สัปดาห์ที่ 13 ผลตอบสนองต่อความถี่ Frequency Response (Part I)

จุดประสงค์การเรียนรู้ สามารถหาความถี่เรโซแนนท์แบบขนานและอนุกรมของวงจร ที่ประกอบด้วยตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ สามารถคำนวณหาค่าตัวประกอบคุณภาพของวงจรได้ สามารถหาแบนด์วิดธ์ของวงจรได้

เนื้อหา วงจรเรโซแนนท์แบบขนาน วงจรเรโซแนนท์แบบอนุกรม ตัวประกอบคุณภาพ แบนด์วิธดิ์ บทสรุป

วงจรเรโซแนนท์ วงจรเรโซแนนท์แบบขนาน วงจรเรโซแนนท์แบบอนุกรม

เงื่อนไขการเกิดเรโซแนนท์ทำได้โดยการปรับค่าตัวเหนี่ยวนำ หรือตัวเก็บประจุ หรือการปรับความถี่ของแหล่งจ่ายกระแสที่ป้อนให้กับวงจร ในที่นี้กำหนดให้ความถี่เป็นตัวแปรที่ปรับค่าได้ สภาวะเรโซแนนท์ (Resonance) ทำการปรับค่าความถี่ของแหล่งจ่ายแรงดัน ที่ความถี่ค่าหนึ่งทำให้ค่ารีแอคแตนซ์ ได้ค่าอิมพิแดนซ์ แรงดันและกระแสในวงจรมีเฟสตรงกันตัวคูณกำลังของวงจรมีค่าเป็นหนึ่งตามทฤษฎี ความถี่เรโซแนนท์ (Resonant frequency)คือความถี่ที่ทำให้เกิดสภาวะเรโซแนนท์ ผลรวมของแรงดันที่ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุมีค่าเป็นศูนย์ วงจรเรโซแนนท์แบบขนานอิมพิแดนซ์มีค่าสูงสุดกระแสไหลในวงจรมีค่าต่ำสุด วงจรเรโซแนนท์แบบอนุกรมอิมพิแดนซ์ของวงจรมีค่าต่ำสุดกระแสที่ไหลในวงจรจะมีค่าสูงสุด การวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ของตัวแปรในวงจร จะใช้เฟสเซอร์ในการวิเคราะห์

วงจรเรโซแนนท์แบบขนาน ค่าแอดมิดแตนซ์ การเกิดเรโซแนนท์เมื่อแรงดันและกระแสที่ขั้วอินพุทมีเฟสตรงกัน มีค่าแอดมิดแตนซ์เฉพาะส่วนจริงเท่านั้นเป็นค่าความนำ (Conductance)

ส่วนจินตภาพของแอดมิดแตนซ์มีค่าเป็นศูนย์ ความถี่เรโซแนนท์กำหนด เมื่อ เกิดการเรโซแนนท์ จะต้องกำหนดให้ค่าแอดมิดแตนซ์เท่ากับค่าความนำ ส่วนค่า Susceptance จะมีค่าเป็นศูนย์ วงจรจะเกิดการเรโซแนนท์เมื่อขนาดของแอดมิดแตนซ์มีค่าต่ำที่สุด ขนาดของอิมพิแดนซ์มีค่าสูงสุด แรงดันที่ตกคร่อมวงจรเป็น โดยที่กระแสจะไหลจากแหล่งจ่ายเข้าสู่ตัวต้านทานเพียงตัวเดียว โดยไม่ไหลเข้าสู่ตัวเหนี่ยวนำ (L) และตัวเก็บประจุ (C)

การพิสูจน์ว่าไม่มีกระแสที่ไหลเข้าสู่ ที่ความถี่รีโซแนนท์ แทนค่า KCL กระแสที่ไหลเข้าสู่ L และ C มีค่าเป็นศูนย์ที่สภาวะการเกิดเรโซแนนท์

ตัวประกอบคุณภาพ (Quality Factor: Q) ค่าตัวประกอบคุณภาพเป็นค่าที่นิยามเพื่อแสดงคุณสมบัติของวงจรเรโซแนนท์ ในการเลือกความถี่และการสูญเสียภายในวงจร ถ้าค่า Q สูงวงจรเรโซแนนท์จะมีคุณภาพที่ดี กว่าวงจรที่มีค่า Q ต่ำ เนื่องจากพลังงานที่สะสมในระบบมีค่าสูง เมื่อเปรียบเทียบกับกำลังงานที่สูญเสียที่เกิดขึ้นภายในระบบ ตัวประกอบคุณภาพ คืออัตราส่วนของพลังงานสูงสุดที่สะสมไว้ในวงจร เทียบกับพลังงานที่สูญเสียในหนึ่งคาบเวลา เพื่อความง่ายในการค่า Q

พลังงานจะสะสมในตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ พลังงานที่สูญเสียจะเกิดที่ตัวต้านทาน สมการหาค่า Q ในเทอมของพลังงานที่เวลา t ใดๆ ที่สัมพันธ์กับอุปกรณ์รีแอคทีฟ คือ L, C และกำลังไฟฟ้าที่สูญเสียในตัว R เมื่อ คือคาบเวลาของแหล่งจ่ายที่เป็นสัญญาณไซน์ณ จุดความถี่ที่ต้องการหา Q หาค่า Q ที่ความถี่เรโซแนนท์ กำหนด Q แทนด้วย กระแสอินพุท แรงดันเอาท์พุทที่จุดเรโซแนนท์

พลังงานที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำ พลังงานสะสมในตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำ แทนค่า หาพลังงานสะสมรวมที่เวลาใดๆ พลังงานรวมที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเป็นค่าคงที่ เมื่อ

ค่าพลังงานที่สูญเสียในตัวต้านทานต่อหนึ่งคาบเวลา มุมระหว่างแรงดันและกระแสมีค่าเท่ากัน นำคาบเวลาคูณ เมื่อ ค่าตัวประกอบคุณภาพที่จุดเรโซแนนท์ แทนค่า

แบนด์วิดธ์ (Bandwidth: BW) แบนด์วิดธ์ของวงจรเรโซแนนท์ คือช่วงความถี่ที่อยู่ระหว่างความถี่สองความถี่ เมื่อขนาดของอัตราการขยายตกลงมาที่ เท่าของค่าสูงสุด ความถี่ ณ จุดที่ผลตอบสนองหรือขนาดของอัตราการขยายมีค่าสูงสุดเรียกว่าความถี่เรโซแนนท์ แบนด์วิดธ์

ค่าแอดมิดแตนซ์ที่ขึ้นอยู่กับค่า ขนาดของ ที่จุดเรโซแนนท์คือ ขนาดของ ที่มีค่าเป็น หรือค่าอิมพิแดนซ์ จะทำให้ส่วนจินตภาพมีค่าขนาดเป็นหนึ่ง

หาค่าแบนด์วิธดิ์ และ และ BW แปรผกผันกับค่า วงจรมีค่า สูงจะต้องกำหนดให้ BW ที่แคบๆ รูปกราฟของผลตอบสนองจะต้องแหลมคมมากๆเพื่อให้วงจรเป็นวงจรเรโซแนนท์ ที่มีคุณภาพดี

การประมาณค่าสำหรับวงจรที่มีตัวประกอบคุณภาพสูง วงจรเรโซแนนท์ที่ต้องการออกแบบให้ค่า สูงๆเพื่อที่จะทำให้ BW แคบๆ เมื่อ และ BW= เขียนสมการ ความถี่เรโซแนนท์ที่ สูง

ฟังก์ชันโครงข่ายของวงจรเรโซแนนท์แบบขนาน ฟังก์ชันโครงข่าย (Network function) หรือฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer function) ในโดเมน s โดยการแทนด้วย ฟังก์ชันโครงข่ายคืออัตราส่วนของเอาท์พุทต่ออินพุทในโดเมนความถี่อธิบายพฤติกรรม ของวงจรที่ขึ้นอยู่กับความถี่ของสัญญาณอินพุทที่เป็นสัญญาณไซน์ เฟสเซอร์ของสัญญาณอินพุทอาจจะเป็นแรงดันหรือกระแส เฟสเซอร์ของผลตอบสนองที่สภาวะคงตัว ฟังก์ชันโครงข่าย ขนาดหรืออัตราการขยาย มุมเฟส

ฟังก์ชันโครงข่ายของวงจรเรโซแนนท์แบบขนาน กำหนดให้เอาท์พุทเป็นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานและอินพุทเป็นแหล่งจ่ายกระแส KCL ที่โหนดข้างบน อิมพิแดนซ์

ฟังก์ชันโครงข่าย ขนาด มุมเฟส

เฟสเซอร์ไดอะแกรมของวงจรขนาน RLC วงจรเสมือนประกอบด้วยตัวต้านทาน วงจรเสมือนประกอบด้วยตัวเก็บประจุและตัวต้านทาน วงจรเสมือนประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำและตัวต้านทาน

ตัวอย่างที่ 1 วงจรเรโซแนนท์แบบขนาน RLC ที่มีค่าความถี่เรโซแนนท์ และ (ก) จงหาค่าของ และ และ โดยวิธีประมาณ (ข) จงหาค่าของ วิธีทำ

การประมาณค่าความถี่

ขนาดของแรงดันอินพุทมีค่าเป็น 1 V ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ (ก) จงหาฟังก์ชันถ่ายโอน ประกอบด้วยขนาดและมุมเฟส ที่ความถี่ และ (ข) จงหาค่าแบนด์วิธด์ของวงจร วิธีทำ ฟังก์ชันถ่ายโอน เมื่อ แบนด์วิธดิ์

ตัวอย่างที่ 3 วงจรเรโซแนนท์แบบขนานจงหาค่า และ BW เมื่อกำหนดให้ วิธีทำ หาค่าความถี่เรโซแนนท์ หาค่าตัวประกอบคุณภาพ หาค่าแบนด์วิดธิ์ ตัวอย่างที่ 4 วงจรเรโซแนนท์แนนขนาน ต้องการความถี่เรโซแนนท์ที่ มีแบนด์วิดธิ์เป็น จงหาค่า และ เมื่อ วิธีทำ หาค่าตัวประกอบคุณภาพ ค่าความเหนี่ยวนำ

วงจรเรโซแนนท์แบบอนุกรม (Series resonant Circuit) ฟังก์ชันโครงข่าย กำหนดให้แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเป็นเอาท์พุทและแหล่งจ่ายแรงดันเป็นอินพุท อิมพิแดนซ์

การเกิดเรโซแนนท์เมื่อส่วนจินตภาพของอิมพิแดนซ์มีค่าเป็นศูนย์วงจรเรโซแนนท์แบบขนาน ความถี่เรโซแนนท์ เฟสเซอร์ไดอะแกรมของวงจรอนุกรม วงจรเสมือนประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำและตัวต้านทาน วงจรเสมือนประกอบด้วยตัวต้านทาน วงจรเสมือนประกอบด้วยตัวเก็บประจุและตัวต้านทาน

ตัวประกอบคุณภาพ พลังงานที่สะสมทั้งหมด พลังงานที่สูญเสียในหนึ่งรอบการทำงานคือกำลังไฟฟ้าเฉลี่ยหารด้วยความถี่เรโซแนนท์ ตัวประกอบคุณภาพ เมื่อ และ

ฟังก์ชันโครงข่าย เมื่อ และ ฟังก์ชันโครงข่ายของวงจรเรโซแนนท์แบบอนุกรมมีค่าเท่ากับ ฟังก์ชันโครงข่ายของวงจรเรโซแนนท์แบบขนาน แต่ค่าตัวประกอบคุณภาพจะแตกต่างกัน ส่วนความสัมพันธ์ของแบนด์วิดธิ์ยังคงเหมือนเดิมทั้งสองวงจร

ตัวอย่างที่ 5 วงจรเรโซแนนท์แบบอนุกรม เมื่อกำหนดให้แบนด์วิดธิ์เป็น และ จงหาค่า และ วิธีทำ หาค่าความถี่เรโซแนนท์ หาค่า หาค่า

ตัวอย่างที่ 6 วงจรเรโซแนนท์แบบอนุกรมที่ตัวเหนี่ยวนำมีค่าเป็น (ก)จงเลือกค่า และ ที่ทำให้ความถี่เรโซแนนท์มีค่าเป็น และแบนด์วิดธิ์เป็น (ข)จงหาฟังก์ชันโครงข่าย เมื่อสัญญาณอินพุทมีความถี่ วิธีทำ (ก) (ข)

บทสรุปสัปดาห์ที่ 13 การตอบสนองต่อความถี่ พฤติกรรมของวงจรเชิงเส้นที่มีแหล่งจ่ายเป็นสัญญาณไซน์ ขึ้นกับความถี่ของสัญญาณอินพุท ผลตอบสนองต่อความถี่ของวงจรที่ประกอบด้วยขนาดและมุมเฟส วงจรเรโซแนนท์เป็นวงจรที่มีอุปกรณ์แบบรีแอคทีฟทำหน้าที่ เป็นเสมือนตัวต้านทานในวงจรที่ความถี่เรโซแนนท์ วงจรเรโซแนนท์อธิบายถึงความถี่เรโซแนนท์ คุณภาพของวงจร และแบนวิธดิ์