ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES 10 ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES

All languages are regular ? (YES/NO) REGULAR LANGUAGES วัตถุประสงค์ Language defined by regular expression is called a regular languages. All languages are regular ? (YES/NO) Discuss some properties of all

ภาษาสม่ำเสมอ What’s about finite automata? ทฤษฎีบท REGULAR LANGUAGES ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES Let L1 and L2 be regular languages. Then L1+L2, L1L2 and L1* are also regular languages. Proof: By definition of regular expression, regular expression is closed under union, concatenate and Kleene star. ทฤษฎีบท What’s about finite automata?

ภาษาสม่ำเสมอ Find L1+L2 REGULAR LANGUAGES q1 q0 q6 q2 q3 q4 q5 b a Find L1+L2 q1 q0 b a a  a q6 b q2 q3  b q4 b a,b q5 a

ภาษาสม่ำเสมอ Find L1L2 REGULAR LANGUAGES q1 q0 q2 q3 q4 q5 b a q1 q0 Find L1L2 b a a a b q2 q3 b  q4 b a,b q5 a

ภาษาสม่ำเสมอ Find L1* REGULAR LANGUAGES q1 q0 qk q2 q3 b Find L1* a q1  q0 b qk a a a b q2 q3 b 

ภาษาสม่ำเสมอ นิยาม If L is a language over the alphabet . REGULAR LANGUAGES ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES COMPLEMENT นิยาม If L is a language over the alphabet . The complement of L denoted by L’ is the language of all strings of characters from  that are not words in L. The complement of L = * - L. Notice that the complement of L’ is L. ( (L’)’=L.)

ภาษาสม่ำเสมอ ทฤษฎีบท REGULAR LANGUAGES Let L be a regular language. Then L’ is also a regular language. (closed under complementation) Proof: By Kleene’s theorem, there is some FA that accepts the language L. By reversing all final states in that FA into non-final states, and all non-final states into final states, the new machine is a FA that accepts L’. By Kleene’s theorem, L’ is a regular language. QED. ทฤษฎีบท

ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES EXAMPLE: Given ={a, b}, and L = a(a+b)*. Find L’. a, b q1 a, b a q2 q0 b

This FA accepts all words started with b, and also . REGULAR LANGUAGES ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES EXAMPLE: Given ={a, b}, and L = a(a+b)*. Find L’. a, b q1 a, b a q2 q0 b This FA accepts all words started with b, and also . L’ = +b(a+b)*

How to construct a finite automaton associated with the language? REGULAR LANGUAGES ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES INTERSECTION ทฤษฎีบท Let L1 and L2 be regular languages. Then L1L2 is also a regular language. Proof: By DeMorgan’s law for sets, L1L2 = (L1’+L2’)’. So, L1L2 is a regular language. QED. How to construct a finite automaton associated with the language?

ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES L1 = language((a+b)*aa(a+b)*) L2 = language(b*(ab*ab*)*) a, b a a q0 q1 q2 b b a b q3 q4 a b

ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES L1 = language((a+b)*aa(a+b)*) L2 = language(b*(ab*ab*)*) a, b a a q0 q1 q2 b b a b q3 q4 a b Find L1’ and L2’

ภาษาสม่ำเสมอ REGULAR LANGUAGES q0 q1 q2 q3 q4 REGULAR LANGUAGES b a b 0,3 2,4 1,4 2,3 b b b a a 1,3 b 0,4 a, b a a q0 q1 q2 b b a b q3 q4 a b

ภาษาสม่ำเสมอ ทฤษฎีบท Let L1 L2 be regular languages associated with SUMMARY Let L1 L2 be regular languages associated with machines M1=(Q1,,q1,A,1) and M2=(Q2,,q2,A,2). Let M =(Q1Q2,,(q1 ,q2),A,) and transition function is defined by the formula ((p,q),a) = (1(p,a),2(q,a)). Then if A={(p,q)|pA1 or qA2}, M accepts the L1L2. if A={(p,q)|pA1 and qA2}, M accepts the L1L2. if A={(p,q)|pA1 and qA2}, M accepts the L1-L2. ทฤษฎีบท

? โจทย์ น่าคิด จงหาออโตมาตาจำกัด สำหรับภาษา L1L2 L1 L2 B A C X Y 1 โจทย์ น่าคิด จงหาออโตมาตาจำกัด สำหรับภาษา L1L2 L1 B 1 ? A 1,0 C 0,1 L2 1 X Y

11 REGULAR DECIDABLE

คุณสมบัติความสม่ำเสมอ REGULAR DECIDABLE คุณสมบัติความสม่ำเสมอ REGULARITY A language is regular (describable by a regular expression) if and only if it can be accepted by a finite automaton. What inherent property of a language identifies it as being regular ?

คุณสมบัติความสม่ำเสมอ REGULAR DECIDABLE คุณสมบัติความสม่ำเสมอ REGULARITY PALINDROME is not regular. Since there are infinitely many distinguishable. Remark Language L contains infinitely many “pairwise distinguishable” with respect to L then L cannot be regular.

คุณสมบัติความสม่ำเสมอ REGULAR DECIDABLE คุณสมบัติความสม่ำเสมอ REGULARITY What is the relationship between regular and distinguishable ? Define a relation: We will say that two strings are equivalent if they are indistinguishable with respect to L.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ Let L be any language in *. The relation IL on *( the indistinguishability relation) is defined as follows: For any two strings x, y in *, xILy if and only if x and y are indistinguishable with respect to L. In other words, xILy if for any z in *, either xz and yz are both in L or xz and yz are both in L’.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง L be a language over =(0, 1}, defined as follows; x  L with length(x) > 0, x does not contain “double characters”. Regular expression of L = (0+)(10)*(1+). For instance, 0101 IL 10101 since they are indistinguishable with respect to L. For any z *, if 0101z is in L, then 10101z is also in L, if 0101z is not in L, then 10101z is not in L.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ LEMMA For any language L, IL is an equivalence relation on *. Let x, y and z be strings in *. Reflexive: xILx Symmetric: if xILy then yILx Transitivity: if xILy and yILz then xILz.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ Proof It is obvious for reflexive and symmetric. Let x, y and z be strings in *. Given xILy and yILz, and for any a  *. Suppose that xa is in L, we will show that za is in L. Since xa is in L and xILy, ya is also in L. Since ya is in L and yILz, za is in L. thus xILz. Q.E.D.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง L be a language over =(0, 1}, defined as follows; x  L with length(x) > 0, x does not contain “double characters”. Regular expression of L = (0+)(10)*(1+). [] = {  } [1] = { 1, 01, 101, 0101, …} [0] = { 0, 10, 010, 1010, ... } [00+11] = { 00, 11, 000, 011, 111, … }

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ข้อสังเกตุ If the set of all equivalence classes of IL is finite, then it is possible to construct an DFA recognizing L in terms of the equivalence classes of IL.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ข้อสังเกตุ Automaton M=(Q, , q0, A, ) Lq = { x   | *(q0, x) = q } for q  Q. Lq is the set of all strings that end in the state q of M. What is the relationship between them ?

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง 1 B C 1  0,1 A 1 1 LA = {  } LB = { 0, 010, 01010, 0101010, … } LC = { 01,0101, 010101, 01010101, … } LD = { 1, 101, 10101, 1010101, … } LE = { 10, 1010, 101010, 10101010, … } L = { 00, 11, 000, 001, 100, 111, … } D E 1

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ หมายเหตุ If number of classes of IL and Lq are the same, then two partitions are identical and FA is the fewest possible states recognizing L. For strings x in * and a in  ([x], a) = [xa].

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ LEMMA IL is right invariant with respect to concatenation. For any x, y in *, and any a in , if x IL y, then xa IL ya. Equivalently, if [x] = [y], then [xa] = [ya]. Proof: Let x IL y. Then x and y are indistinguishable with respect to L. For any z in *, if xz is in L, then yz is in L. Consider xaz, for any a in *, if xaz is in L and let z’ = az, then yz’ is also in L. Thus xa IL ya. Q.E.D.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ทฤษฎีบท Let L  *, and QL be the set of equivalence classes of the relation IL on *. If QL is a finite set, then ML = (QL, , q0, AL, ) is a finite automaton accepting L, where q0 = [] AL = { q in QL | q  L  } and : QL    QL is defined by ([x],a) = [xa]. Furthermore, ML has the fewest states of any FA accepting L.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ พิสูจน์ If QL is a finite set, then ML is finite. Now, ML= (QL, , q0, AL, ) recognizes the language L. For any x  *, x  L if and only if *(q0,x)  AL. Let x L. Since x  [x], we have that x  [x]  L  . Since *(q0,x) = ([],x) = [x]  AL. For u, v  *, (([u], v) = [uv]) If *(q0,x)  AL, then [x]  L  . Let y be an element in [x]  L. We have that y  L. x and y are indistinguishable (same class), then x  L.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ทฤษฎีบท MYHILL-NERODE THEOREM L is a regular if and only if QL is finite. QL is finite, ML is also finite. ([x],y) = [xy] for any strings x and y in *. The partition Lq is finer than the partition IL.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง Let L = { x in {0, 1}* | x ends with 10 }. Consider three strings, , 1 and 10. Ant two of these strings are distinguishable with respect to L. [] = { , 0, 1, 00, 000, 100, 0000, 0100, … } [1] = { 1, 01, 001, 0001, 00001, … } [10] = { 10, 010, 110, 0010, … }.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง Let L = { x in {0, 1}* | x ends with 10 }. Consider three strings, , 1 and 10. Ant two of these strings are distinguishable with respect to L. ML = (QL, {0, 1}, [], {[10]}, ) be the FA, and ([], 0) = [] ([], 1) = [1] ([1], 0) = [10] ([1], 1) = [1] ([10], 0) = [] ([10], 1) = [1].

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง Let L = { x in {0, 1}* | x ends with 10 }. Consider three strings, , 1 and 10. Ant two of these strings are distinguishable with respect to L. 1 DFA 1 [] [1] [10] 1

? โจทย์ น่าคิด ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ โจทย์ น่าคิด กำหนดให้ ภาษา 0n1n เมื่อ n  0 { , 01, 0011, 000111, … } จงแสดงให้เห็นว่า ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ ?

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง L = { 0n1n | n  0 }, show that L is not regular. Consider any strings of the form 0i and 0j with i  i. They are distinguished by the string 1i. They are infinitely many strings of the form 0i and 0j. Then there are infinitely many distinguished strings.

? โจทย์ น่าคิด ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ กำหนดให้ ภาษา ww เมื่อ w * โจทย์ น่าคิด กำหนดให้ ภาษา ww เมื่อ w * { , 00, 11, 0000, 0101, … } จงแสดงให้เห็นว่า ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ ?

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ตัวอย่าง L = { ww| w {0, 1}* }, show that L is not regular. Consider any strings of the form 0i and 0j with i  i. They are distinguished by the string 1i0i1i. They are infinitely many strings of the form 0i and 0j. Then there are infinitely many distinguished strings.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ MINIMAL FINITE STATE MACHINE Number of equivalence classes = number of states in ML then ML is a minimal finite state machine. Find a pair (Lp, Lq) such that Lp and Lq are in the same class, group it into one class. By contraposition, we will find a pair (Lp, Lq) that they are in difference classes.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ MINIMAL FINITE STATE MACHINE LEMMA For p and q in Q, p  q, if and only if There exists z in * so that exactly one of the two states *(p,z) and (q,z) is in A. A pair (p, q) of states for which Lp and Lq are subsets of different equivalence classes, denoted by p  q.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ MINIMAL FINITE STATE MACHINE LEMMA For p and q in Q, p  q, if and only if there exists z in * so that exactly one of the two states *(p,z) and (q,z) is in A. Proof: Let p  q. Let x is in Lp and y is in Lq, we have that there exists z in *, xz and yz are distinguishable, *(p,z) = *(*(q0,x),z) = *(q0,xz) *(q,z) = *(*(q0,y),z) = *(q0,yz) only one is in L. Suppose that only one of *(p,z) and (q,z) is in A. It means that z distinguishes x in Lp and y in Lq with respect to L. Therefore p  q.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ MINIMAL FINITE STATE MACHINE Consider (p,q) be a distinguishable pair. Let r and s be two states in Q. For some a in , such that (r,a) = p and (s,a) = q. Since *(r,az) = *(*(r,a)) = *(p,z) *(s,az) = *(*(s,a)) = *(q,z), we can conclude that (r,s) is also be a distinguishable pair.

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ ALGORITHM MINIMAL FINITE STATE MACHINE ตัวอย่าง 1 5 1 2 1 1 6 1 4 1 1 3 7 1 (0+1)*(01)

ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ REGULAR DECIDABLE INDISTINGUISHABILITY ความสามารถในการแยกความไม่แตกต่างกันได้ MINIMAL FINITE STATE MACHINE Algorithm 2 3 4 5 6 1 7 State class class class #1 #2 #3 1 1 2 1,2 3 3 4 1,2,4 5 3,5 6 6 7 3,5,7

REGULAR DECIDABLE NONREGULAR ความไม่สม่ำเสมอ A Language that cannot be defined by a regular expression is called a nonregular language.

ความไม่สม่ำเสมอ บทวิเคราะห์ NONREGULAR REGULAR DECIDABLE NONREGULAR ความไม่สม่ำเสมอ บทวิเคราะห์ Given an infinite regular language L Suppose that there exists a FA with n states associated with L. For any word x in L such that |x|  n, consider a path associated with x, q0q1q2…qn+1 then, there exists qi = qj where i j.

ความไม่สม่ำเสมอ บทวิเคราะห์ a10b10 FA with 9 states NONREGULAR REGULAR DECIDABLE NONREGULAR ความไม่สม่ำเสมอ บทวิเคราะห์ a2a*a7b10 accepted a2a2a7b10 accepted a a a a a 1 2 3 9 a a a10b10 a a a2(ak)*a6b10 accepted a2a2ka6b10 accepted FA with 9 states

ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท NONREGULAR REGULAR DECIDABLE NONREGULAR ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท Suppose L is a regular language recognized by a finite automaton with n states. For any u  L, with |u| n, there are strings x, y and z so that u = xyz |xy| n y   For any m  0, xymz  L.

ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท x z y NONREGULAR REGULAR DECIDABLE NONREGULAR ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท x z y xy*z is also accepted by this finite automaton.

ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท NONREGULAR REGULAR DECIDABLE NONREGULAR ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท For any u  L, |u| n. Let u = u1u2u3…um; m  n By the pigeonhole principle, there exist ui and uj such that *(q0,u1u2…ui) = qi and *(q0,u1u2…ui…uj) = qi It is clear that *(qi,ui+1ui+2…uj) = qi We also have that |u1u2…ui…uj|  n. Let x = u1u2…ui, y = ui+1ui+2…uj and z = uj+1uj+2…um. For any m  0, xymz  L.

ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท PUMPING LEMMA NONREGULAR FOR REGULAR LANGUAGE REGULAR DECIDABLE NONREGULAR ความไม่สม่ำเสมอ ทฤษฎีบท PUMPING LEMMA FOR REGULAR LANGUAGE L be a regular language. There is an integer n so that for any u in L, with |u| n, there are strings x, y and z so that u = xyz |xy| n |y| > 0 for any m  0, xymz is in L.

? โจทย์ น่าคิด ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ โจทย์ น่าคิด กำหนดให้ ภาษา 0n1n เมื่อ n  0 { , 01, 0011, 000111, … } จงแสดงให้เห็นว่า ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ ? USING PUMPING LEMMA

? โจทย์ น่าคิด ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ กำหนดให้ ภาษา ww เมื่อ w * โจทย์ น่าคิด กำหนดให้ ภาษา ww เมื่อ w * { , 00, 11, 0000, 0101, … } จงแสดงให้เห็นว่า ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ ? USING PUMPING LEMMA

? โจทย์ น่าคิด ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ กำหนดให้ ภาษา โจทย์ น่าคิด กำหนดให้ ภาษา {0kw | w  {0,1}* and |w| k } จงแสดงให้เห็นว่า ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ ? USING PUMPING LEMMA

? โจทย์ น่าคิด ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ กำหนดให้ ภาษา โจทย์ น่าคิด กำหนดให้ ภาษา { w  {0,1}* | n0(w) = n1(w) } จงแสดงให้เห็นว่า ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ ? USING PUMPING LEMMA

? โจทย์ น่าคิด ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ กำหนดให้ ภาษา โจทย์ น่าคิด กำหนดให้ ภาษา { 0k | k is a prime number } จงแสดงให้เห็นว่า ภาษานี้ไม่เป็นภาษาสม่ำเสมอ ? USING PUMPING LEMMA

12 DECISION PROBLEM

DECISION PROBLEM บทสรุป A finite automaton receives the input string, and results in the output “accept” or “reject”.

ปัญหาตัดสินใจ A computational problem that DECISION PROBLEM DECISION PROBLEM ปัญหาตัดสินใจ A computational problem that a finite automaton can solved are called “decision problems”. This means that the problem can be answered “yes” or “no”.

ปัญหาตัดสินใจ DECISION PROBLEM A Limitation of a finite automaton. The problem requires instances to remember more than some fixed amount of information. The generic decision problem that can be solved by a finite automaton is the “membership problem” for the corresponding regular language.

DECISION PROBLEM DECISION PROBLEM ปัญหาตัดสินใจ MEMBERSHIP PROBLEM Given a finite automaton M, and string x, the question is if x is a string in L(M). Informally, this can be solved in |x| steps of computation.

ปัญหาตัดสินใจ DECISION PROBLEM MEMBERSHIP PROBLEM Given a finite automaton M, is there a string that it accepts? is L(M) finite? is it a minimum-state automaton accepting L(M)? Given two finite automata M1 and M2, are there any strings that are accepted by both? do they accept the same language? is L(M1) is a subset of L(M2)? Given two regular expressions r1 and r2, do they correspond to the same language?

? โจทย์ น่าคิด จงหา ภาษาที่ ทุก มีสมาชิกเพียงตัวเดียว โจทย์ น่าคิด จงหา ภาษาที่ ทุก equivalence class ของ IL มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ?

? โจทย์ น่าคิด สำหรับภาษาที่ []  {} เป็นจริงหรือไม่ที่ ภาษานี้ โจทย์ น่าคิด สำหรับภาษาที่ []  {} เป็นจริงหรือไม่ที่ ภาษานี้ จะต้องเป็น infinite set ?

จำนวน class ของ IL เป็นเท่าใด โจทย์ น่าคิด สำหรับภาษาที่ L = {x} เมื่อ x * จำนวน class ของ IL เป็นเท่าใด ?