การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม (Circular Permutation)

พิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเป็นวงปิด ของตัวอักษรในเซต {A, B, C}

พิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเป็นวงปิด ของตัวอักษรในเซต พิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของเป็นวงปิด ของตัวอักษรในเซต {A, B, C, D, E} A E B D C E D A C B D C E B A C B D A E B A C E D

การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของกลุ่มหนึ่งเป็นวงกลม เราจะกล่าวว่า การเรียงสับเปลี่ยนทั้งสองวิธีเป็นวิธีเดียวกัน เมื่อสามารถหมุนวิธีหนึ่งไปเป็นอีกวิธีได้

จะเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n ชิ้นแตกต่างกันได้ กี่วิธี ทฤษฎีบทที่ 1 จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่งแตกต่างกัน คือ (n-1)! วิธี เราใช้สัญลักษณ์ Q(n,n) แทน จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ n สิ่งแตกต่างกัน คำถาม : P(n, n) สัมพันธ์กับ Q(n, n) อย่างไร

ตัวอย่างที่ 1 จะจัดคน 5 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี ชาย 5 คน หญิง 5 คน นั่งสลับชายหญิงรอบโต๊ะ ได้กี่วิธี จะจัดคน 6 คน นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี โดยให้สามี ภรรยาคู่หนึ่งนั่งชิดกัน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดชาย 5 คน หญิง 5 คน นั่งสลับชายหญิงรอบโต๊ะ โดยนาย ก ต้องนั่งติดกับนางสาว ข ถ้าจัดนักเรียน 6 คน ซึ่งมีกุ้งและก้อยรวมอยู่ด้วย ให้ยืนเรียงเป็น 2 แบบ แบบที่หนึ่งนักเรียนทั้งหมดยืนเป็นแถวตรง โดยกุ้งและก้อยยืนติดกัน แบบที่สองนักเรียนทั้งหมดยืนเป็นวงกลม โดยกุ้งและก้อยยืนตรงข้ามกัน จำนวนวิธีของการจัดทั้งสองแบบต่างกันอยู่เท่าใด

ตัวอย่างที่ 2 มีของ 5 สิ่งจะเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมทีละ 3 สิ่งได้กี่วิธี บทนิยามให้ A เป็นเซตของของที่แตกต่างกัน n สิ่ง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมทีละ r สิ่งของเซต A โดยที่ 0  r  n คือ การนำของ r สิ่งจากเซต A มาเรียงเป็นวงกลม เรานิยมแทนการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมทีละ r สิ่งของเซต A ด้วย Q(n, r)

ตัวอย่างที่ 4 ในงานเลี้ยงครั้งหนึ่งมีผู้มาร่วมงาน 15 คน จะเล่นเกมเก้าอี้ดนตรีซึ่งจัดเป็นวงกลม 10 ตัว จะจัดคนเข้าเล่นได้กี่วิธี คน 10 คน จะจัดให้รำวงรอบกองไฟได้กี่วิธี

นักเรียนคิดว่า การร้อยพวงมาลัยที่มีดอกไม้ชนิดต่างๆกัน 4 ชนิด จะทำได้กี่วิธี

Homework จงหาจำนวนวิธีในการจัดเด็กชาย 5 คน และเด็กหญิง 5 คน นั่งโต๊ะกลม โดยที่ ไม่มีเงื่อนไขใดๆ เด็กชาย B และ เด็กหญิง G ต้องไม่นั่งติดกัน ไม่มีเด็กหญิงคนใดนั่งติดกัน

คน 10 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี Exercise คน 10 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม ถ้ามี 2 คนนั่งติดกันเสมอ ถ้ามี 2 คนนั่งแยกกันเสมอ ถ้ามี 2 คนนั่งตรงข้ามกันเสมอ ถ้ามี 3 คน นั่งติดกันเสมอ ถ้ามี 5 คนนั่งติดกันเสมอ