การประมาณค่าทางสถิติ 761 310 สถิติธุรกิจ บทที่ 3 การประมาณค่าทางสถิติ

1. ความหมายของการประมาณค่า การประมาณค่า คือ การประมาณค่าพารามิเตอร์ ( , p ) จากค่าสถิติ ( ) การประมาณค่าประกอบด้วย 1. ตัวประมาณค่า (Estimator) หมายถึง ค่าสถิติที่ใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ 2. ค่าประมาณ (Estimate) หมายถึง ค่าที่ประมาณได้

การประมาณค่าที่ดีควรจะมีคุณสมบัติ 4 ประการ คือ การประมาณค่าที่ดี หมายถึง ความสามารถในการประมาณค่าได้ใกล้เคียงมากที่สุดหรือค่าของตัวประมาณใกล้เคียงกับค่าประมาณมากที่สุด การประมาณค่าที่ดีควรจะมีคุณสมบัติ 4 ประการ คือ ไม่ลำเอียง (Unbiasedness) มีประสิทธิภาพ (Efficiency) มีความคงที่ (Consistency) ความพอเพียง (Sufficiency)

2. ประเภทของการประมาณค่า การประมาณค่ามี 2 ประเภท คือ การประมาณค่าเป็นจุด (Point Estimate) การประมาณค่าเป็นช่วง (Interval Estimate)

2.1 การประมาณค่าเป็นจุด (Point Estimate) คือ การประมาณค่าพารามิเตอร์ด้วยค่าสถิติค่าใดค่าหนึ่งเพียงค่าเดียว (1.) ประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรจากค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง โดยที่จะประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรได้ดีที่สุดจาก ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

3. ประมาณค่าสัดส่วนของประชากร ( p ) ได้จากสัดส่วนของตัวอย่าง ( ) p 2. ประมาณค่าความแปรปรวนของประชากร ( ) จากค่าความแปรปรวนของกลุ่ม ตัวอย่าง ( ) และประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ( ) จาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง (S ) คือ S หา ได้จากสูตร = S = 3. ประมาณค่าสัดส่วนของประชากร ( p ) ได้จากสัดส่วนของตัวอย่าง ( ) p

2.2 การประมาณค่าเป็นช่วง (Interval Estimate) การประมาณค่าเป็นช่วง หมายถึง การประมาณค่าของพารามิเตอร์เป็นช่วงของคะแนน (range of values) เช่น ในการประมาณค่าอายุการใช้งานของแบตเตอรี่แทนที่จะประมาณอายุการใช้งานตามค่าเฉลี่ยของการใช้แบตเตอรี่ แต่ประมาณอายุเป็นช่วงจากค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (Standard error, ) ด้วย

หมายเหตุ การประมาณค่าแบบเป็นช่วงจะมีความคลาดเคลื่อนน้อยกว่าการประมาณค่าแบบค่าเดียว อย่างไรก็ตามการประมาณค่าแบบเป็นช่วงนี้จะขึ้นอยู่กับตัวสถิติที่ใช้ในการประมาณค่าแบบค่าเดียวและการแจกแจงของตัวสถิตินั้น

การประมาณค่าเป็นช่วงจากการหาช่วงความเชื่อมั่น คือ การหาช่วงความเชื่อมั่น (Confidence interval) ของพารามิเตอร์นั่นเอง ซึ่งหาได้จากสูตร ) = 1 - เมื่อ = พารามิเตอร์ที่ต้องการจะหาความเชื่อมั่น L = ขอบเขตล่างของความเชื่อมั่น U = ขอบเขตบนของช่วงความเชื่อมั่น 1 - = สัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น ( = ระดับความผิดพลาด) (1 - )100% = ระดับความเชื่อมั่น โดยที่ = ขอบเขตล่างของความเชื่อมั่น = ขอบเขตบนของความเชื่อมั่น

แสดงได้โดยโค้งปกติ คือ หมายความว่า (1) ค่าประมาณจะอยู่ใน ด้วยความเชื่อมั่นที่ (1- ) 100% (2) โอกาสที่ค่าประมาณจะถูกต้องเท่ากับ 1- หรือร้อยละ (1- ) 100 และโอกาส ที่ค่าประมาณจะผิดพลาดเท่ากับ หรือร้อยละ x 100

กรณีที่ 1 ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร ( ) เป็นกรณีที่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร ( ) สุ่มตัวอย่างจากประชากรที่มีการแจกแจงปกติ และหาค่าประมาณค่าเฉลี่ยเป็นช่วงได้จากค่า Z คือ = เมื่อ = ค่าประมาณของค่าเฉลี่ยประชากรเป็นช่วง = ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง Z = ค่า Z ที่เปิดได้จากตารางแจกแจงปกติ เมื่อ = โอกาสที่จะผิดพลาด เช่น 0.05 หรือร้อยละ 5 n = จำนวนตัวอย่าง โดยที่ = ขอบเขตล่างของความเชื่อมั่น = ขอบเขตบนของความเชื่อมั่น

กรณีที่ 2 ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร เป็นกรณีที่มีการสุ่มตัวอย่างจากประชากรที่มีการแจกแจงปกติ แต่ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร หาค่าประมาณค่าเฉลี่ยเป็นช่วงได้จากค่า t ของการแจกแจงแบบ t และค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ = เมื่อ = ค่าประมาณของค่าเฉลี่ยประชากรเป็นช่วง = ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง t = ค่า t ที่เปิดได้จากตารางแจกแจงแบบ t มีองศาแห่งความเป็นอิสระ (df) เท่ากับ n – 1 = โอกาสที่จะผิดพลาด เช่น 0.05 หรือร้อยละ 5 n = จำนวนตัวอย่าง โดยที่ = ขอบเขตล่างของความเชื่อมั่น = ขอบเขตบนของความเชื่อมั่น

เมื่อ = ค่าประมาณของสัดส่วนประชากรเป็นช่วง = ค่าสัดส่วนของตัวอย่าง (3) การประมาณสัดส่วนประชากร สัดส่วนประชากรเป็นช่วงประมาณได้จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม (Binomial Distribution) และหากตัวอย่างมีขนาดใหญ่ก็จะหาค่าประมาณสัดส่วนประชากรแบบเป็นช่วงได้จากสูตร : = เมื่อ = ค่าประมาณของสัดส่วนประชากรเป็นช่วง = ค่าสัดส่วนของตัวอย่าง = โอกาสที่จะผิดพลาด เช่น 0.05 หรือร้อยละ 5 = 1-