแปลงจะเหนี่ยวนำให้เกิดอีกสนามหนึ่งขึ้น ณ บริเวณใกล้เคียงเสมอ การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดจากการรบกวนทางแม่เหล็กไฟฟ้า ( electromagnetric disturbance) การรบกวนนี้สามารถแผ่ไปในสุญญากาศ ด้วยอัตราเร็วเท่ากับอัตราเร็วแสง และมีคุณสมบัติเป็นคลื่น เรียกว่า คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetric Waves)

2.2 สมการของแมกซ์เวลล์ 1 . กฎของเกาส์สำหรับสนามไฟฟ้า + - + - + - ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิ ที่ผ่านผิวปิดใดๆ ขึ้นกับขนาดประจุที่ถูกรอบล้อมโดยผิวปิดนั้น

2 . กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก ฟลักซ์แม่เหล็กสุทธิผ่านผิวปิดเท่ากับศูนย์ เส้นแรงแม่เหล็กวนครบรอบเสมอ

3.กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ X X X X X X X E X X X X X B X X X X X X X X X X E X X X X X X X X X X X X X X X E X X X X X X X X X X X X X X X X X E X X X X X

4.กฎของแอมแปร์แมกซ์เวลล์

2.3 กระแสกระจัด i i i i + - - + B B id

กระแสกระจัดหาได้จาก เมื่ออนุพันธ์ของ E เทียบกับเวลา จะได้

จากสมการข้างต้น กระแส i มีค่าเท่ากับกระแสกระจัด id สนามแม่เหล็กที่เกิดจากกระแสการกระจัดมีทิศเดียวกับสนามแม่เหล็กของกระแส I และเป็นไปตามสมการของแม็กซ์เวลล์ คือ ฟลักซ์ไฟฟ้าที่เพิ่มขึ้น เหนี่ยวนำให้เกิดสนามแม่เหล็ก

2.4 สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ 2.4 สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ E E C B B

จากสมาการแมกซ์เวลล์ สมการที่ 3 และที่ 4 เมื่อคลื่นเคลื่อนที่ในสุญญากาศจะได้ สำหรับคลื่นระนาบ E และ B เป็นเวกเตอร์ในหนึ่งมิติ และเป็นฟังก์ชันของ x และ t ปริมาณทั้งสองมีความสัมพันธ์กันเป็นไปตามสมการ และ นำมาเทียบกับ x อีกครั้ง และแทนค่า

จะได้ และในทำนองเดียวกันจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า เมื่อเปรียบเทียบสมการคลื่นตามขวางที่เคลื่อนที่ในทิศ +x ด้วยอัตราเร็ว c ซึ่งมีฟังก์ชันของคลื่นเป็น

ขนาดของ E และ B เป็นฟังก์ชันของ x และ t เป็นไปตามสมการ และเลขคลื่นมีค่าเท่ากับ ความถี่เชิงมุมมีค่าเท่ากับ อัตราเร็วมีค่าเท่ากับ

2.5 อัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า 2.5 อัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า อัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ C มีสมการเป็น

อัตราเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศยังสามาหาได้จาก การหาอนุพันธ์ย่อยของ E และ B เทียบกับ x และ t จาก จะได้ จากสมการที่ผ่านมาพบว่า ดังนั้น

2.7 พลังงานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า 2.7 พลังงานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า พลังงานต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร u ถ้าแทน และ จะได้

2.7 พอยน์ติงเวกเตอร์ของคลื่นระนาบ 2.7 พอยน์ติงเวกเตอร์ของคลื่นระนาบ พอยน์ติงเวกเตอร์ (Poynting vector) S คือ อัตราการถ่ายทอดพลังงานให้กับตัวกลาง โดย และขนาดของ S อัตราการถ่ายทอดพลังงานต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ที่ตั้งฉากกับทิศของการเคลื่อนที่ ซึ่งก็คือ กำลังต่อหนึ่งหน่วยพื้น

ทิศของพอยน์ติงเวกเตอร์ y E C, S A x B dx z

เพื่อพิสูจน์ว่า S คือกำลังต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ ให้พิจารณาคลื่นระนาบที่เคลื่อนที่ในทิศ +x ในเวลา dt ผ่านผิวปิด A เป็นระยะทาง dx ดังนั้นพลังงานภายในปริมาตร Adx คือ อัตราการส่งผ่านพลังงานต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ หรือกำลังต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ คือ นั่นคือ แทนค่า และ จะได้

2.8 ความเข้มของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า 2.8 ความเข้มของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ความเข้มของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (Intensity ) I คือ กำลังเฉลี่ยต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ หรือ ค่าเฉลี่ยของขนาดพอยน์ติงเวกเตอร์ นั่นคือ I=Sav โดยจะหา I ได้ดังนี้ จากสมการที่ผ่านมา ดังนั้นค่า S เฉลี่ยคือ เนื่องจาก แทนลงในสมการข้างต้นจะได้

2.9 โมเมนตัมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เมื่อคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าตกกระทบตัวกลาง จะถ่ายทอดพลังงานและโมเมนตัมให้กับตัวกลาง ทำให้เกิดความดันกับตัวกลาง โดยความดันและพลังงานมีความสัมพันธ์กันดังนี้ p คือความหนาแน่นโมเมนตัม (โมเมนตัม/ปริมาตร) u คือ ความหนาแน่นพลังงาน (พลังงาน/ปริมาตร) p เป็นปริมาณเวกเตอร์เคลื่อนที่ในแนวแกน +x จะได้ จากสมการ ถ้าแทน และ จะได้ แต่เขียนได้ในรูป

2.10 ความดันเนื่องจากการแผ่รังสี ในกรณีที่ตัวกลางสามารถดูดกลืนพลังงานได้ทั้งหมด จะหา ความดันเนื่องจากการแผ่รังสี (radiation pressure) Pr ได้จาก โมเมนตัมทั้งหมดในปริมาตร ถูกดูดกลืนโดยผิว A ในช่วงเวลา จะเกิดแรง กระทำบนผิว A เนื่องจาก Pr C t A

การดล = การเปลี่ยนโมเมนตัม ในที่นี้จะได้ การดล = ความหนาแน่นโมเมนตัม x ปริมาตร แทน จะได้ ดังนั้น Pr มีหน่วยเป็น นิวตัน/เมตร2

2.11 คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในตัวกลาง 2.11 คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในตัวกลาง อัตราเร็วของคลื่นในสุญญากาศ อัตราเร็วของคลื่นในตัวกลางใดๆ ถ้าแทน และ ลงในสมการ จะได้ โดยที่ ( เป็นค่าคงตัวไดอิเล็กตริก) (ค่าสัมประสิทธิ์ แม่เหล็ก) จะได้

อัตราส่วนระหว่าง c กับ v เป็นค่าคงตัว เรียกว่า ดัชนีหักเห n ของตัวกลาง ความหนาแน่นของพลังงานในตัวกลาง หาได้จาก ความหนาแน่นของพลังงานในตัวกลาง มีค่าเท่ากับพอยน์ติงเวกเตอร์ และขนาดของ S คือ และความเข้มของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าหาได้จากสมการ

2.12 การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเกิดขึ้นเมื่อ การแผ่จากประจุที่เคลื่อนด้วยความเร่ง การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากขั้วคู่ไฟฟ้า การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากขั้วคู่แม่เหล็ก

1. การแผ่จากประจุที่เคลื่อนด้วยความเร่ง ก) เมื่อประจุอยู่นิ่ง (v=0) ข) เมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว

เมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง

2.การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากขั้วคู่ไฟฟ้า

แสดงทิศทางการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากขั้วคู่ไฟฟ้าที่มีการแกว่งกวัด

3. การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากขั้วคู่แม่เหล็ก การแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาในทิศเดียวกับ ทิศของพอยน์ติงเวกเตอร์

2.13 ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ถ้า V คืออัตราเร็วของแหล่งกำเนิด C คือ อัตราเร็วแสง f คือ ความถี่ของแสงจากแหล่งกำเนิด ถ้า v << c จะได้ความถี่ของแสงที่กระทบผู้สังเกต f เป็นดังสมการ เครื่องหมาย + ใช้เมื่อแหล่งกำเนิดเสียงเคลื่อนที่เข้าหาผู้สังเกต เครื่องหมาย - ใช้เมื่อแหล่งกำเนิดเสียงเคลื่อนที่ออกจากผู้สังเกต

2.14 สเปกตรัมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า