ทฤษฎีบทลิมิต (Limit Theorem)

ทฤษฎีบทลิมิตจะช่วยในการคำนวณค่าลิมิตของฟังก์ชันได้เร็วขึ้น ทฤษฎีบทลิมิตของฟังก์ชันมีผลลัพธ์คล้ายกับทฤษฎีบทลิมิตของลำดับ ที่กล่าวมาในบทที่ 3 ในการพิสูจน์สามารถทำได้โดยใช้นิยามลิมิต ทฤษฎีบท 4.1.2 หรือ ผลที่ได้จากหัวข้อ 3.4

ทฤษฎีบท 4.2.1 ให้ f, g : D มี x0 เป็นจุดลิมิตของ D, f และ g มีลิมิตที่ x0 แล้ว ( f+g )(x) = f(x) + g(x) (2) fg มีลิมิตที่ x0 และ ( fg )(x) = [ f(x) ][ g(x) ] (3) ถ้า g(x)  0 สำหรับ xD และ มีลิมิตที่ x0 และ ( ) = g(x)  0 แล้ว

การพิสูจน์ เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0 ให้ เป็นลำดับใดๆที่ลู่เข้าสู่ x0 โดยที่ xn x0 ทุกๆ n โดยทฤษฎีบท 4.1.2 ทำให้ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ f(x) และ โดยทฤษฎีบท 3.4.1 เป็นลำดับลู่เข้า และ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ g(x) ( f+g )(x) = f(x) + g(x) = f(x) + g(x)

นั่นคือ ฟังก์ชัน f + g มีลิมิตที่ x0 และ ( f+g )(x) = f(x) + g(x) ต่อไปจะแสดงว่า fg มีลิมิตที่ x0 และ มีลิมิตที่ x0 โดยใช้นิยาม 4.1.1 กำหนดให้ f(x) = A, g(x) = B (2) ให้  > 0 จะหา  > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0| <  ทำให้ | ( fg )(x) – AB | <  f มีลิมิตที่ x0 โดยทฤษฎีบท 4.1.4 จะมี M > 0 และ 1 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 1 , xD แล้ว | f(x) |  M

ให้  = ดังนั้น  > 0 จะมี 2 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2, xD ทำให้ | f(x) – A | <  g ต่อเนื่องที่ x0 จะมี 3 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3, xD ทำให้ | g(x) – B | <  เลือก  = min {1, 2, 3}

ถ้า 0 < | x – x0| <  แล้วทำให้ | ( fg )(x) – AB | = | f(x)g(x) – AB + f(x)B – f(x)B |  | f(x)g(x) – f(x)B | + | f(x)B – AB | = | f(x) || g(x) – B | + | B || f(x) – A | < M + | B | = ( M + | B | )  ดังนั้น | ( fg )(x) – AB | <  ฟังก์ชัน fg มีลิมิตที่ x0 และ ( fg )(x) = [ f(x) ][ g(x) ]

(3) ให้  > 0 , B  0 และ g(x)  0, xD จะหา  > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0| <  จะทำให้ | ( )(x) – | <  เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0 และ > 0 จะมี 1 > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x0| < 1 ทำให้ | g(x) – B | < | | g(x) | - | B | | < < | g(x) | < 3

กรณีที่ A  0 ให้  = | g(x) – B | <  จะมี 2 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2 , xD ทำให้ จะมี 3 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3 , xD ทำให้ | f(x) – A | <  ให้  =

เลือก  = min {1, 2, 3} ที่ ถ้า 0 < | x – x0| <  แล้วทำให้  + = + < + = 

ดังนั้น | ( )(x) – | <  กรณีที่ A = 0 จะมี 0 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < 0 ทำให้ | f(x) | < เลือก  = min {1, 0} ถ้า 0 < | x – x0 | <  แล้ว = <  ฟังก์ชัน มีลิมิตที่ x0 และ ( )(x) = เมื่อ g(x)  0 และ g(x)  0 , xD 

ทฤษฎีบท 4.2.3 ให้ f : D และ g : D x0 เป็นจุดลิมิตของ D f, g มีลิมิตที่ x0 ถ้า f(x)  g(x) ทุกๆ xD แล้ว f(x) g(x)  การพิสูจน์ เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0 สำหรับ ลู่เข้าสู่ ใดๆที่ลู่เข้าสู่ x0 ทำให้ลำดับ f(x) และลำดับ ลู่เข้าสู่ g(x)

แต่ f(x)  g(x) ทุกๆ xD ทำให้ f(xn)  g(xn) ทุกๆ n นั่นคือ 

ทฤษฎีบท 4.2.4 ให้ f : D และ g : D , x0 เป็นจุดลิมิตของ D ถ้า f มีขอบเขตบนเซต Q ซึ่งเป็นย่านของจุด x0 และ g มีลิมิตเท่ากับ 0 ที่จุด x0 แล้ว fg มีลิมิตที่ x0 และ (fg)(x) = 0 การพิสูจน์ ให้  > 0 จะหา  > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0 | <  แล้ว | (fg)(x) | < 

เนื่องจาก f มีขอบเขตบน Q ซึ่งเป็นย่านจุด x0 ดังนั้นจะมี 1 > 0 และ M > 0 ที่ | x – x0 | < 1, xD ทำให้ | f(x) |  M เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0 > 0 จะมี 2 > 0 ที่ 0 < | x – x0 | < 2 ทำให้ | g(x) – 0 | < | g(x) | <  เลือก  = min {1, 2} ให้  =

ถ้า 0 < | x – x0 | <  และ xD ทำให้ | (fg)(x) | = | f(x)g(x) | = | f(x) || g(x) | < M =  นั่นคือ fg มีลิมิตที่ x0 และ (fg)(x) = 0 