ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences)

ลำดับลู่เข้า และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยาม 3.2.1 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง ถ้า = L เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และ ลู่เข้าสู่ค่า L

ถ้า ไม่มีลิมิต เรียก ว่าเป็น ลำดับลู่ออก (divergentsequence) 1, , , , , . . . , , . . . เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ 0 2, 2, 2, 2, …, 2, ... เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ 2 เป็นลำดับที่ลู่เข้าสู่ 2

ไม่มีลิมิต 0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1)n, ... ไม่มีลิมิต ทฤษฎีบท 3.2.2 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ เป็นลำดับลู่เข้า แล้ว จะลู่เข้าสู่ค่า หนึ่งค่าเดียวเท่านั้น

การพิสูจน์ สมมติให้ลำดับ ลู่เข้าสู่จำนวนจริงมากกว่า 1 ค่า ให้ = L และ = M โดยที่ L  M ดังนั้น | M – L | > 0 ให้  = | M – L | เนื่องจาก = L จะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ | sn – L | < | M – L | , n  k1

และเนื่องจาก = M จะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | sn – M | < | M – L | , n  k2 ให้ k = max { k1, k2 } ดังนั้น | sn – L | < | M – L | , n  k และ | sn – M | < | M – L | , n  k

แต่ | M – L | = | M – sn + sn – L |  | sn – M | + | sn – L | < | M – L | + | M – L | , n  k ทำให้ | M – L | < | M – L | ซึ่งเป็นไปไม่ได้ นั่นคือ ลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งค่าเดียวเท่านั้น 

ทฤษฎีบท 3.2.3 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง และ ลู่เข้าสู่ L แล้วลำดับย่อยใดๆของ จะลู่เข้าสู่ L การพิสูจน์ ให้ เป็นลำดับย่อยของ โดยนิยามของลำดับย่อย จะได้ n1 < n2 < n3 < … < ni < … , ni , i ทำให้ ni  i , i

ดังนั้นทุก  > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ เนื่องจาก = L ดังนั้นทุก  > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | sn – L | <  , n  k เลือก k = nk  k สำหรับ i  k , ni  nk ทำให้ | – L | <  เมื่อ i  k นั้นคือ = L 

บทแทรก 3.2.4 ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่เข้า ย่อมลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน การพิสูจน์ จากทฤษฎีบท 3.2.2 ลำดับ เป็นลำดับลู่เข้า ย่อมลู่เข้าสู่ค่าหนึ่งค่าเดียวเท่านั้นและจากทฤษฎีบท 3.2.3 ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่เข้าสู่ค่า L เป็นลำดับลู่เข้าสู่ค่า L นั่นคือ ลำดับย่อยของลำดับที่ลู่เข้า ย่อมลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน 

ตัวอย่าง 1 = มีลำดับย่อย คือ ลำดับ 1, 1, 1, … เป็นลำดับลู่เข้าสู่ 1 และ ลำดับ –1, –1, –1, … เป็นลำดับลู่เข้าสู่ –1 ดังนั้น เป็นลำดับลู่ออก 

บทนิยาม 3.2.5 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังบวกอนันต์ (diverges to infinity ) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ sn > M สำหรับ n  k ลำดับ ลู่ออกสู่  อาจเขียนแทนด้วย =  (หรือ sn  เมื่อ n  )

ตัวอย่าง 2 กำหนด = ให้ M > 0 โดยสมบัติอาร์คีมิเดียน สามารถหาจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M ทำให้ n > M , n  k นั่นคือ =  

บทนิยาม 3.2.6 ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริง จะเรียกลำดับ ลู่ออกไปยังค่าลบอนันต์ (diverges to minus infinity –) เมื่อ n เข้าสู่  ก็ต่อเมื่อ สำหรับ จำนวนจริงบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn < –M สำหรับ n  k ลู่ออกสู่ – อาจเขียนแทนด้วย = – (หรือsn – เมื่อ n  )

ตัวอย่าง 3 กำหนด = ให้ M > 0 จากสมบัติอาร์คีมิเดียน สามารถหา จำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M ดังนั้น –n  –k < –M , n  k นั้นคือ = – 

บทนิยาม 3.2.7 ถ้า เป็นลำดับของจำนวนจริง ลำดับ เป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ใช่ลำดับลู่ออกสู่ค่า อนันต์ หรือ ค่าลบอนันต์ จะเรียก ว่าเป็น ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)

ตัวอย่าง 4 (1) = –1, 1,–1, 1,–1, … เป็นลำดับแกว่งกวัด เพราะเป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ลู่เข้าสู่อนันต์ หรือลบอนันต์   (2) ลำดับ 1, 2, 1, 4, 1, 6, … เป็นลำดับแกว่งกวัด เพราะเป็นลำดับลู่ออก แต่ไม่ลู่เขาสู่อนันต์ หรือลบอนันต์ 

ลำดับที่มีขอบเขต บทนิยาม 3.2.8 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง บทนิยาม 3.2.8 ให้ เป็นลำดับจำนวนจริง (1) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน (2) ลำดับ มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตล่าง (3) ลำดับ มี ขอบเขต ถ้ามีจำนวนจริงบวก M ซึ่งทำให้ | sn|  M, n

หรือ ลำดับ มีขอบเขต เมื่อเรนจ์ของลำดับ มีขอบเขตบน และขอบเขตล่าง

ทฤษฎีบท 3.2.9 ถ้า เป็นลำดับที่ลู่เข้า แล้ว เป็นลำดับที่มีขอบเขต การพิสูจน์ เนื่องจาก เป็นลำดับลู่เข้า ให้ = L ถ้าให้  = 1 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ | sn – L | < 1 , n  k | | sn| – | L | |  | sn – L | < 1 , n  k | sn | < | L | + 1 , n  k

ให้ M = max { | s1 |, | s2 |, | s3 |, …, | sk–1 | } ทำให้ | sn | < M + | L | + 1 , n\ นั้นคือ เป็นลำดับที่มีขอบเขต 

บทกลับของทฤษฎีบท 3.2.9 ไม่จริง เพราะลำดับที่มีขอบเขต ไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับลู่เข้า เช่น 1, –1, 1, –1, ..., (–1)n+1, ...