แคลคูลัส (Calculus) : ศึกษาเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร หนึ่งเทียบกับตัวแปรอื่นๆ 1. ฟังก์ชัน เรากล่าวได้ว่า y เป็นฟังก์ชันของ x เมื่อมีความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y Y = f(x) x เป็นตัวแปรอิสระ (Independent variable) y เป็นตัวแปรตาม (Dependent variable)

2. ลิมิตของฟังก์ชัน (limit of function) พิจารณา f(x) = (2x + 3)(x-1) หาค่าไม่ได้ที่ x = 1 (x-1) lim f(x) x<1 x>1 x1- x 1 X 0.25 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 0.9999 f(x) = 2x+3 X ≠ 1 3 3.5 4 4.5 4.8 4.98 4.998 4.9998

lim f(x) x<1 x>1 x x1+ 1 X 2 1.75 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.0001 f(x) = 2x+3 X ≠ 1 7 6.5 6 5.5 5.2 5.02 5.002 5.0002 x1 , fx) จะมีค่าเข้าใกล้ 5 เขียนแทนด้วย lim (2x + 3)(x-1) = 5 (x-1) x1

3. ฟังก์ชันต่อเนื่อง ฟังก์ชัน f(x) จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ a ก็ต่อเมื่อ เงื่อนไขเป็นจริงทั้ง 3 ประการ 1. f(a) มีค่า 2. lim f(x) หาค่าได้ 3. lim f(x) = f(a) xa xa y (x2-4)/(x-2) , x ≠ 2 2 , x = 2 EX1 f(x) = 1. f(2) = 2 2. lim f(x) = 4 3. lim f(x) ≠ f(a) x 2 x2 ดังนั้น f(x) ไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง x2

x , 0 ≤ x ≤ 10 10 + 0.9(x-10) = 0.9x + 1 , 10 < x EX2 f(x) = 1. f(10) = 10 2. lim f(x) = 10 lim (0.9x+1) = 10 x10- x10+ lim f(x) = 10 x10 3. f(10) = lim f(x) = 10  f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ 10 x10

4. ทฤษฎีบทสำคัญที่เกี่ยวกับลิมิต 4. ทฤษฎีบทสำคัญที่เกี่ยวกับลิมิต กำหนดให้ u(x), v(x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x และให้ lim u(x) = A , lim v(x) = B และให้ c เป็นค่าคงตัว ไม่ขึ้นกับ x สามารถพิสูจน์ได้ว่า xa xa 1. lim (u+c) = A+c 2. lim cu = cA 3. lim c/u = c/A 4. lim (u+v) = A+B 5. lim (uv) = AB 6. lim (u/v) = A/B xa xa xa xa xa xa คำถาม 1. lim (1/a) = ? , 2. lim (c/a) = ? , 3. lim ca = ? a0 a a

ถ้า y เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ขึ้นกับตัวแปร x เพียงตัวแปรเดียว Y = f(x) พิจารณา ค่า y เมื่อ x = x0 , ค่า y ที่ตำแหน่ง x0 = y0 หรือ y0 = f(x0) เมื่อ x = x0 + x , ค่า y ที่ตำแหน่ง x0+ x = y0 + y หรือ y = y0 + y = f(x0) + y = f(x0+x) จัดเทอมใหม่ จะได้ y = f(x0 + x) – f(x0) ............ (1.1)

EX3 y = x2, y = ? กำหนดให้ x0 = 1 , x = 0.1 จากสมการ (1.1) y = f(x0+x) – f(x0) เมื่อ y = x2, y = (x0 +x)2 – (x0)2 = 2x0x + (x)2 y = (2x1x0.1) + (0.1)2 = 0.21 y/x = 0.21/0.1 = 2.1 ถ้า x0 = 1, x = 0.01 y = (2x1x0.01) + (0.01)2 = 0.0201 y/x = 0.0201/0.01 = 2.01 ถ้า x0 = 1, x = 0.001 จะได้ y = 0.002001 y/x = 0.002001/0.001 = 2.001 x มีค่าน้อยมากๆ จนเกือบเป็นศูนย์ ค่า y/x จะยิ่งเข้าใกล้ 2 เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า lim y = 2 x0 x

5. นิยามอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 5. นิยามอนุพันธ์ของฟังก์ชัน _ _ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y เทียบกับ x = d y lim f(x0+ x) – f(x0) หรือ y/ _ dx x d y อ่านว่า ดีบายดีเอ็กซ์ของวาย dx dy อ่านว่า ดีวายบายดีเอ็กซ์ หรืออนุพันธ์ของ y เทียบกับ x

6. ความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ 6. ความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ เมื่อแทนค่าในสมการ y = f(x) และเขียนกราฟ y เส้นกราฟของ y = f(x) ^ Q y = QR = tan (QPR) y x PR y d y = lim y P dx x0 x y0 R = lim f(x0+x) – f(x0) x0 x x x x0 x ^ = tan (QPR)

7. ผลที่ติดตามมาของการอนุพันธ์ ดังนั้น y คือ ความชันของกราฟระหว่างสองจุด x x 0 , ความชันของจุดสองจุดเปรียบเสมือนกับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (x0,y0) 7. ผลที่ติดตามมาของการอนุพันธ์ นิยาม และทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับ ลิมิตช่วยให้เราได้ผลที่สำคัญดังต่อไปนี้ กำหนดให้ c เป็นค่าคงตัว f(x) กับ g(x) เป็นฟังก์ชั่นของ x, และ x เป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรตัวใหม่  นั้นคือ x  x() จะได้

ตัวอย่างการพิสูจน์

8. ตัวอย่างสูตรมาตรฐานของการหาอนุพันธ์

EX4 y = 4x3 + 3x2 + 2x + 5 , dy = ? dx dy = d [4x3 + 3x2 + 2x + 5] dx dx = d(4x3) + d(3x2) + d(2x) + d(5) dx dx dx dx = (3X4)x3-1+(2X3)x2-1+(1X2)x1-1+ 0 = 12x2 + 6x + 2 Ans EX5 y = (x2+1)2, dy/dx = ? กำหนดให้ u = x2+1 dy = du2 = du2. du dx dx du dx = 2u. d(x2+1) = 2(x2+1). 2x = 4x(x2+1) Ans dx

EX6 y = x2. cos2x , dy/dx = ? dy = d [x2.cos2x] = cos2x . d[x2] + x2. d [cos2x] dx dx dx dx = cos2x.(2x) + x2.(-sin2x).d(2x) dx = 2x.cos2x – 2x2.sin2x ANS EX7 y = 23x , dy/dx = ? ใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร กำหนดให้ u = 3x d y = d (23x) = d(2u) .du = 2u ln2.d 3x = 23x ln2 . 3 = 3 ln2 (23x) ANS dx dx du dx dx