หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและการนำไปใช้ คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและการนำไปใช้ สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

7. จากรูป กำหนดให้ DABC เป็น รูป D หน้าจั่วมี AC = BC และ CE//AB จงพิสูจน์ว่า แบ่งครึ่ง CE มุมACD A E B C D

เนื่องจาก D ABCเป็นD หน้าจั่ว จะได้ (มุมที่ฐานDหน้า จั่วมีขนาดเท่ากัน) E จะได้ B A C ˆ = (มุมที่ฐานDหน้า จั่วมีขนาดเท่ากัน) B C D เนื่องจาก CE//AB จะได้ B A C ˆ = E (เส้นตรงคู่หนึ่งขนานกันและมีเส้นตัด จะทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน )

ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) จะได้ (สมบัติการเท่ากัน) A C B A ˆ = E E (มุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) B C D จะได้ E C A ˆ = D (สมบัติการเท่ากัน) จะได้ แบ่งครึ่ง CE D C A ˆ

8. จากรูป กำหนดให้ DABC เป็น รูป D ใดๆ จงพิสูจน์ว่าขนาดของมุมภายนอกD ABC รวมกันเท่ากับ 360 องศา A 4 1 C 3 2 6 5 B

180 180 180 180 540 D ABCเป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ 1 ˆ 4 2 ˆ 5 3 ˆ 6 = 180 4 + A C B 1 2 3 4 6 5 2 ˆ = 180 5 + 3 ˆ = 180 6 + (ขนาดของมุมตรง) 1 ˆ 4 + ( ) 2 5 3 6 = 180 + 540 = (สมบัติการเท่ากัน)

180 180 180 540 360 360 2 ˆ 1 3 (ขนาดของมุมภายใน ทั้งสามของรูปDรวม = 180 2 ˆ 1 + 3 A C B 1 2 3 4 6 5 (ขนาดของมุมภายใน ทั้งสามของรูปDรวม กันเท่ากับ ) 180 180 5 ˆ 4 + ( ) 6 - = 540 (สมบัติของการเท่ากัน) 5 ˆ 4 + ( ) 6 = 360 จะได้ ดังนั้นมุมภายนอกของDรวมกัน 360

9.รูปดาวหกแฉกตามตัวอย่างดังรูปมี มุมภายในที่จุดยอด 6 มุม คือ A , ˆ B ˆ C , ˆ D , ˆ E , ˆ F ˆ และ จงพิสูจน์ว่าขนาด ของมุมภายในที่จุด ยอดทั้งหกมุมของ รูปดาวแฉกใดๆรวม กันเท่ากับ 360 A E F B C D

เนื่องจาก = 180 และ = 180 (ขนาดของมุมภาย ในทั้งสามของรูปD C ˆ A+ B+ = 180 A E C D B F และ F ˆ D+ E+ = 180 (ขนาดของมุมภาย ในทั้งสามของรูปD รวมกันเท่ากับ 180) จะได้ C+ ˆ A+ B+ = 180 F D+ E+ + = 360 (สมบัติการเท่ากัน)

ดังนั้น ขนาดของมุมภายในที่จุดยอด ทั้งหกมุมของรูปดาวหกแฉกใดๆรวม A E C D B F ดังนั้น ขนาดของมุมภายในที่จุดยอด ทั้งหกมุมของรูปดาวหกแฉกใดๆรวม 360 กันเท่ากับ

10. จากรูป กำหนดให้ DABC เป็น รูป D หน้าจั่วมี BC เป็นฐาน BC//ED, EG = DF A B E G F D C และ E A B ˆ = D C จงพิสูจน์ว่า AE = AD

เนื่องจาก D ABCเป็นD หน้าจั่ว 2 ˆ 1 จะได้ (มุมที่ฐานDหน้า E G F D C 1 2 4 6 5 3 2 ˆ 1 = จะได้ (มุมที่ฐานDหน้า จั่วมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก BC//ED (กำหนดให้) 3 ˆ 1 = จะได้ 4 2 และ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน )

180 4 ˆ 3 ดังนั้น (สมบัติของการเท่ากัน) 5 ˆ 3 6 4 = (ขนาดของมุมตรง) 6 A B E G F D C 1 2 4 6 5 3 4 ˆ 3 = ดังนั้น (สมบัติของการเท่ากัน) 5 ˆ 3 + 6 4 = 180 (ขนาดของมุมตรง) 6 ˆ 5 = จะได้ (สมบัติของการเท่ากัน) EG = DF (กำหนดให้) E A B ˆ = D C (กำหนดให้)

(ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) A B E G F D C 1 2 4 6 5 3 ดังนั้น DAEG @ DADF (ม.ม.ด.) นั่นคือ AE = AD (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน)

เนื่องจาก D ABCเป็นD หน้าจั่ว 2 ˆ 1 จะได้ (มุมที่ฐานDหน้า E G F D C 1 2 4 3 2 ˆ 1 = จะได้ (มุมที่ฐานDหน้า จั่วมีขนาดเท่ากัน) 5 6 เนื่องจาก BC//ED (กำหนดให้) 1 ˆ 3 = 2 4 และ (มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน)

180 5 ˆ 3 6 4 = (ขนาดของมุมตรง) 6 ˆ 5 จะได้ (สมบัติของการเท่ากัน) A B E G F D C 1 2 4 6 5 3 5 ˆ 3 + 6 4 = 180 (ขนาดของมุมตรง) 6 ˆ 5 = จะได้ (สมบัติของการเท่ากัน) EG = DF (กำหนดให้) AG = AF (เป็นด้านของDหน้าจั่ว AGF เพราะ ) 4 ˆ 3 =

(ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) A B E G F D C 1 2 4 6 5 3 ดังนั้น DAEG @ DADF (ด.ม.ด.) นั่นคือ AE = AD (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน)

1.จากรูป AB//CD//EF หาค่า x และ y 60 x = 110 70 110 60 C D y = 60 x y 60 110

2. จากรูป A เท่ากับกี่องศา 30 70 50 a = 50 30 20 20 50

C M A ˆ 3. จากรูป AB//CDหาขนาด M C A 80 70 80 70 C M A ˆ = 150 D B F

4. จากรูป PQ//RS มี AB และ AC เป็นเส้นตัด จงหาขนาดของ ˆ B C S A Q P R 145 80 45 C M A ˆ = 45 100

5. จากรูป AB//CDแล้ว x มีค่าเท่าใด 80 x = 80 D 80 100 50 130 30 C E

6. จงหาค่า x, y จากรูปที่กำหนดให้ E G B 105 x = 65 75 45 A 65 x 40 C y = 80 140 y 80 D F

7. จากรูป AB//ED ค่า x, y เป็นเท่าใด 29 41 x 64 y = 70 75 D E 35 y 70 G F

8. ถ้า AB//CD ค่า x เป็นเท่าไร (4x+7)+(x+3) = 180 5x = 180 -10 P x+3 E A B x+3 4x+7 D C F Q

9. จากรูป AB//CD ค่า x, y เป็นเท่าใด 85 y (x+5)+85 = 180 x+90 = 180 x = 180 - 90 x = 90

2y-10+y = 180 3y-10 = 180 3y = 180+10 3y = 190 y = B A D C x+5 2y-10 85 y 3 190 3 1 63 y =

10. จากรูป AB//CP,BE//PQ หาค่า x, y x+20 = 73 x = 73-20 x = 53 D E x+2y P Q

11. จากรูป AB//CD ค่า x เป็นเท่าใด 2x+30+140 = 180 2x+170 = 180 F B 140 40 140 30 E A 2x x = 5

12. ถ้า AB//CD แล้ว x+y เท่ากับกี่องศา y = 180 - 36 - 81 y = 63 z = 81 x = 180 - y - z y 81 36 A B E x = 180 - 63 - 81 x = 36 ดังนั้น x+y = 36 + 63 = 99