ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (Continuous Function on Intervals)
บทนิยาม 4.5.1 ให้ f : D จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชันที่มีขอบเขตบน D ถ้ามีจำนวนจริง M > 0 ซึ่งทำให้ | f(x) | M สำหรับทุก xD ทฤษฎีบท 4.5.2 ให้ I = [ a, b ] เป็นช่วงปิด และ f : I เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน I แล้ว f เป็นฟังก์ชันมีขอบเขตบน I
บทนิยาม 4.5.3 ให้ f : D (1) จะกล่าวว่า f มี ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D ซึ่ง f(x*) f(x) ทุก xD และเรียก f(x*) เป็น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ของ f (2) จะกล่าวว่า f มี ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D ซึ่ง f(x*) f(x) ทุก xD และเรียก f(x*) เป็น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ของ f
ทฤษฎีบท 4.5.4 ให้ I = [ a, b ] เป็นช่วงปิด f : I เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน I แล้ว f จะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์บน I ทฤษฎีบท 4.5.5 ให้ I เป็นช่วง และ f : I เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน I ถ้า , I โดยที่ < และ f() < 0 < f() [หรือ f() > 0 > f()] แล้วจะมี c(, ) ซึ่ง f(c) = 0
ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมของโบลซาโน ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทค่ามัชฌิมของโบลซาโน (Bolzano’s Intermediate Value Theorem) ทฤษฎีบท 4.5.7 ให้ I = [ a, b ] เป็นช่วงปิด และ f : I เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน I แล้วเซตของ f( I ) = { f(x) | x I } เป็นช่วงปิด