ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์ ค33212 คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ 6

บทนิยาม ให้ A = [a]1 x 1 เรียก a ว่าเป็นดีเทอร์มิแนนต์ บทนิยาม ถ้า แล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ ad – bc เขียนแทนด้วย det(A) หรือ แล้ว det(A) = (1)(4) – (2)(3) = –2 เช่น แล้ว det(A) = (-1)(-2) – (-2)(-3) = – 4

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = [aij]2 x 2 จงหาไมเนอร์ของ สมาชิกทุกตัวของ A บทนิยาม ให้ A = [aij]n x n เมื่อ n > 2 ไมเนอร์ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และ หลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนไมเนอร์ของ aij คือ Mij(A) ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = [aij]2 x 2 จงหาไมเนอร์ของ สมาชิกทุกตัวของ A วิธีทำ เนื่องจาก

จะได้ M11(A) = a22 ดังนั้น จาก จะได้ M12(A) = a21 จาก จะได้ M21(A) = a12 จาก จะได้ M22(A) = a11 จาก

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ จงหาไมเนอร์ของ a13 และ a32 วิธีทำ เนื่องจาก จะได้

ตัวอย่าง กำหนด จงหา C11(A) , C32(A) วิธีทำ บทนิยาม ให้ A = [aij]n x n เมื่อ n > 2 ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (cofactor) ของ aij คือผลคูณของ (– 1)i+j และ Mij(A) เขียน แทนตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ aij ด้วย Cij(A) นั่นคือ Cij(A) = (– 1)i+jMij(A) ตัวอย่าง กำหนด จงหา C11(A) , C32(A) วิธีทำ

วิธีทำ det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A) บทนิยาม ให้ A = [aij]n x n เมื่อ n > 2 ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) เขียนแทน ดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ จงหา det(A) ตัวอย่าง กำหนด วิธีทำ det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A)

วิธีที่ 2 วิธีลัด นำหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อหลัก = (45 – 48) – 4(18 – 24) + 7(12 – 15) = –3 + 24 – 21 = 0 วิธีที่ 2 วิธีลัด นำหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อหลัก ที่ 3 และหาดีเทอร์มิแนนต์ของ A ได้เท่ากับวิธีข้างต้น 105 48 72 45 96 84  det(A) = (45 + 96 + 84) – (105 + 48 + 72) = 0

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ กำหนดเมทริกซ์ A = [aij]n x n ใด ๆ เมื่อ n > 2 1. det (A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + ... + ainCin(A) ทุก i = 1,2,...,n ถ้าหา det (A) โดยสมการนี้ จะกล่าวว่าหา det (A) โดยการ กระจายตามแถวที่ i 2. det (A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + ... + anjCnj(A) ทุก j = 1,2,...,n ถ้าหา det (A) โดยสมการนี้ จะกล่าวว่าหา det (A) โดยการ กระจายตามหลักที่ j

3. ถ้า A มีสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งเป็น 0 ทุกตัวแล้ว det (A) = 0 (เป็นผลของสมบัติข้อ 1 และ 2) 4. ถ้า B ได้จากการสลับแถวสองแถวหรือสลับหลักสองหลักของ A แล้ว det (B) = - det (A) 5. ถ้า A มีแถวสองแถวเหมือนกันหรือหลักสองหลักเหมือนกัน แล้ว det (A) = 0 (เป็นผลของสมบัติข้อ 4) 6. det (At) = det (A) 7. ถ้าคูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่ง ของ A ด้วยค่าคงตัว c แล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้คือ c det (A)

8. ถ้า B ได้จาก A โดยสมาชิกแถวที่ i ของ B ได้มาจากการคูณ แถวที่ i ของ A ด้วยค่าคงตัว c และนำไปบวกกับแถวที่ j ของ A เมื่อ i  j แล้ว det (B) = det (A) สมบัตินี้เป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจาก แถวเป็นหลัก จากสมบัติข้อ 7 ทำให้ได้ว่า det (cA) = cn det (A) เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

จะได้ ตัวอย่าง ถ้า

ตัวอย่าง จงหา det (A) เมื่อกำหนด วิธีทำ คูณแถวที่ 1 ด้วย – 2 แล้ว นำไปบวกกับแถวที่ 2

นำแถวที่ 1ไปบวกกับแถวที่ 3 คูณแถวที่ 1 ด้วย -1 แล้วนำไป บวกกับแถวที่ 4 กระจายตามแถวที่ 1 สมบัติข้อ 7

คูณแถวที่ 1 ด้วย 2 แล้วนำไป บวกกับแถวที่ 2 คูณแถวที่ 1 ด้วย - 1 แล้วนำไป บวกกับแถวที่ 3 กระจายตามหลักที่ 1

บทนิยาม ให้ A เป็น n  n เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) เมื่อ det(A) = 0 A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non - singular matrix) เมื่อ det(A)  0 บทนิยาม ให้ A เป็น n  n เมทริกซ์ เมื่อ n > 2 เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ์ [Cij(A)]t เขียนแทนเมทริกซ์ผูกพันของ A ด้วย adj(A)