การวิเคราะห์สถานะคงตัวของ วงจรที่ใช้คลื่นรูปไซน์ Piyadanai Pachanapan

การวิเคราะห์สถานะคงตัวของวงจรที่ใช้คลื่นรูปไซน์ การวิเคราะห์วงจรข่าย ที่ถูกกระตุ้นด้วยสัญญาณไซนูซอยด์ (Sinusoid Signal) ผลตอบสนองที่เกิดขึ้นในวงจรข่าย จะเป็นฟังก์ชันไซนูซอยด์ (Sinusoid Function) สัญญาณไซนูซอยด์ สามารถแทนด้วยฟังก์ชันกระตุ้นเชิงซ้อน (The Complex Forcing Function) และรูปแบบเฟสเซอร์ (Phasor)

สัญญาณไซนูซอยด์ (Sinusoid Signal) โดยที่

วงจรไฟฟ้าที่ถูกกระตุ้นด้วยสัญญาณไซนูซอยด์ วงจรข่ายที่ถูกกระตุ้นด้วยฟังก์ชันไซนูซอยด์ จะให้ผลตอบสนองเป็นฟังก์ชันไซนูซอยด์เช่นเดียวกับสัญญาณกระตุ้น (input) ฟังก์ชันกระตุ้น ฟังก์ชันตอบสนองในสถานะคงตัว

เมื่อเลื่อนเฟส หรือ เลื่อนเวลาอ้างอิงของฟังก์ชันกระตุ้นไป 90o จะได้ ฟังก์ชันกระตุ้นเปลี่ยนเป็น ผลตอบสนองของวงจร คือ

เมื่อฟังก์ชันกระตุ้นเป็นฟังก์ชันจินตภาพ จะทำให้ผลตอบสนองเป็นฟังก์ชันจินตภาพ เช่นกัน (ไม่สามารถทำได้ในทางปฏิบัติ) ฟังก์ชันกระตุ้น ฟังก์ชันตอบสนองในสถานะคงตัว

เมื่อหาผลตอบสนองของสัญญาณกระตุ้นแต่ละครั้ง แล้วนำมารวมกันโดยหลักการซุปเปอร์โพซิชัน จะได้ สัญญาณตอบสนอง

จากกฎของออยเลอร์ สัญญาณกระตุ้น (complex function) สัญญาณตอบสนอง (complex function) แสดงดังรูป

Example # 1 จากวงจร RL อนุกรม มีสัญญาณกระตุ้นเป็น จงหา สัญญาณตอบสนอง

จาก จะได้ ผลตอบสนอง (กระแส)  ขนาด Im มุมต่างเฟส จะได้ KVL :

แทนค่า v(t) และ i(t) จะได้ : เอา หารตลอด

เขียน ในรูปพิกัดขั้ว (polar form) จะได้ผลตอบสนองเป็น เขียนในรูปเอกซ์โพเนนเชียลได้เป็น

จาก แทนค่า Im และ จะได้

Example # 2 จากวงจรในรูป จงหากระแสของวงจร RL ขนาน เมื่อป้อนอินพุตเป็นสัญญาณ แรงดัน สมมติกระแส

KCL : เขียนสมการอนุพันธ์เป็น

เอา หารตลอด จะได้ และ จากการสมมติกระแส จะได้

เฟสเซอร์ (Phasor) ในการวิเคราะห์วงจรเชิงเส้นในสถานะคงตัวของสัญญาณไซนูซอยด์ ทุกๆ สัญญาณในวงจรจะมีความถี่ค่าเดียว คือ การเขียนฟังก์ชันไซนูซอยด์ในโดเมนความถี่ โดยใช้ตัวแปร 2 ตัวก็พอ คือ ขนาด มุมเฟส จาก เฟสเซอร์

เฟสเซอร์ของฟังก์ชันไซนูซอยด์บริสุทธิ์ (Pure Sinusoid) พบว่า i(t) เป็นส่วนจริงของ จะได้ แต่การเขียนเฟสเซอร์จะ  ละไม่เขียน Re ตัดตัวประกอบ ออก จะได้

การแปลงเฟสเซอร์ (Phasor Transform) 1. แปลงจากโดเมนเวลา  โดเมนความถี่ 1.1 เขียนสัญญาณในโดเมนเวลา ให้เป็นฟังก์ชันโคไซน์ (Cosine) ที่มีมุมเฟส 1.2 ใช้กฎออยเลอย์ แปลงฟังก์ชัน cosin  จำนวนจริงของปริมาณเชิงซ้อน 1.3 เอา Re ออก 1.4 เอาค่า หารตลอด

Example # 3 สัญญาณกระแสมีค่าเป็น จงเขียนในรูปเฟสเซอร์ (โดเมนความถี่) สัญญาณกระแสมีค่าเป็น จงเขียนในรูปเฟสเซอร์ (โดเมนความถี่) จาก ดังนั้น เขียนในรูปเฟสเซอร์ (โดเมนความถี่) เป็น

2. แปลงจากโดเมนความถี่  โดเมนเวลา 2.1 เขียนเฟสเซอร์ให้อยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล 2.2 คูณเฟสเซอร์ด้วยตัวประกอบ 2.3 เขียน Re เพื่อระบุว่าเป็นส่วนจำนวนจริง 2.4 เขียนฟังก์ชันในโดเมนเวลาโดยใช้กฎของออยเลอร์

Example # 4 เฟสเซอร์แรงดัน จงเขียนให้อยู่ในโดเมนเวลา ขั้นตอน 1 เขียนให้อยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียล ขั้นตอน 2 คูณเฟสเซอร์ด้วย จะได้ ขั้นตอน 3 เขียน Re ระบุว่าเป็นส่วนจริงของโดเมนเวลา

ความสัมพันธ์ระหว่างเฟสเซอร์กับความต้านทาน แรงดัน คือ กระแส เป็น จาก จะได้ เอา หารตลอด จะได้

ความสัมพันธ์ระหว่างเฟสเซอร์กับตัวเหนี่ยวนำ จาก จะได้ เอา หารตลอด จะได้ เหมือนกับว่า

ความสัมพันธ์ระหว่างเฟสเซอร์กับตัวเก็บประจุ จาก จะได้ เอา หารตลอด จะได้ เหมือนกับว่า

ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ จะได้

ตารางความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนเวลา และโดเมนความถี่ของ R, L และ C

การประยุกต์ใช้เฟสเซอร์กับวงจรที่มีสัญญาณไซนูซอยด์ในสถานะคงตัว จากวงจรในรูป ถ้า จงหา

A หา KCL node A : หา จาก

หาค่า ได้เป็น A

B หา KCL node B : จาก จะได้

หา KVL :

การประยุกต์ใช้เฟสเซอร์กับวงจรที่มีสัญญาณไซนูซอยด์ในสถานะคงตัว # 2 จากวงจรในรูป จงหากระแส แปลงเป็นจำนวนเฟสเซอร์โดย

หา จาก mA ทำเป็นฟังก์ชันไซนูซอยด์ mA หรือ mA