ความถูกต้อง ความเที่ยงตรง และความผิดพลาดของการวัด Accuracy, Precision & Error of Measurement Piyadanai Pachanapan

การวัดและความผิดพลาด ในการวัด โดยปกติจะมีความแตกต่างระหว่างค่าที่วัดได้กับค่าจริงเสมอ ไม่ว่าเครื่องวัดที่ใช้ จะมีความถูกต้องแม่นยำเพียงไร สิ่งสำคัญ  ในการวัดจะต้องทราบถึงสาเหตุของความผิดพลาด และ ลดสาเหตุนั้นให้น้อยที่สุด

ความถูกต้อง (Accuracy) ความใกล้เคียงระหว่างทีวัดได้ กับ ค่าที่แท้จริงของปริมาณไฟฟ้าที่ทำการวัด บางครั้งอาจเรียกว่า ความแม่นยำของการวัด

ความเที่ยงตรง (Precision) ความสามารถในการเกิดซ้ำ (ค่าเดิม) ของการวัดปริมาณทางไฟฟ้า หลายๆครั้ง เครื่องวัดที่มีความเที่ยงตรงสูง เครื่องวัดไฟฟ้าที่เมื่อนำไปวัดปริมาณไฟฟ้าค่าเดียวกัน แล้วทำการวัดซ้ำหลายๆ ครั้ง เครื่องวัดนั้นจะวัดได้ค่าซ้ำหรือใกล้เคียงค่าเดิมทุกครั้ง

ค่าจริง = 5 V มีความเที่ยงตรงสูง แต่ไม่มีความแม่นยำ

ค่าจริง = 5 V มีความแม่นยำสูง และ มีความเที่ยงตรงสูง

ค่าจริง = 5 V ไม่มีความเที่ยงตรง และไม่มีความแม่นยำ

ค่าความเที่ยงตรง (Precision) ค่าวัดได้ใกล้เคียงกันมากน้อยเพียงใดจากการวัดตัวแปรเดียวกันซ้ำหลายๆ ครั้ง โดยที่

ตัวอย่างที่ 1 จากการทดลองวัดค่าแรงดันไฟฟ้าจำนวน 10 ค่า ดังตาราง จงหาค่าความเที่ยงตรงของการวัดครั้งที่ 4 ตามตารางการทดลอง ครั้งที่วัด (V) 1 98 6 103 2 102 7 3 101 8 106 4 97 9 107 5 100 10 99

จาก

ความไว (Sensitivity) ความสามารถในการตอบสนองของเครื่องวัดไฟฟ้าต่อปริมาณไฟฟ้าที่ทำการวัด - เครื่องวัดที่ใช้กระแสไฟฟ้าจำนวนเพียงเล็กน้อย ทำให้เข็มชี้บ่ายเบนเต็มสเกล เรียกว่า มีความไวสูง - เครื่องวัดที่ใช้กระแสไฟฟ้าจำนวนมาก จึงจะทำให้เข็มชี้บ่ายเบนเต็มสเกล เรียกว่า มีความไวต่ำ

ความไว (Sensitivity) ดังนั้น ความไวจึงเป็นส่วนกลับของกระแสไฟฟ้า เมื่อ เบนเต็มสเกล

ความผิดพลาด (Error) การวัดปริมาณไฟฟ้า ค่าที่วัดได้อาจจะไม่ตรงกับค่าที่แท้จริง ผลต่างระหว่างค่าที่วัดได้กับค่าที่แท้จริง เรียกว่า “ค่าความผิดพลาดในการวัด”

ค่าความผิดพลาดในการวัดปริมาณไฟฟ้า (Absolute Error) ค่าที่วัดได้ - ค่าที่แท้จริง เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาด (The percent of error)

ความถูกต้องสัมพัทธ์ (The relative accuracy) เปอร์เซ็นต์ความถูกต้อง (The percent of accuracy)

ตัวอย่างที่ 2 ค่าที่แท้จริงของแรงดันที่คร่อมตัวต้านทานตัวหนึ่ง คือ 50 V แต่เมื่อทำการวัดค่าออกมาจริง ได้ค่า 49 V จงหา The Absolute Error 2. The Percent of Error 3. The Relative Accuracy 4. The Percent of Accuracy

ค่าความผิดพลาดในการวัดปริมาณไฟฟ้า (Absolute Error) เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาด (The percent of error)

ความถูกต้องสัมพัทธ์ (The relative accuracy) เปอร์เซ็นต์ความถูกต้อง (The percent of accuracy)

แสดงค่าความผิดพลาด และ เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาด

ชนิดและลักษณะความผิดพลาด แบ่งออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ ความผิดพลาดจากผู้วัด (Human Error or Gross Error) 2. ความผิดพลาดแบบเป็นระบบ (Systematic Error) 3. ความผิดพลาดแบบแรนดอม (Random Error)

ความผิดพลาดจากผู้วัด (Human Error or Gross Error) ความผิดพลาดจากการอ่านค่าผิด (misreading error) ความผิดพลาดจากการคำนวณ (calculation error) ใช้เครื่องวัดไม่ถูกต้อง / ไม่เหมาะสม การปรับเครื่องไม่ถูกต้อง (Incorrect Adjustment) ปรับระบบไม่ถูกต้อง หรือ ไม่มีการปรับเทียบก่อน

ความผิดพลาดที่เกิดจากการอ่านค่า

2. ความผิดพลาดแบบเป็นระบบ (Systematic Error) ความผิดพลาดจากการสร้าง (Construction error) ความผิดพลาดจากตัวเครื่อง (Equipment error) ความผิดพลาดจากการตั้งค่าศูนย์ (Zero error) ความผิดพลาดจากการปรับเทียบ (Calibration error) ความผิดพลาดจากการประมาณค่า (Approximation error) ความผิดพลาดจากการเสื่อมสภาพ (Ageing error) ความผิดพลาดจากการเสียบหรือการโหลดเครื่องวัด

การเคาะเบาๆที่หน้าปัดเครื่องวัด เพื่อลดความผิดพลาดเนื่องจากความฝืดในเครื่องมือวัด

3. ความผิดพลาดแบบแรนดอม (Random Error) เรียกอีกอย่างว่า ความผิดพลาดตกค้าง (Residual Error) เกิดจากสาเหตุที่อธิบายไม่ได้ ถึงแม้จะพยายามกำจัดความผิดพลาดอื่นๆ เรียบร้อยแล้ว อาศัยวิธีทางสถิติมาวิเคราะห์ค่าที่อ่านได้

สาเหตุความผิดพลาดของเครื่องมือวัด 1. สนามแม่เหล็ก (Electromagnetic) 2. อุณหภูมิบริเวณรอบๆ สูงเกินไป 3. ความร้อนในตัวเครื่องมือวัด 4. เข็มชี้ไม่ชี้ตรงตำแหน่งศูนย์ 5. การเสียดสี หรือ ความฝืด 6. ลักษณะการใช้งานเครื่องมือวัด เช่น การวาง 7. การเสื่อมอายุของอุปกรณ์

สาเหตุความผิดพลาดของเครื่องมือวัด 8. ตัวผู้ทำการวัด การอ่านค่า การใช้งานเครื่องมือ 9. การเปลี่ยนแปลงความถี่และแรงดันไฟฟ้าขณะทำการวัด

การรวมค่าความผิดพลาดการวัด (Measurement Error Combinations) เมื่อวัดค่าปริมาณตั้งแต่ 2 ค่า จะทำให้เกิดค่าความผิดพลาดเนื่องมาจากผลรวมของค่าความผิดพลาดจากการวัด ผลของค่าความผิดพลาดจะมากกว่าการวัดค่าของปริมาณเพียงค่าเดียว

การรวมค่าความผิดพลาดการวัด (Measurement Error Combinations) 1. ค่าความผิดพลาดในผลรวมของปริมาณ 2. ค่าความผิดพลาดในผลต่างของปริมาณ 3. ค่าความผิดพลาดในผลคูณของปริมาณ 4. ค่าความผิดพลาดในผลหารของปริมาณ 5. ค่าความผิดพลาดในปริมาณเพิ่มขึ้นตามค่ายกกำลัง

ค่าความผิดพลาดในผลรวมของปริมาณ (Errors in Sum of Quantities)

2. ค่าความผิดพลาดในผลต่างของปริมาณ (Errors in Difference of Quantities)

ตัวอย่างที่ 3 จงหาเปอร์เซ็นต์ค่าผิดพลาดสูงสุด ของการรวม และ ลบ แรงดันไฟฟ้า 2 ค่า กำหนดให้ แปลงเป็นค่า Absolute Error

ค่าความผิดพลาดในผลรวมของปริมาณ

ค่าความผิดพลาดในผลต่างของปริมาณ

3. ค่าความผิดพลาดในผลคูณของปริมาณ (Errors in Product of Quantities) กำลังไฟฟ้า เทอม มีค่าน้อยมาก  ตัดทิ้ง

จะได้ % Error in P % Error in P = (% Error in I ) + (% Error in E )

4. ค่าความผิดพลาดในผลหารของปริมาณ (Errors in Quotient of Quantities) ทำนองเดียวกับผลคูณ จะได้

5. ค่าความผิดพลาดในปริมาณเพิ่มขึ้นตามค่ายกกำลัง (Errors in Quantity Raised to Power) ปริมาณ A เพิ่มขึ้นตามค่ายกกำลัง B จะได้เปอร์เซ็นต์ค่าผิดพลาดของ AB มีค่าเท่ากับ Ex. กระแส I มีเปอร์เซ็นต์ความผิดพลาด เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาดของ I2 เท่ากับ

การวิเคราะห์ความผิดพลาดแบบแรนดอมโดยวิธีทางสถิติ (Random Error Analysis by Statistic) ในงานที่ต้องการความถูกต้องสูงๆ จะทำการวัดหลายๆครั้ง และพิจารณาการกระจายของค่าที่อ่านได้ การวัดแบบนี้เมื่อผ่านกรรมวิธีทางสถิติแล้วจะทำให้ค่าการวัดมีความถูกต้องสูงกว่าการวัดครั้งเดียว

การวิเคราะห์ความผิดพลาดแบบแรนดอมโดยวิธีทางสถิติ (Random Error Analysis by Statistic) 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2. ค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย 3. ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย 4. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5. ความแปรปรวน

การวิเคราะห์ความผิดพลาดแบบแรนดอมโดยวิธีทางสถิติ (Random Error Analysis by Statistic) 6. ความน่าจะเป็นของความผิดพลาด 7. การแจกแจงปกติของความผิดพลาด 8. ค่าความผิดพลาดที่น่าจะเป็น

1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean : ) ค่าตัวแทน หรือ ตัวกลางที่อ่านได้จากการวัด หาได้จากการนำค่าที่อ่านได้จากการวัดทุกค่ามารวมกันแล้วหารด้วยจำนวนครั้งของการวัด ค่าจากการอ่าน จำนวนครั้งที่วัด

2. ความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย (Deviation form the Mean : d ) ค่าที่อ่านได้จากการวัดในแต่ละครั้งห่างออกไปจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต มีค่าเป็นบวก หรือ ลบ ก็ได้ ค่าความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย (i = 1,2,…n) ค่าวัดได้จากการอ่าน (i = 1,2,…n) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

3. ความเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Average Deviation : ) ตัวชี้บอกถึงความเที่ยงตรงของเครื่องมือวัด เครื่องวัดที่มีความเที่ยงตรงสูง  ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยต่ำ หาได้จากผลรวมของค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value) ของค่าความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยหารด้วยจำนวนครั้งของการวัด

ตัวอย่างที่ 4 ในการทดลองวัดค่ากระแสไฟฟ้า 6 ครั้ง มีค่าดังนี้ 12.8 mA, 12.2 mA, 12.5 mA, 13.1 mA, 12.9 mA และ 12.4 mA จงคำนวณหา 1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2) ค่าความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย 3) ค่าความเบี่ยงเบนเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย

ค่าความเบี่ยงเบนเฉลี่ย จาก

4. ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : SD, ) ใช้วิเคราะห์ค่าความผิดพลาดแบบแรนดอม เป็นการวัดความกระจายหรือความแตกต่างของข้อมูล ถ้าค่า SD, ต่ำ  ค่าวัดได้ไม่แตกต่างกันมาก ถ้าค่า SD, ศูนย์  ผลการวัดเท่ากันทุกครั้ง ไม่เกิดค่าความผิดพลาดจากการวัด

4. ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : SD, ) หาได้จากรากที่สองของผลรวมทั้งหมดของค่ายกกำลังสองของค่าความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยหารด้วยจำนวนครั้งของการวัด ทางปฏิบัติ

5. ความแปรปรวน (Variance : ) ใช้วัดการกระจายของข้อมูล (ค่าที่อ่านได้จากการวัด) ข้อมูลที่กระจายมาก (แตกต่างกันมาก) ส่งผลให้ความแปรปรวนมีค่ามากตามไปด้วย ข้อมูลเท่ากันหมดทุกตัว  ความแปรปรวน = 0

6. ความน่าจะเป็นของความผิดพลาด(Probability of Errors) การศึกษาหาค่าความผิดพลาดของการวัดซ้ำๆ ในตัวแปรเดิม พบว่า ได้ผลการแจกแจงเป็นรูปโค้งปกติ (Normal Curve) เรียกอีกอย่างว่า รูปโค้งของเก๊าสส์ (Gaussian Curve)

คุณสมบัติทั่วไปของรูปโค้งปกติ 1. การแจกแจงเป็นรูปสมมาตร (Symmetry) 2. ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และฐานนิยม จะทับกันเป็นจุดเดียวที่ส่วนโค้งสุด 3. ความสูงของรูปโค้ง เมื่อเอาความถี่จุดนั้นหารด้วยจำนวนทั้งหมด จะได้เท่ากับ 0.3989 4. ปลายโค้งทั้งสองด้านจะเข้าใกล้ฐานแต่ไม่ถึงฐาน (Asymptotic) 5. จุดเปลี่ยนรูปโค้งอยู่ที่ พื้นที่ภายใต้การแจกแจง ประมาณ 68.26 %

7. การแจกแจงปกติของความผิดพลาด (Normal Distribution of Errors) แจกแจงความถี่ของค่าที่วัดได้จากการอ่าน แรงดันไฟฟ้า (V) จำนวนครั้งที่อ่าน 99.7 1 99.8 4 99.9 12 100.0 19 100.1 10 100.2 3 100.3 50

แทนด้วยกราฟ Histogram

รูปแบบความผิดพลาดของเก๊าสส์ จะเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์หาค่าผิดพลาดแบบแรนดอม มีสาระสรุปได้ดังนี้ ค่าอ่านได้จากการวัดรวมทั้งผลกระทบต่างๆ เรียกว่าค่าผิดพลาดแบบแรนดอม 2. ค่าผิดพลาดแบบแรนดอมจะมีทั้ง ค่าบวก และ ลบ 3. ค่าความน่าจะเป็นของค่าผิดพลาดแบบแรนดอมค่าบวกและค่าลบจะเท่ากัน

8. ค่าความผิดพลาดที่น่าจะเป็น (Probable Errors)

ค่าความน่าจะเป็นของรูปโค้งการกระจายความผิดพลาด (Possibility of Error Distribution Curve) สรุปได้ดังนี้ ค่าความผิดพลาดต่ำๆ มีค่าน่าจะเป็นมากกว่าค่าความผิดพลาดสูงๆ 2. ค่าความผิดพลาดสูงๆ นะไม่มีความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น 3. ความน่าจะเป็นของค่าความผิดพลาดทั้งค่าบวกและค่าลบ จะมีค่าเท่ากันแบบสมมาตร ดังนั้นเมื่อรวมกันแล้วจะมีค่าเท่ากับศูนย์

Fraction of tota area included 0.6745 0.5000 1.0 0.6828 2.0 0.6546 3.0 0.9972

ตัวอย่างที่ 5 จากการวัดค่าความต้านทาน 10 ครั้ง อ่านค่าได้ดังนี้ ครั้งที่ ค่าที่อ่าน (โอห์ม) 1 101.2 6 101.3 2 101.7 7 3 8 101.4 4 101.0 9 5 101.5 10 101.1

จงคำนวณหา 1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2) ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานของการอ่าน 3) ค่าความผิดพลาดที่น่าจะเป็น

จากตารางที่คำนวณมา จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าความผิดพลาดที่น่าจะเป็น