DSP 4 The z-transform การแปลงแซด ผศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

เป้าหมาย นศ รู้จักความหมายของการแปลง แซด นศ เข้าใจประโยชน์และการนำการแปลงแซด ไปใช้งาน EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

ทำไมต้องแปลงแซด ? เราใช้การแปลง DTFT เพื่อช่วยในการวิเคราะห์สัญญาณไม่ต่อเนื่องทางเวลาโดยใช้ และยิ่งมีประโยชน์ ในการวิเคราะห์ในเชิงความถี่ แต่ DTFT เป็นการแปลงที่ใช้กับสัญญาณ steady–state (เช่น cos และ sin ) แต่ใช้กับสัญญาณที่สำคัญบางอย่างไม่ได้ เช่น u(n) หรือ nu(n) การแปลงแซด (Z-transform) ให้คำตอบได้ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

การแปลงแซด (z-Transform) สำหรับ สัญญาณ x(n) จะมีการแปลงแซดเป็น z หมายถึง “ตัวแปรเชิงซ้อน” ซึ่งเราจะให้เป็น ซึ่งมีความหมายถึง “ขนาด” และ “เฟส” Re Im EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

การแปลงแซด (z-transform) (ต่อ) หาก “ขนาด” มีค่า เท่า หนึ่ง ( ) จะได้ เราจะได้ ว่า การแปลง z กลายเป็นการแปลงฟูเรียร์ การแปลงฟูริเยร์เป็นกรณีพิเศษ ของการแปลงแซด EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

ตัวอย่าง 1 0.8 h(n) 0.7 0.6 n -1 1 2 วิธีทำ วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

คูณสมบัติการแปลงแซดที่สำคัญ การเลื่อน การประสาน การคูณ x(n) ด้วย n EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า (Region Of Convergence ) พิจารณา ได้การแปลง z หรือ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า (ต่อ) ลองดู หรือ ต่าง x(n) คำตอบเหมือนกัน อะไรคือความแตกต่าง? EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า ROC คือ บริเวณสีเทา เป็นบริเวณที่ทำให้สมการเป็นจริง Im Im ROC ROC Re Re โพล ROC อยู่นอกวงกลมรัศมี ROC อยู่ในวงกลมรัศมี EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

จงหาผลการแปลง Z และ บริเวณการลู่เข้าของ ตัวอย่าง จงหาผลการแปลง Z และ บริเวณการลู่เข้าของ วิธีทำ เทอม แรก ROC คือ บริเวณ เทอม สอง ROC คือ บริเวณ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

บริเวณการลู่เข้า ROCเป็นบริเวณที่เกิดจากการ interceptionของROC ทั้งสอง Im Im ROC Re Re ROC ไม่มีค่า, ดังนั้นไม่มี X(z) ROC อยู่ระหว่างวงกลม EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

ความเป็นคอซัล (Causality) สัญญาณที่เป็น คอซัลตรงกันข้าม (anti-causal) มีค่าในช่วง คอซัล คอซัลตรงกันข้าม หรือดูจาก ROC ก็ได้ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

ROC อยู่นอกวงกลม=คอซัล ROC อยู่ในวงกลม=คอซัลตรงกันข้าม Im Im ROC ROC Re Re โพล ROC อยู่นอกวงกลมรัศมี ROC อยู่ในวงกลมรัศมี EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

(Inversion of the z-Transform) เพื่อแปลงกลับจาก โดเมนแซดไปเป็นโดเมนเวลา พิจารณา จัดอยู่ในรูป EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

โพลสามกรณี โพลเป็นจำนวนจริงไม่ซ้ำค่า โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ซ้ำค่า โพลเป็นจำนวนซ้ำค่า ใช้วิธี Partial Fraction Expansion (PFE) EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

1.โพลเป็นจำนวนจริงไม่ซ้ำค่า ตัวอย่าง วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

หา C1 และ C2 หา C1 หา C2 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

จากหนังสือ อ พรชัยเปิดตาราง 4.1 หน้า 46 ข้อ 5 และตารางหน้าถัดไป ได้ผลการแปลงผกผันแซดเป็น EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

Table of Z-transform pairs EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

2.โพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ซ้ำค่า Y(z) แสดงโดย ตัวอย่าง วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

หา C1 =0 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

หา C2 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

แทนค่า C1 และ C2 จาก ตารางที่ 4.1 ข้อ 14 หน้า 46 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

3.โพลเป็นจำนวนซ้ำค่า ตัวอย่าง วิธีทำ หา C1 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

แทน z=1 ตรงๆเลย ไม่ได้ (เพราะอะไร?) และ สังเกต การติดค่า C1 ไว้ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

จัดสมการใหม่เพื่อหา C3 ใช้ การหา สลับเทอม 2 กับ3 แทนค่า z=1ในขั้นตอนนี้ เทอม C1 จะหายไปเองเมื่อ z=1 EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

แทนค่าลงไป EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

ประโยชน์ของ z-Transform ช่วยในการหาผลตอบสนองในโดเมนเวลาของระบบ ตัวอย่าง วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

2. ช่วยหาผลการประสาน ตัวอย่าง วิธีทำ เราทราบว่า EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

หา inverse z-transform แปลงกลับ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

3.ช่วยหาเอาท์พุทของ difference equation ตัวอย่าง การหมุนของดาวเทียมแสดงได้ด้วย = ตำแหน่งมุม(angular position) = ทอร์ก (Torque) จากตัวขับ ให้หา y(n) ที่ x(n) เป็น วิธีทำ แปลง z EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

ตำแหน่งมุม y(n) หาได้จากการแปลง z ผกผัน ได้ Transfer function ขยายออกเป็น เมื่อ คูณกลับด้วย z ตำแหน่งมุม y(n) หาได้จากการแปลง z ผกผัน EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

Transfer function y(n) เอาท์พุทของระบบ มีการแปลง z ข้อกำหนด 1 เราเรียก H(z) ว่าเป็น ฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer function) โดยที่ y(n) เอาท์พุทของระบบ มีการแปลง z หรือROC ของ h(n) จะต้อง overlap กับ ROC ของ x(n) จึงจะมี Y(z) การแสดงระบบจากสมการความแตกต่าง จากระบบ LTI ที่มีสมการความแตกต่างเป็น EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

หรือเขียนเป็น H(z) เราได้ zk= ซีโร่ pk =โพล EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

หาผลตอบสนองความถี่จากการแปลง z ถ้า ROC ครอบคลุม unit circle จะหาผลตอบสนองความถี่ของระบบได้ Transfer function Magnitude response Phase response EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

แสดงเวคเตอร์จากโพลและซีโร่ไปยัง unit circle Re(z) Im(z) Unit circle pk zl เวคเตอร์จากโพล ไป unit circle: เวคเตอร์จากซีโร่ ไป unit circle: EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

สำหรับสัญญาณ y(n) โพลซีโร่ พล๊อต ผลตอบสนองความถี่ ตัวอย่าง วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

สรุป หาผลลัพท์การแปลงแซดได้ในบางกรณีที่ใช้การแปลง DTFT ไม่ได้ สมการการแปลงแซดให้ความหมายมากกว่าหนึ่งสัญญาณโดเมนเวลา โดยแตกต่างกันตาม ROC การแปลงแซดช่วยหาผลลัพธ์สมการผลต่างได้ การแปลงแซดช่วยหาผลตอบสนองความถี่ได้ EEET0485 Digital Signal Processing Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon