3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย นศ เรียนรู้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกต่างกับ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทที่ 5) นศ เรียนรู้ทฤษฎีการสุ่มสัญญาณ นศ รู้จักความหมายของผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทำไมจึงต้องแปลง DTFT ? เราทราบว่า องค์ประกอบทางการประสานนั้น ซึ่งคือ “หน่วงเวลา” และการ “สเกลค่า” ซึ่งมีประโยชน์ในการวิเคราะห์ ระบบสำหรับสัญญาณอินพุท หลากรูปแบบ แต่เมื่อระบบเป็น linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพื่อทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้นกว่า การทำConvolution และผลจากการแปลง DTFT ทำให้ทราบ “ผลตอบสนองความถี่ ของระบบ” CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

The Discrete-Time Fourier Transform การแปลงฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่องทางเวลา DTFT ของ x(n) คือ ความถี่ดิจิตอลเชิงมุม หมด ความหมายของการเป็น ความถี่ ทำนองเดียวกับ n ที่ หมดความหมาย ในการเป็น “เวลา”. = ความถี่ดิจิตอลหน่วยเป็น เรเดียน ผลการแปลงในโดเมนความถี่ดิจิตอลนี้ สามารถแสดงในรูป วงกลมหนึ่งหน่วย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เรื่องของวงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) แกนจินตภาพ 1. วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน แกนจริง 2. ความถี่ดิจิตอลมีค่าในช่วง เรเดียน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

1.วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน 1.วงรอบของความถี่มีค่าซ้ำทุกๆ เรเดียน n=2,10,.. n=1,9,.. n=0,8,.. CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

2. ความถี่ดิจิตอลมีค่าในช่วง หาก เช่น ตัวอย่าง จะให้ผลลัพธ์ซ้ำกับค่าในช่วง คือ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Unit Step Function ยูนิทสเตปฟังก์ชัน 1 n CESdSP CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่างการแปลง DTFT I จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n) วิธีทำ ผลรวมเรขาคณิตแบบไม่จำกัด (Infinite geometric sum): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่างการแปลง DTFT II จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมื่อ และเป็น 0 เมื่อ n เป็นค่าอื่นๆ วิธีทำ ผลรวมเรขาคณิตแบบจำกัด (Finite geometric sum): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

MATLAB simulation หาก x(n) มีค่าไม่จำกัด เราจะใช้ MATLAB หา DTFT ของ x(n) โดยตรงไม่ได้ แต่เราจะใช้สมการที่ได้จาก power series >>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points. >> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501)); exp_3_1.eps CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่างการแปลง DTFT III วิธีทำ สังเกต เครื่องหมาย ว่า n=0 อยู่ ณ ตำแหน่งของค่า 2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หากอินพุทมีจำนวนจำกัด เราใช้ MATLAB คำนวณ DTFT ได้โดยตรง M ช่วง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จาก เรากำหนดการหา ค่า n ในช่วง -1 ถึง 3 เราหา DTFT ของ x(n) ได้จาก MATLAB code >>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n) >> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 >> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลตอบสนองความถี่ของระบบ เมื่อทำการประสานจะได้ การแปลงฟูริเยร์ที่ความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป็นผลตอบสนองความถี่ของระบบ h(n) ใช้หาค่าของเอาท์พุท y(n) หรือเขียนในรูปโดเมนความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Frequency Response from Poles and Zeros ขนาดผลตอบสนองความถี่เป็น ขนาดจากซีโร่ ไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย หารด้วย ขนาดจากโพลไปยังวงกลมหนึ่งหน่วย ณ ความถี่หนึ่ง B A ขนาดที่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Example for Frequency Response สมมติว่า โพล = .8 ซีโร่ =0 ความถี่ต่ำ ความถี่กลางๆ ความถี่สูง B B A A A B B > A B = A B < A = มาก = กลางๆ = น้อย CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

Plot of Magnitude สูง ต่ำ กลาง B A CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง Example 4.4.1 หาผลลัพท์ของระบบ โดยมีอินพุทเป็น ลำดับ exponential ที่ ได้ ดังนั้น CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หาผลตอบสนองของ h(n) แสดงว่า zero มีตัวเดียว คือ z1=0 Pole มี p1=1/2 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การหาผลตอบสนองความถี่จากสมการผลต่าง (Frequency Response from Difference Equations) ให้ ดังนั้น ตัด CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท ตัวอย่าง มีระบบ LSI ที่อธิบายได้ด้วย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พุท จงหา ผลตอบสนองและสัญญาณ y(n) เมื่อ อินพุทเป็น วิธีทำ ผลตอบสนองความถี่ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์” ที่ ดังนั้น จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์” ขนาด เฟส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทดสอบ ค่า y(n) ที่คำนวณ 4.092 ต่างเฟส =3.42 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การสุ่มสัญญาณ (Sampling) ทฤษฎีการสุ่มกล่าวว่า “ความถี่ของสัญญาณสุ่มจะต้องมากกว่า 2 เท่าของ ความถี่สูงสุดของสัญญาณ ( fmax)” หากความถี่สุ่ม = fs ดังนั้น ... สัญญาณสุ่ม CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สเปคตรัม (Spectrum) และ ผลของการสุ่มสัญญาณ สเปคตรัมเป็นการแสดงค่าการกระจายของสัญญาณในเชิงความถี่ ผลของการสุ่มทำให้เกิด สเปคตรัมแบบเป็นคาบ (periodic) ความถี่ fmax หรือ f0 เรียกว่า ความถี่ไนควิสต์ (Nyquist Frequency) ความถี่สุ่มต่ำสุดที่จะไม่เกิด aliasing จะเรียกว่า อัตราไนควิสต์ (Nyquist rate) สเปคตรัม ความถี่ = Nyquist rate CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

อะไรคือแอลิแอส (Aliasing) ? การเกิดแอลิแอส ในทาง dsp คือ “การเกิดการซ้อนทับของสเปคตรัม” สาเหตุคือ การที่ความถี่สุ่มน้อยกว่าสองเท่าของความถี่ไนควิสต์ หรือ ทางแก้: 1 ใช้ Anti-aliasing filter ซึ่งเป็น วงจรกรองต่ำผ่าน (Low pass filter) 2 ทำ Oversampling แอลิแอส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทฤษฎีการสุ่มและคืนรูปสัญญาณ (Sampling and Reconstruction) ผลตอบสนองของสัญญาณต่อเนื่องทางเวลา xa(t) คือ = ความถี่แอนาลอก เป็น เรเดียนต่อวินาที หาได้จากการแปลงฟูริเยร์ของ แปลงฟูริเยร์ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ความถี่แอนาลอกกับ ความถี่ดิจิตอล สัมพันธ์กันดังนี้ ผลของการสุ่ม ทำให้การแปลงฟูริเยร์เป็น รายคาบ (periodic) แปลงฟูเรียร์ สัญญาณสุ่ม มีความถี่= 1/T CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทฤษฎีการสุ่ม สัญญาณสุ่ม: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกสุ่ม: แปลง อิมพัลส์ เป็น สัญญาณ DT สัญญาณสุ่ม: สัญญาณแอนะลอกที่ถูกสุ่ม: สัญญาณไม่ต่อเนื่อง (DT): CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทฤษฎีการสุ่ม (ต่อ) การแปลงฟูริเยร์สำหรับสัญญาณแอนาลอก xa(t) เมื่อ คือ ความถี่แอนาลอก หน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/sec) ทำการสุ่ม สัญญาณ แอนาลอก ด้วย ความถี่ T วินาที และแปลงฟูริเยร์ ก็ได้เป็น สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สมการแอลิแอส (Aliasing formula) การแปลง DTFT ของ x(n) ได้เป็น เป็น ผลรวมของ ที่ต่างความถี่ สมการแอลิแอส (aliasing formula) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เมื่อช่วงเวลาในการสุ่ม เกิด แอลิแอสและไม่สามารถคืนรูปสัญญาณได้ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แบนด์วิทของสัญญาณที่ใช้ได้ (คือไม่เกิดแอลิแอส) ความถี่ในการสุ่มสัญญาณ Hertz แบนด์วิทมากสุดของสัญญาณ (ความถี่ไนควิสต์) Hertz สัญญาณสุ่มต้อง มีค่ามากกว่า แบนด์วิท 2 เท่า CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัวอย่าง fs = 1 kHz x(n) y(n) x(t) ตัวสุ่มสัญญาณ DSP chip TMS320 ตัวสุ่มสัญญาณ มีสัญญาณ x(t) ถูกสุ่มที่ fs = 1kHz โดย จากความถี่แอนาลอกของ x(t) แปลงเป็นความถี่ดิจิตอล เรเดียน ตัดให้อยู่ในย่าน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ทำให้ได้ สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา x(n) เป็น แต่เนื่องด้วยความเป็น “คาบ” ทุกๆ มีสัญญาณความถี่แอนาลอกทุกๆ เท่าของ ที่ให้สัญญาณแบบเดียวกับ x(n) f1= 250 Hz f2= 1250 Hz f3 =2250 Hz และต่อเนื่อง ไปเรื่อยๆ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

fs = 1 kHz 2250Hz 1250 Hz 250 Hz dsp_3_7.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สเปคตรัม เมื่อความถี่สุ่ม Fs= 1 KHz จะเกิดความถี่เงาหรือแอลิแอสขึ้น ที่ 250 และ 2250 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เมื่อ fs มากขึ้นแต่ยังน้อยกว่า 2 เท่าของ 1250 Hz เมื่อ fs =2 kHz จะได้ มีสัญญาณหลายความถี่แอนาลอกที่ให้สัญญาณแบบเดียวกับ x(n) f1= 250 Hz f2= 2250 Hz f3 =4250 Hz ยังคงเกิด แอลิแอส CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

fs=2 kHz 4250Hz 2250 Hz 250 Hz dsp_3_6.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สเปคตรัม เมื่อความถี่สุ่ม Fs= 2 KHz CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

หาก fs = 2500 Hz (2 เท่าของ 1250 Hz) f1= 1250 Hz f2= 2500 Hz CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

fs = 2500 Hz 6250Hz 2500 Hz 1250 Hz dsp_3_8.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สเปคตรัมที่ความถี่สุ่มต่างๆ x(t) fs= 1kHz 250Hz fs 2250Hz ความถี่ x(t) fs= 2kHz ความถี่ 250Hz fs 2250Hz fs= 2.5kHz x(t) 1250Hz fs CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ตัดสัญญาณ fs ด้วย Low pass filter fs= 2.5kHz x(t) ความถี่ 1250Hz fs สามารถคืนรูปสัญญาณได้ fs= 2.5kHz x(t) ความถี่ 1250Hz fs CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

การคืนรูปสัญญาณ (Reconstruction) ใช้วงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ กรองต่ำผ่าน CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

จากเรื่องการสุ่มเราได้ แปลงกลับเป็น อิมพัลส์ กรองต่ำผ่าน อุดมคติ ตัวแปลง D/C อุดมคติ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลตอบสนองของวงจรกรองต่ำผ่านอุดมคติ แปลงผกผันฟูเรียร์ การคืนรูปสัญญาณ สูตรการทำ Interpolation CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง dsp_3_1.jpg แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ที่มีการเลื่อน ตำแหน่ง dsp_3_2.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลการคูณของแต่ละตำแหน่ง CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

ผลรวมของการทำ interpolation คือสัญญาณคืนรูป dsp_3_9.jpg CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

สรุป การแปลง DTFT ทำให้ หาผลตอบสนองความถี่ของระบบได้ การสุ่มสัญญาณทำให้เกิดผลตอบสนองความถี่เป็นรายคาบ ความถี่การสุ่มจะต้องมากกว่า 2 เท่า ของ ความถี่แอนาลอกสูงสุด โดยคืนรูปสัญญาณได้โดยการใช้วงจรกรองต่ำผ่านกับสัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon