สื่อประกอบการเรียนการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์ 1 ค 31101 เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้นและการให้เหตุผล โดย นางสาวโสภาพรรณ เวชากุล ครูชำนาญการ โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา

1. บทนิยาม ประพจน์ ( Propositions หรือ Statements ) คือ ประโยคที่มีค่าความจริงเป็นจริง หรือค่าความจริงเป็น เท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ Exit

ไม่ใช่จำนวนเต็ม ( จริง ) ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์ จังหวัดกาญจนบุรีอยู่ทางทิศตะวันออกของประเทศไทย ( เท็จ ) 5  2 = 2 + 5 ( เท็จ )  เป็นจำนวนอตรรกยะ ( จริง ) ไม่ใช่จำนวนเต็ม ( จริง ) สำหรับจำนวนเต็ม x บางตัว x > 1 ( จริง ) ประโยคต่อไปนี้ไม่ใช่ประพจน์ โธ่คุณ ( อุทาน ) กรุณาเปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้องหรืออ้อนวอน ) เขาเรียนวิชาตรรกศาสตร์เพื่ออะไร ( คำถาม ) อย่าเดินลัดสนาม ( คำสั่ง ) x > 2 (ประโยคที่มีตัวแปร ) Exit

2. บทนิยาม ตัวแปร ( Variable ) คือสัญลักษณ์ซึ่งใช้แทนสมาชิกต่าง ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ พิจารณา ประโยค เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ เราไม่สามารถที่จะบอกว่าประโยคนี้มีค่าความจริงเป็นจริงหรือมีค่าความจริงเป็นเท็จ ถ้าเขาแทนด้วย “ สุนทรภู่ ” ประโยคนี้จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ แต่ถ้าแทนเขาด้วย “ ยูคลิด ” ประโยคนี้จะมีค่าความจริงเป็นจริง และในทำนองเดียวกัน ประโยค x + 1 = 0 ถ้าแทน x ด้วย 1 ประโยคนี้จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ แต่ถ้าแทน x ด้วย –1 ประโยคนี้จะมีค่าความจริงเป็นจริง Exit

3. การเชื่อมประพจน์ ในชีวิตประจำวันเราจะพบประโยค ซึ่งเปลี่ยนแปลงจากประโยคเติมด้วย คำว่า “ ไม่ ” หรือเชื่อมกับประโยคอื่นด้วยคำว่า “ และ ” , “ หรือ ” , “ ถ้า ... แล้ว ” , “ ก็ต่อเมื่อ ” เรียกคำเหล่านี้ว่า ตัวเชื่อม ( Connectives ) ถ้าให้ p แทน “ 2 น้อยกว่า 4 ” และ q แทน “ 2 เป็นจำนวนคู่ ” ให้ p แทน “ 2 ไม่น้อยกว่า 4 ” เราสามารถเขียนแทนประโยคได้ดังนี้ p  q แทน “ 2 น้อยกว่า 4 และ 2 เป็นจำนวนคู่ ” p  q แทน “ 2 น้อยกว่า 4 หรือ 2 เป็นจำนวนคู่ ” p  q แทน “ ถ้า 2 น้อยกว่า 4 แล้ว 2 เป็นจำนวนคู่ ” p  q แทน “ 2 น้อยกว่า 4 ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจำนวนคู่ ” Exit

Conjunction ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เรียกประพจน์ “ p และ q ” ว่า Conjunction ของ p และ q เขียนแทนด้วย p  q นักคณิตศาสตร์ให้นิยามค่าความจริงของ p  q โดยตารางแสดงค่าความจริง ( Truth table ) ดังนี้ p q pq T F ตัวอย่าง 5 + 1 = 6 และ 2 น้อยกว่า 3 ( จริง ) 5 + 1 = 6 และ 2 มากกว่า 3 ( เท็จ ) 5 + 1 = 4 และ 2 น้อยกว่า 3 ( เท็จ ) 5 + 1 = 4 และ 2 มากกว่า 3 ( เท็จ ) Exit

Disjunction ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เรียกประพจน์ “ p  q ” ว่า Disjunction ของ p และ q เขียนแทนด้วย p  q นักคณิตศาสตร์ให้นิยามค่าความจริงของ p  q โดยตารางแสดงค่าความจริง ( Truth table ) ดังนี้ p q pq T F ตัวอย่าง 3 + 4 = 7 หรือ 2 น้อยกว่า 3 ( จริง ) 3 + 4 = 7 หรือ 2 มากกว่า 3 ( จริง ) 3 + 4 = 5 หรือ 2 น้อยกว่า 3 ( จริง ) 3 + 4 = 5 หรือ 2 มากกว่า 3 ( เท็จ ) Exit

Conditional ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เรียกประพจน์ “ ถ้า p แล้ว q ” ว่า Conditional เขียนแทนด้วย p  q นักคณิตศาสตร์ให้นิยามค่าความจริงของ p  q โดยตารางแสดงค่าความจริง ( Truth table ) ดังนี้ p q p  q T F ตัวอย่าง 1 < 2  2 < 3 ( จริง ) 1 < 2  3 < 2 ( เท็จ ) 2 < 1  2 < 3 ( จริง ) 2 < 1  3 < 2 ( จริง ) Exit

p q p q q p (p q)  ( q p) p  q T F Biconditional p และ q เป็นประพจน์ เรียกประพจน์ “ p ก็ต่อเมื่อ q ” ว่า Biconditional เขียนแทนด้วย p  q ประโยคนี้มีความหมายเช่นเดียวกับ ประพจน์ ( p  q )  ( q  p ) โดยตารางแสดงค่าความจริง ( Truth table ) ดังนี้ p q p q q p (p q)  ( q p) p  q T F Exit

การหาค่าความจริงของประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่าง ๆ ที่กล่าวมาแล้วมีไว้เพื่อให้ช่วยในการหาว่าประพจน์ใดเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เช่น ตัวอย่าง กำหนดให้ A , B และ C เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง , จริง และเท็จ ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของ ( A  B )  C วิธีทำ จาก A เป็นจริง B เป็นจริง จะได้ A  B เป็นจริง จาก A  B เป็นจริง C เป็นเท็จ จะได้ ( A  B )  C เป็นจริง Exit

วิธีทำ [ ( p  q )  r ]  ( p  s ) ตัวอย่าง กำหนดให้ p เป็นจริง q เป็นเท็จ r เป็นเท็จ และ s เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ [ ( p  q )  r ]  ( p  s ) วิธีทำ [ ( p  q )  r ]  ( p  s ) T F F T T F F T T ดังนั้นประพจน์ [ ( p  q )  r ]  ( p  s ) มีค่าความจริงเป็นจริง Exit

4. นิเสธ ถ้า p เป็นประพจน์ นิเสธ ( Negation หรือ Denial ) ของประพจน์ p คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับ p เขียนแทนนิเสธของ p ด้วย p นักคณิตศาสตร์ให้นิยามค่าความจริงของ p โดยตารางแสดงค่าความจริง ( Truth table ) ดังนี้ p p T F ตัวอย่าง 2 น้อยกว่า 5 นิเสธคือ 2 ไม่น้อยกว่า 5 ขวัญเนตรเป็นนักดนตรี นิเสธคือ ขวัญเนตรไม่เป็นนักดนตรี กาญจนา อ้วน นิเสธคือ กาญจนาไม่อ้วน Exit

จะเห็นว่า p  q กับ p  q มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี 5. การสมมูลกันของประพจน์ ( Equivalent Statements ) ประพจน์สองรูปแบบใด มีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี แล้วประพจน์ทั้งสองสมมูลกัน จะสามารถนำมาใช้แทนกันได้ ตัวอย่าง จงแสดงว่า p  q สมมูลกับ p  q p q p  q p p  q T F จะเห็นว่า p  q กับ p  q มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี Exit

ประพจน์สมมูลที่ควรทราบ (p) สมมูล p p  q สมมูล q  p p  q สมมูล q  p ( p  q ) สมมูล p  q ( p  q ) สมมูล p  q p  q สมมูล q  p p  q สมมูล p  q ( p  q ) สมมูล p  q p  q สมมูล ( p  q )  ( q  p ) ( p  q )  r สมมูล p  ( q  r ) สมมูล p  q  r ( p  q )  r สมมูล p  ( q  r ) สมมูล p  q  r p  ( q  r ) สมมูล ( p  q )  ( p  r ) p  ( q  r ) สมมูล ( p  q )  ( p  r ) Exit

6. สัจนิรันดร์ ( Tautology ) นักคณิตศาสตร์ยอมรับประพจน์จำนวนมากว่าเป็นจริง ก่อนที่ท่านจะพิสูจน์ทฤษฎีใด ๆ ในระบบคณิตศาสตร์ เราเรียกประพจน์เหล่านี้ว่า “ กฎการให้เหตุผล ” บทนิยาม สัจนิรันดร์ ( Tautology ) คือรูปของประพจน์ซึ่งมีค่าความจริง เป็นจริง ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็นเช่นไร Exit

วิธีที่ 1 สร้างตารางแสดงค่าความจริง ตัวอย่าง p  ( p  q ) เป็นสัจนิรันดร์ เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี ดังนี้ วิธีที่ 1 สร้างตารางแสดงค่าความจริง p q P  q p  ( p  q ) T F จากตาราง p  ( p  q ) เป็นจริงเสมอ ดังนั้นเป็นสัจนิรันดร์ Exit

p  q ต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จ วิธีที่ 2 พิจารณาประพจน์ p  ( p  q ) ถ้าประโยคนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ p  q ต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือ p และ q ต่างก็มีค่าความจริงเป็นเท็จ แต่เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประพจน์ p  ( p  q ) จะมีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น ประโยคนี้ไม่มีโอกาสมีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือ เป็นสัจนิรันดร์ Exit

7. ตัวบ่งปริมาณ ( Quantifier ) ในวิชาคณิตศาสตร์เราพบข้อความ “ สำหรับสมาชิกทุกตัว ” บ่อยครั้ง เช่น สำหรับ x ทุกตัว x + 0 = x โดยเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริงทุกตัว เราใช้สัญลักษณ์  แทน “ สำหรับสมาชิกทุกตัว ” เช่น สำหรับ x ทุกตัว P(x) แทนด้วย x [P(x)] เรียก  ว่า Universal Quantifier Exit

ตัวอย่าง สำหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนจริง ตัวอย่าง สำหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนจริง แทนด้วย x [ x  xR ] sin2x + cos2x = 1 แทนด้วย x [ sin2 x + cos2 x = 1 ] ในทำนองเดียวกับ Universal Quantifier เราใช้สัญลักษณ์  แทน “ สำหรับสมาชิกบางตัว ” เขียนแทนประโยค สำหรับสมาชิก x บางตัว P(x) แทนด้วย x [P(x)] ตัวอย่าง สำหรับ x บางตัว x เป็นจำนวนเต็ม แทนด้วย x [ x ] สำหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัว ซึ่ง x < y แทนด้วย x y [ x < y ] Exit

8. ประโยคเปิด ( Open Sentence ) บทนิยาม ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธซึ่งมีตัวแปรไม่ใช่ประพจน์ แต่สามารถทำให้เป็นประพจน์ได้ โดยการแทนตัวแปรนั้นด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ หรือเติมตัวบ่งปริมาณไว้หน้าประโยคนั้น ตัวอย่าง x + 0 = 5 เป็นประโยคเปิด x ไปไหน ไม่ใช่ประโยคเปิด และ ไม่ใช่ประพจน์ 2 + 3 = 2  3 ไม่ใช่ประโยคเปิด แต่เป็นประพจน์ กรุณาเปิดหน้าต่างด้วย ไม่ใช่ประโยคเปิด และ ไม่ใช่ประพจน์ x [ x > 3 ] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ เท่ากับ { 1 , 2 , 3 } ไม่ใช่ประโยคเปิด แต่เป็นประพจน์ Exit

9. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวหรือตัวบ่งปริมาณสองตัว 9. ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวหรือตัวบ่งปริมาณสองตัว การที่จะบอกว่า ประโยคที่มีวลีบอกปริมาณจะเป็นจริงหรือเท็จ เราต้องคำนึงถึงเอกภพสัมพัทธ์ เช่น ประโยค x [ x2 = 1 ] เป็นเท็จ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนเต็มทั้งหมด เป็นจริง ถ้าเอกภพสัมพัทธ์ คือ { –1 , 1 } ตัวอย่าง ประโยค x y [ xy = yx ] เป็นจริง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เท่ากับ { 1 , 2 , 3 } 11 = 11 เป็นจริง 12 = 21 เป็นจริง 13 = 31 เป็นจริง 22 = 22 เป็นจริง 23 = 32 เป็นจริง 33 = 33 เป็นจริง Exit

ตัวอย่าง ประโยค x y [ x + 5 = y + 2 ] เป็นเท็จ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เท่ากับ { 0 , 1 } 0 + 5 = 0 + 2 เป็นเท็จ 0 + 5 = 1 + 2 เป็นเท็จ 1 + 5 = 0 + 2 เป็นเท็จ 1 + 5 = 1 + 2 เป็นเท็จ Exit

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ดังนี้ ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ประโยค x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด Exit

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว ประโยค xy [P(xy)] มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และทำให้ P(a,b) เป็นจริงเสมอ ประโยค xy [P(xy)] มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และทำให้ P(a,b) เป็นเท็จ ประโยค xy [P(xy)] มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และทำให้ P(a,b) เป็นจริง ประโยค xy [P(xy)] มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ และทำให้ P(a,b) เป็นเท็จ Exit

10. นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 10. นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ อาจกล่าวได้ว่า มีลักษณะเหมือนกับการหานิเสธของประพจน์ ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว เราสามารถพิสูจน์ว่าความจริงของทั้ง 2 ข้างเหมือนกัน ซึ่งทำให้ 1. x [P(x)]  x [P(x)] เป็นสัจนิรันดร์ 2. x [P(x)]  x [P(x)] เป็นสัจนิรันดร์ 3. x [P(x)]  x [P(x)] เป็นสัจนิรันดร์ 4. x [P(x)]  x [P(x)] เป็นสัจนิรันดร์ Exit

ตัวอย่าง นิเสธของประโยค xyz [ xz = y ] คือ xyz [ xz ≠ y ] ตัวอย่าง นิเสธของประโยค xy [ y < x  P(x) ] คือxy [ y < x  P(x) ] วิธีทำ [xy [ y < x  P(x)]]  xy [ y < x  P(x)]  xy [ y < x  P(x)]  xy [ y < x  P(x)] Exit

11. สมมูลของประโยคเปิดและประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 11. สมมูลของประโยคเปิดและประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ การที่จะพิจารณาว่า ประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสมมูลกับประโยคใด อาจมองประโยคเหล่านั้นให้เหมือนกับประพจน์ เช่น อาจมอง x [P(x)] กับ x [Q(x)] เหมือนกับประพจน์ p , q เช่น x [P(x)]  x [Q(x)] สมมูลกับ x [Q(x)]  x [P(x)] สมมูลกับ x [Q(x)]  x [P(x)] [ P(x)  Q(x) ] สมมูลกับ P(x)  Q(x) x [ P(x)  Q(x) ] สมมูลกับ x [P(x) Q(x)] Exit

12. สัจนิรันดร์ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 12. สัจนิรันดร์ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณจะเป็นสัจนิรันดร์ เมื่ออยู่ในรูปสัจนิรันดร์ของประพจน์ เช่น [xP(x)  R ]  [xP(x)  R ] เป็นสัจนิรันดร์เพราะอยู่ในรูป (A B)  (A B) เป็นสัจนิรันดร์ สัจนิรันดร์ที่สำคัญมีดังต่อไปนี้ 1. xP(x)  P(a) เมื่อ a เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ 2. P(a)  xP(x) เมื่อ a เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ 3. xP(x)  xP(x) 4. x [ P(x) Q(x) ]  xP(x) x Q(x) 5. x [ P(x) Q(x) ]  xP(x) xQ(x) 6. xP(x) xQ(x)  x [ P(x)Q(x) ] 7. xP(x) xQ(x)  x [ P(x) Q(x) ] 8. x [ P(x)  Q(x) ]  [x P(x)  x Q(x) ] 9. x [ P(x)  A ]  [ x P(x)  A ] Exit

ตัวอย่าง ประพจน์ x(P(x))  P(t) เมื่อ t เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์เป็น tautology วิธีทำ 1. ถ้า x (P(x)) เป็นจริง เซตคำตอบของ P(x) คือเอกภพสัมพัทธ์ เนื่องจาก t เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนั้น P(t) เป็นจริง 2. ถ้า x(P(x)) เป็นเท็จ ประโยค x(P(x))  P(t) เป็นจริง ดังนั้น x(P(x))  P(t) เป็น tautology Exit

ตัวอย่าง [ x(P(x))  x(Q(x)) ]  x[ P(x)  Q(x) ] ไม่เป็น tautology วิธีทำ ให้เอกภพสัมพัทธ์เท่ากับ { 1 , 2 , 4 } P(x) หมายถึง x เป็นจำนวนเฉพาะ Q(x) หมายถึง x เป็นจำนวนคี่ เนื่องจาก P(2) เป็นจริง ดังนั้น x(P(x)) เป็นจริง เนื่องจาก Q(1) เป็นจริง ดังนั้น x(Q(x)) เป็นจริง เพราะฉะนั้น x(P(x))  x(Q(x)) เป็นจริง แต่ P(1)  Q(1) เป็นเท็จ P(2)  Q(2) เป็นเท็จ และ P(4)  Q(4) เป็นเท็จ ดังนั้น x[ P(x)  Q(x) ] เป็นเท็จ สรุป ประพจน์ [ x(P(x))  x(Q(x)) ]  x[ P(x)  Q(x) ] ไม่เป็น tautology Exit

13. การให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล 13. การให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล การให้เหตุผล (Argument ) คือการอ้างจากประโยค S1 , S2 , S3 , … , Sn เราสามารถสรุปประโยค Q การให้เหตุผลอาจสมเหตุสมผล ( Valid ) หรือไม่สมเหตุสมผล ( Invalid ) ต่อไปนี้เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล รูปแบบ 1 เหตุ 1. P Q 2. P ผล Q เขียนเป็น Statement Patten [( P Q)  P]  Q รูปแบบ 2 เหตุ 1. P Q 2. Q ผล P รูปแบบ 3 เหตุ 1. P Q 2. Q R ผล P R Exit

รูปแบบ 4 เหตุ PQ ผล Q  P หรือ ผล P  Q รูปแบบ 5 เหตุ 1. P  Q รูปแบบ 6 เหตุ 1. P R 2. Q S 3. P  Q ผล R  S รูปแบบ 7 เหตุ P  Q ผล P หรือ ผล Q รูปแบบ 8 เหตุ P ผล P  Q Exit

ตัวอย่าง จงพิจารณา การอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ ตัวอย่าง จงพิจารณา การอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p  q 2. q  s 3. t  s ผล t วิธีทำ 1. p  q เหตุ 1 2. q จาก 1 3. q  s เหตุ 2 4. s จาก 2 และ 3 5. t  s เหตุ 3 6. s  t สมมูล 5 7. t จาก 4 และ 6 สมเหตุสมผล ( valid ) Exit

ตัวอย่าง จงพิจารณา การอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ ตัวอย่าง จงพิจารณา การอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p  q 2. p  r 3. s  r 4. q ผล s วิธีทำ 1. p  q เหตุ 1 2. q  p สมมูล 1 3. q เหตุ 4 4. p จาก 2 และ 3 5. p  r เหตุ 2 6. r จาก 4 และ 5 7. s  r เหตุ 3 8. r  s สมมูล 7 9. s จาก 6 และ 8 สมเหตุสมผล ( valid ) Exit

14. การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 14. การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี ได้แก่ การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ และนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎหรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป * การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ 1. ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ 2. การสรุปผลสมเหตุสมผล (Valid) การตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่นั้น วิธีหนึ่งคือการวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณี แสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่ ถ้าแผนภาพที่วาด กรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด จึงกล่าวได้ว่าการสรุปผล สมเหตุสมผล (Valid) แต่ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปนั้น ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) Exit

การใช้ Venn Diagram ช่วยในการให้เหตุผล พิจารณาการให้เหตุผลข้างล่างนี้ สิ่งที่กำหนดให้ 1. คนเกิดมาแล้วต้องตาย 2. นาย ก. เป็นคน สรุป นาย ก. ต้องตาย ถ้าเราให้ a แทน นาย ก. A แทน เซตของคน B แทน เซตของสิ่งที่ต้องตาย จะได้ สิ่งที่กำหนดให้ 1. A  B 2. a  A สรุป a  B ถ้าใช้ Venn Diagram จะได้ BAa B A a ดังนั้น การสรุปผลนี้สมเหตุสมผล Exit

ตัวอย่าง 1 สิ่งที่กำหนดให้ 1. คนเป็นสิ่งมีชีวิต สิ่งที่กำหนดให้ 1. คนเป็นสิ่งมีชีวิต 2. สิ่งมีชีวิตย่อมเจริญเติบโต สรุป คนย่อมเจริญเติบโต วิธีทำ ถ้าเราให้ A แทน เซตของคน B แทน เซตของสิ่งมีชีวิต C แทน เซตของสิ่งที่เจริญเติบโต จะได้ สิ่งที่กำหนดให้ 1. A  B 2. B  C สรุป A  C ถ้าใช้ Venn Diagram จะได้ A B C ดังนั้น การสรุปผลนี้สมเหตุสมผล Exit

ตัวอย่าง 2 สิ่งที่กำหนดให้ 1. ชาวจันทบุรีเป็นคนไทย สิ่งที่กำหนดให้ 1. ชาวจันทบุรีเป็นคนไทย 2. คนภาคตะวันออกเป็นคนไทย สรุป ชาวจันทบุรีเป็นคนภาคตะวันออก วิธีทำ ถ้าเราให้ A แทน เซตของชาวจันทบุรี B แทน เซตของคนไทย C แทน เซตของคนภาคตะวันออก จะได้ สิ่งที่กำหนดให้ 1. A  B 2. C  B สรุป A  C ข้อสรุปนี้ไม่สมเหตุสมผล เพราะจากสิ่งที่กำหนดให้ เราอาจจะได้ Venn Diagram กรณีต่าง ๆ ดังนี้ B A C กรณีที่ 1 กรณีที่ 2 B C A กรณีที่ 3 B A C กรณีที่ 1 และ กรณีที่ 3 ค้านกับผลสรุป Exit

ตัวอย่าง 3 สิ่งที่กำหนดให้ 1. นักเรียนบางคนขยัน สิ่งที่กำหนดให้ 1. นักเรียนบางคนขยัน 2. คนขยันจะก้าวหน้าในอนาคต สรุป นักเรียนบางคนจะก้าวหน้าในอนาคต วิธีทำ ถ้าเราให้ A แทน เซตของนักเรียน B แทน เซตของคนขยัน C แทน เซตของคนก้าวหน้าในอนาคต จะได้ สิ่งที่กำหนดให้ 1. A  B ≠  2. B  C สรุป A  C ≠  ถ้าใช้ Venn Diagram จะได้ A B C ดังนั้น การสรุปผลนี้สมเหตุสมผล Exit