บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 จากสมบัติการคูณเมทริกซ์ ถ้า A เป็น n×n เมทริกซ์ จะได้ว่า AIn = A = In A ดังนั้น In เป็นเอกลักษณ์การคูณในเซตของ n×n เมทริกซ์ กำหนด A และ B เป็น n×n เมทริกซ์ B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A ก็ต่อเมื่อ AB = In = BA เขียนแทนด้วย B = A-1 หรือ A = B-1

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 การหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 กำหนด A= a แล้ว A −1 = 1 a เมทริกซ์มิติ 1×1 จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ a≠0 การหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 2×2 กำหนด A= a b c d แล้ว A −1 = 1 ad−bc d −b −c a สังเกตว่า ad - be = det A ดังนั้น อาจเขียนอินทอร์สของเมทริกซ์ A ได้เป็น

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 การหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 2×2 กำหนด A= a b c d แล้ว A −1 = 1 ad−bc d −b −c a จะเห็นว่าสำหรับเมตริกซ์มิติ 2×2 นั้น A −1 จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ ad - be ≠ 0 ดังนั้น เมทริกซ์ใด ๆ อาจมี หรือไม่มีอินทอร์สก็ได้ เราเรียก เมทริกซ์ที่หาอินเวอร์สการคูณไม่ได้เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐา (singular matrix) เมทริกซ์ที่หาอินเวอร์สการคูณได้ว่าเป็น เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกฐาน (non - singular matric)

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 การหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 2×2 กำหนด A= a b c d แล้ว A −1 = 1 ad−bc d −b −c a จะเห็นว่าสำหรับเมตริกซ์มิติ 2×2 นั้น A −1 จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ ad - be ≠ 0 ดังนั้น เมทริกซ์ใด ๆ อาจมี หรือไม่มีอินทอร์สก็ได้ เราเรียก เมทริกซ์ที่หาอินเวอร์สการคูณไม่ได้เรียกว่า เมทริกซ์เอกฐา (singular matrix) เมทริกซ์ที่หาอินเวอร์สการคูณได้ว่าเป็น เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกฐาน (non - singular matric)

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 13 เมทริกซ์ต่อไปนี้ เมทริกซ์ใดเป็นหรือไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน A= 0 0 0 1 2 3 4 5 6 , B= 3 2 −1 −1 , C= 1 2 2 4 , D= 0 −3 2 4 1 −1

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 14 จงหาค่า x ที่ทำให้เมทริกซ์ต่อไปนี้มีอินเวอร์สการคูณ 1. 1 2 3 0 5 −4 2 8 x 2. x −1 x 1 x 0 0 1 −1

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 14 จงหาค่า x ที่ทำให้เมทริกซ์ต่อไปนี้มีอินเวอร์สการคูณ 3. 0 x 0 x −x −1 −x x x 4. 2 x 1.5 x 1 x 2.5 x 2

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 15 จงหา A-1 1. A = [8] 2. A = [0] 3. 3 −1 2 4 4. 0 2 0 4

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 15 จงหา A-1 5. −2 5 1 − 𝟓 𝟐 6. 3 −1 4 2

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 15 จงหา A-1 7. −4 2 3 −1 8. 4 −2 −9 5

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 สมบัติอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ กำหนด A, B เป็นเมทริกซ์มิติ n×n ที่สามารถหา A -1 และ B -1 ได้ 1. (A-1)-1 = A 2. (AB)-1 = B-1A-1 3. (At)-1 = (A-1)t 4. (An)-1 = (A-1)n 5. (kA)-1 = 1 k A-1 6. det (A-1) = 1 det A

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 สมบัติอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ ข้อสังเกต 1. ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซ์จัตุรัส และ A = B แล้ว 1.1 AC = BC 1.2 CA = CB 1.3 CA ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ BC (คือ CA ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ AC) 2. ถ้าเมทริกซ์ AB = AC แล้ว B และ C ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 สมบัติอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ ข้อสังเกต 3. ถ้า AB = 0 แล้ว ไม่จำเป็นที่เมทริกซ์ A หรือ B จะต้องเป็น 0 เช่น 0 3 0 5 1 9 0 0 = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 −1 −1 1 = 0 0 0 0 สังเกตว่า A หรือ B ต้องเป็นซิงกูลาร์เมทริกซ์อย่างน้อย 1 ชุด

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวิอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 สมบัติอินเวิอร์สการคูณของเมทริกซ์ ข้อสังเกต 4. เราสามารถใช้อินเวิอร์สการคูณของเมทริกซ์มาช่วยในการแก้สมการ เช่น สมการ AX = B A-1AX = A-1B X = A-1B [แต่ A -1 AX  BA -1(เนื่องจาก A-1B  BA -1) ]

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวิอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 16 จงหาเมทริกซ์ X 1. −3 5 1 −2 x = −9 14 3 −6

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวิอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 16 จงหาเมทริกซ์ X 2. 1 −3 −2 5 x = −10 −3 3 4

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวิอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 16 จงหาเมทริกซ์ X 3. 0 −3 2 4 x = 0 −18 10 28

บทที่ 7 : เมทริกซ์ 7. อินเวิอร์สการคูณของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2 ตัวอย่างที่ 16 จงหาเมทริกซ์ X 4. 5 −2 3 0 x = 12 4 6 6