Chapter 4 อินทิกรัล Integrals

4.1 อินทิกรัลไม่จำกัดเขต [ Indefinite Integral ] อินทิกรัล (Integral) หรือการอินทิเกรต (Integration) เป็นกระบวน การย้อนกลับของอนุพันธ์ นิยาม ฟังก์ชัน F(x) จะเรียกว่าเป็น ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) ของฟังก์ชัน f(x) บนช่วง I ถ้า สำหรับทุกๆ ค่า

สูตรพื้นฐานของอินทิกรัล ทฤษฎีบท ถ้า F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) บนช่วง I แล้ว F(x) + C เมื่อ C เป็นค่าคงตัวใดๆ ก็จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) บนช่วง I นอกจากนั้นทุกๆ ปฏิยานุพันธ์ของ f(x) บนช่วง I ยังสามารถเขียนในรูป F(x) + C เมื่อ C เป็นค่า คงตัวบางจำนวน สัญลักษณ์ เรียกว่า อินทิกรัลไม่จำกัดเขต (Indefinite Integral) สัญลักษณ์ เรียกว่า เครื่องหมายอินทิกรัล (Integral symbol) ฟังก์ชัน เรียกว่า อินทิแกรนด์ (Integrand) และสัญลักษณ์ dx เป็นตัวที่บ่งบอกให้ทราบว่าเรากำลังจะอินทิเกรตเทียบกับตัวแปร x สูตรพื้นฐานของอินทิกรัล

ตัวอย่างที่ 1

ทฤษฎีบท ให้ C เป็นค่าคงตัวใดๆ ตัวอย่างที่ 2

4.2 การอินทิเกรตโดยการแทนค่า [ Integration by Substitution ] ในกรณีที่เราไม่สามารถอินทิเกรตตามสูตรหัวข้อ 4.1 ได้ เราจะมีวิธีการที่ เรียก ว่า วิธีการแทนค่ายู (Method of U-Substitution) เราจะต้องแทนค่า u ซึ่งจะ มีหลักในการเช็คดังต่อไปนี้ 1. มองหาส่วนประกอบของ f(g(x)) ภายในอินทิแกรนด์สำหรับการแทนค่า 2. หาค่าอินกรัลในเทอมของ u 3. แทนค่า u ด้วย g(x) ซึ่งเราจะได้คำตอบสุดท้ายอยู่ในเทอมของ x

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ วิธีทำ สมมุติให้

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ วิธีทำ สมมุติให้

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ ในกรณีที่การอินทิเกรตไม่ได้อยู่ในรูปของ และไม่ได้ ต่างกันเฉพาะค่าคงตัวที่เป็นสัมประสิทธิ์ เราสามารถแก้ปัญหาโดยการแทนยู ได้เช่นกันแต่จะมีเทคนิคเพิ่มเติมดังนี้ ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ วิธีทำ สมมุติให้

4.3 อินทิกรัลจำกัดเขต [ Definite Integral ] นิยาม ฟังก์ชัน f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] แล้ว อินทิกรัล จำกัดเขต (Definite Integral) จะแสดงโดย ผลรวมที่ปรากฏในนิยาม จะเรียกว่า ผลบวกรีมันน์ (Riemann Sum) และ อินทิกรัลจำกัดเขตบางครั้งจะถูกเรียกว่า รีมันน์อินทิกรัล (Riemann Integral) ทฤษฎีบท ถ้าฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] แล้ว f(x) จะสามารถอินเกรตบนช่วงปิด [a,b]

ตัวอย่างที่ 1 นิยาม (a ) ถ้า a อยู่ในโดเมนของ f เราจะให้ (b ) ถ้า f สามารถอินทิเกรตได้บนช่วง [a,b] เราจะให้ ตัวอย่างที่ 1

ทฤษฎีบท ถ้า f และ g สามารถอินทิเกรตได้บนช่วง [a,b] และ c เป็นค่าคงตัว ทฤษฎีบท ถ้า f สามารถอินทิเกรตได้บนช่วงปิดซึ่งประกอบไปด้วยสามค่า a , b และ c แล้ว นิยาม ฟังก์ชัน f กำหนดบนช่วง I จะกล่าวได้ว่า มีขอบเขต(Bounded) บนช่วง I ถ้ามีจำนวนบวก M ซึ่ง สำหรับทุก x ในช่วง I

สำหรับทุก x ในช่วง [a,b] แล้ว ทฤษฎีบท (a ) ถ้า f สามารถอินทิเกรตได้บนช่วง [a,b] และ สำหรับทุก x ในช่วง [a,b] แล้ว (b) ถ้า f และ g สามารถอินทิเกรตได้บนช่วง [a,b] และ สำหรับทุก x ในช่วง [a,b] แล้ว ทฤษฎีบท ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่ถูกกำหนดบนช่วง [a,b] (a ) ถ้า f ไม่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a,b] แต่มีขอบเขตบนช่วง I แล้ว f จะสามารถอินทิเกรตได้บน [a,b] (b) ถ้า f ไม่มีขอบเขตบนช่วง [a,b] แล้ว f จะไม่สามารถอินทิเกรต ได้บน [a,b]

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสทฤษฎีที่ 1) ถ้า f มีความต่อเนื่องบนช่วง [a,b] และ เป็นปฎิยานุพันธ์ของ f บน [a,b] แล้ว ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ วิธีทำ

ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสทฤษฎีที่ 2) ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสทฤษฎีที่ 2) ถ้า f มีความต่อเนื่องบนช่วง I และ f มีปฎิยานุพันธ์บนช่วง I แล้วฟังก์ชัน F จะถูกกำหนดโดย ซึ่งก็คือปฎิยานุพันธ์ของ f บนช่วง I นั่นคือ สำหรับทุกๆ x บนช่วง I หรือใช้สัญลักษณ์ ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับอินทิกรัล) ถ้า f มีความต่อเนื่องบนช่วง [a,b] แล้วจะมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวน ในช่วง [a,b] ซึ่ง

ตัวอย่างที่ 3 จงใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับอินทิกรัล (Mean-Value Theorem for Integral) หา ในช่วง [1,4] ซึ่ง วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ เมื่อ ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ เมื่อ วิธีทำ