กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5 ข้อ คือ 2. The Principles of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5 ข้อ คือ Postulates I และ II กฏเกณฑ์ของ wave function Postulates III เกี่ยวข้องกับ Mathematical operator Postulates IV การแปลความหมายของข้อมูลที่ได้จากการ ดำเนินการ Postulates V

Ψ = Ψ ζ(t) 2.1 Postulates I and II Schrödinger eq. จัดว่าเป็นหัวใจของกลศาสตร์ควอนตัม Time-dependent Schrödinger eq. เป็น postulate แรกที่ สำคัญที่สุดของกลศาสตร์ควอนตัม Ψ = Ψ ζ(t) Postulate I: All information that can be obtained about the state of mechanical system is contained in a wave function, Ψ which is continuous, finite, and single valued of function of time and of the coordinates of the particles of the system.

Postulate II: Ψ obeys the Time-dependent Schrödinger eq. ข้อมูล, สมบัติของโครงสร้างจะแฝงอยู่ใน Ψ กลศาสตร์แบบฉบับ จะแฝงอยู่ในตำแหน่งของอนุภาค (coordinates) และความเร็ว - ความสัมพันธ์ระหว่าง state of the system และ wave function เป็นไปในลักษณะ one-to-one relationship

2.2 Mathematical Operators Operator: ตัวดำเนินการคณิตศาสตร์เป็น symbol ที่ใช้ใน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น d/dx เป็น derivative operator z เป็น multiplication operator ( คูณด้วย z ) ผลจากการ ดำเนินการจะได้ฟังก์ชันใหม่ เช่น ---------- (2.2) ---------- (2.3)

เมื่อทำการดำเนินการโดย d/dx บน f(x) จะได้ฟังก์ชัน g(x) คือ ---------- (2.4) - มีเพียงฟังก์ชัน ex เท่านั้น เมื่อทำการดำเนินการ derivative แล้วยังคงได้ฟังก์ชันเดิม

1. Linear Operator ตัวดำเนินการ จะเป็น linear ถ้า ---------- (2.5) และ ---------- (2.6) โดย e เป็นค่าคงที่ f และ g เป็น arbitary functions ของตัวแปร independent q

ภาพที่ 2.1

2. Hermitian Operator ตัวดำเนินการ จัดเป็น Hermitian เมื่อ ---------- (2.7) q เป็นตัวแทนของ coordinates ของทุกอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ อยู่ในสามมิติ - เช่น มีอนุภาคจำนวนสองอนุภาค dq ได้แก่ dx1 dy1 dz1 dx2 dy2 dz2 integral limit มีค่าระหว่าง ถึง - ในสมการ (2.7) เทอม f* เป็นค่า complex conjugate ของฟังก์ชัน f

และ เป็น complex conjugate ของ complex quantity ของ z เขียนได้เป็น z = x + iy ---------- (2.8) x = real part of z y = imaginary part of z Complex conjugate z* = x - iy ---------- (2.9)

3. Operator Algebra Identity operator : ตัวดำเนินการเมื่อการดำเนินการไปแล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันเดิม ---------- (2.9) หรือ Product of two operator ------ (2.10) ซึ่ง g(q) เป็น product ที่ได้จากการดำเนินการ บน f(q)

---------- (2.11) การคูณกันของตัวดำเนินการมีสมบัติในการจัดหมู่ กล่าวคือ ---------- (2.12) การคูณกันของตัวดำเนินการอาจไม่มีสมบัติในการสลับที่ (commutative) ---------- (2.13) ถ้า อาจกล่าวได้ว่า และ commute กัน

*commutator ของตัวดำเนินการ และ แสดงโดย โดยที่ ---------- (2.14) เช่น จงหา commutator ของ พิจารณา commutator ดำเนินการบนฟังก์ชัน f(x) ------ (2.15) แสดง operator equation ได้เป็น

:Mathematical Operators in Quantum Mechanics 2.3 Postulates III :Mathematical Operators in Quantum Mechanics Postulate III:To every mechanical variable there is a hermitian mathematical operator in one-to-one correspondence one-to-one correspondence : ตัวดำเนินการ จะเกี่ยวข้อง กับตัวแปร E ค่าหนึ่งเท่านั้น และตัวแปรกลศาสตร์อื่น ๆ เช่น momentum , angular momentum หรือ position ต่างก็มี ตัวดำเนินการแบบ one-to-one correspondence

ในการพิจารณาตัวแปรกลศาสตร์อื่นๆ เช่น จาก classical expression เทอมของ energy และ Hamitonian operator จะแสดงฟังก์ชันใน เทอมของโมเมนตัม ( ไม่ใช้ velocity ) สำหรับระบบของ cartesian coordinates ค่าโมเมนตัมเป็นค่าผลคูณ ระหว่าง mass และ ความเร็ว พิจารณาอนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ขนานตามแกน x ------- (2.16) เครื่องหมาย คือ “one-to-one correspondence with”

operator ของ Potential en. operator ของ Kinetic en. operator ของ momentum Note :

2.4 Postulates IV : Expection Values หลักสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัม คือถ้าทราบwave function ของระบบแล้ว เราสามารถทราบสถานะของระบบได้ นอกจากนี้แล้ว ข้อมูลจากตัวแปรกลศาสตร์ จะทราบได้จาก wave function เท่านั้น Postulate IV: a) If a mechanical variable A is measured without experimental error , the only possible measured values of a variable A are eigenvalues of the operator that corresponds to A b) The expectation value for the error-free measurement of a mechanical variable A can be calculated from the formula

---------- (2.17) ซึ่ง เป็นตัวดำเนินการซึ่งสัมพันธ์กับตัวแปร A ซึ่งสัมพันธ์กับสภาวะของระบบ -expectation value คือ การทำนายค่าเฉลี่ยของค่าต่าง ๆ ที่สุ่ม มาจาก population -ในส่วนที่สองของ Postulate IV (b) นั้นกล่าวไว้ว่า expectation value ที่ได้จากการทดสอบที่ไม่มีข้อผิดพลาดแล้ว ค่าการทำนาย ค่าเฉลี่ยจะเท่ากับผลของการอินทิกรัล ตามสมการที่ (2.17)

Normalization จากสมการ (2.17) นั้น ตัวหารเป็นค่าคงที่ ซึ่ง wave function ที่ปรากฎใน Schrödinger eq. จะมีค่าคงที่ตัวหนึ่งคูณอยู่ด้วย ดังนั้น ค่าคงที่ (c) ดังกล่าวนี้สามารถเลือกได้ ---------- (2.18) wave function, จึงถูก normalized วิธีการดังกล่าวนี้ทำให้ละตัวหารในสมการ (2.17) ได้ - Particle in the Box

1. Position Measurements เมื่อพิจารณาอนุภาคหนึ่งซึ่งเคลื่อนที่ตามแนวแกน x ถ้า wave function ของอนุภาคนี้ คือ ค่า expectation ของ x คือ ---------- (2.19) โดยที่ มีสมบัติ normalized

เนื่องจาก multiplication operator, x, มีสมบัติ commute ในการคูณกับ ดังนั้น ----- (2.20) หรืออาจกล่าวได้ว่า quantity ใดที่คูณอยู่กับ complex conjugate ของตัวเองจะมีค่าเท่ากับค่า absolute ของปริมาณนั้น ยกกำลังสอง

2. Probability Densities จาก position measurement สิ่งที่สนใจต่อไปคือโอกาส(probability) ที่จะพบปริมาณ (quantity) ต่าง ๆ ณ ตำแหน่งที่ต้องการ (position) ดังนั้น probability ณ ช่วงตำแหน่งที่ต้องการอาจแสดงโดย ภาพที่ 2.2 An example of probability density

Probability that lies between and ---------- (2.21) = a small range (infinitestmal) = probability density, or a probability per unit length on the u axis ---------- (2.22) Total probability สำหรับ mean value ของ แสดงได้โดย ---------- (2.23)

Probability per unit length on x - axis ทั้งนี้ probability ในการพบอนุภาคระหว่าง x และ x+dx จะเท่ากับ Probability = ---------- (2.24) Probability density Probability per unit length on x - axis Probability = ---------- (2.25) “probability per unit volume in three dimensions”

3. Standard deviation ( ) : เทอมที่แสดงการกระจายโอกาสในการพบอนุภาค ---------- (2.26) Case study : Expectation Values – Particle in a Box

ตัวอย่าง จงหาค่า expectation value of position ของอนุภาคซึ่ง เคลื่อนที่ใน one-dimention box ซึ่งมีความยาว a โดย coordinate wave function คือ eigenfunction ซึ่งมี n=1 solution : the normalized particle-in-a-box wave function คือ expectation value คือ

( ในที่นี้ ถูก normalized = 1 และ conjugate complex ของ คือเทอม จะ cancel กันไป ) ดังนั้น (the predicted mean position of the particle is the middle of the box.) Note :

หากต้องการหา standard deviation for the position of a particle Note :

ตัวอย่าง จงคำนวณโอกาสที่จะพบอิเล็กตรอนซึ่งเคลื่อนที่ใน one-dimention box โดยสภาวะ n=2 ภายใต้ขอบเขต solution : Probability

How about ? Probability = 1- 2(0.40) = 0.20 หมายความว่าอย่างไร ?

2.5 Postulate V: Determining the state of the system Postulate V : Immediately after a measurement of the mechanical variable A in which the outcome was eigenvalue aj, the state of the system corresponds to a wavefunction that is an eigenfunction of with eigen value equal to aj

The observable operator is constructed from the following table: Classical Quantum Operator x p t E vs. time