Two-phase Method (เทคนิค 2 ระยะ) เนื่องจากการแก้ปัญหาโดยเทคนิค Big-M นั้นอาจพลาดง่ายบางครั้งปัญหานั้น อาจไม่มีคำตอบ จึงได้มีวิธี Two-phase Method (เทคนิค 2 ระยะ) โดยมีวิธีการดังต่อไปนี้ Phase 1 เพื่อตรวจสอบว่าปัญหา หรือสมการเชิงเส้นนี้ มีคำตอบที่เหมาะสม หรือไม่ กรณีที่ผลลัพธ์จาก Phase 1 พบว่าปัญหา หรือ สมการเชิงเส้นนี้มีคำตอบที่เหมาะสมให้ทำ Phase 2 ต่อไป กรณีที่ผลลัพธ์จาก Phase 1 พบว่าปัญหา หรือ สมการเชิงเส้นนี้ไม่มีคำตอบที่เหมาะสม จึงไม่ต้องทำ Phase 2 ต่อไป Phase 2 เพื่อหาคำตอบของปัญหา

Two-phase Method (เทคนิค 2 ระยะ) Phase 1 (ทั้งปัญหา Max และ Min เหมือนกัน) - ให้ตั้งสมการเป้าหมายใหม่ เป็นการ หาค่าต่ำสุด ของผลรวมของตัวแปรเทียมทั้งหมด ในสมการข้อจำกัด เช่น ถ้า สมการข้อจำกัดมีตัวแปรเทียม R เพียง 1 ตัว จะได้สมการเป้าหมายใหม่คือ Min Z1 = R ถ้า สมการข้อจำกัดมีตัวแปรเทียม R1 และ R2 2 ตัว จะได้สมการเป้าหมายใหม่คือ Min Z1 = R1+R2 - จากนั้นนำค่าของตัวแปรเทียมในสมการข้อจำกัดแทนลงในสมการเป้าหมายใหม่ - สร้างตารางผลลัพธ์เบื้องต้น - หาผลลัพธ์โดยวิธี Simplex เพื่อกำจัดตัวแปรเทียมให้หมดไปทำให้เป้าหมายใหม่มีค่าเป็นศูนย์ แสดงว่าปัญหานั้น มีคำตอบ ให้ทำ Phase 2 ต่อไป กรณีที่ ไม่สามารถกำจัดตัวแปรเทียมให้หมดไปได้ กล่าวคือ ไม่สามารถทำให้สมการเป้าหมายใหม่เป็นศูนย์ แสดงว่ากำหนดการเชิงเส้นนี้จะไม่มีผลลัพธ์ที่เหมาะสม จึงไม่ต้องทำ Phase 2 ต่อไป

Phase 2 (Max ให้พิจารณาแบบ Max หรือ Min ให้พิจารณาแบบ Min) เมื่อได้ค่าสมการเป้าหมายใหม่เป็น 0 ให้ใช้คำตอบมูลฐานที่เหมาะสมที่ได้จาก Phase 1 เป็นตารางเริ่มต้นโดยใช้เป้าหมายเดิมและข้อจำกัดเดิม แล้วใช้วิธี Simplex ต่อไปตามวิธีแก้ปัญหา (Max ให้พิจารณาแบบ Max หรือ Min ให้พิจารณาแบบ Min)จนกระทั่งได้คำตอบที่เหมาะสม ดังนี้ ตารางผลลัพธ์เบื้องต้นใน Phase 2 ให้ตัดแนวตั้งที่เป็นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเทียมออกจากตารางสุดท้ายจาก Phase 1

จงหาค่าต่ำสุดของ Z = 4X1 +X2

Phase 1 สร้างสมการเป้าหมายใหม่คือ หาค่าต่ำสุดของ Min Z1 =R1+R2 ข้อจำกัด 3X1 +X2 +R1 = 3 4X1 +3X2- S1+ R2 = 6 X1 +2X2 +S2 = 3 X1,X2>=0, S1, S2 >=0, R1, R2 >=0

เขียนสมการใหม่เพื่อสร้างตาราง Simplex ดังนี้ สมการขยาย Z1 -R1 -R2 = 0 3X1 +X2 +R1 = 3 4X1 +3X2- S1+ R2 = 6 X1 +2X2 +S2 = 3 X1,X2>=0, S1, S2 >=0, R1, R2 >=0 คำตอบมูลฐานเริ่มต้นที่เป็นไปได้คือ (X1,X2,S1,R1,R2,S2)=(0,0,0,3,6,3) ทำสัมประสิทธิ์ของ R1,R2 ในสมการเป้าหมายเป็น 0 โดย แทนค่า R1 = 3- 3X1-X2 R2 = 6- 4X1 -3X2 + S1 ในสมการเป้าหมาย Z1 -(3- 3X1-X2 ) -(6- 4X1 -3X2 + S1) = 0 Z1 -3 +3X1+X2 -6 + 4X1 +3X2 - S1 = 0 Z1 +7X1+4X2 - S1 = 9

ดังนั้นสมการขยายคือ Z1 +7X1+4X2 - S1 = 9 3X1 +X2 +R1 = 3 4X1 +3X2- S1+ R2 = 6 X1 +2X2 +S2 = 3

ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 S1 R1 R2 S2 b อัตราส่วน 1 7 4 -1 0 0 0 9 R1 R2 สร้างตาราง Simplex เริ่มต้น (ตารางผลลัพธ์เบื้องต้น) ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 S1 R1 R2 S2 b อัตราส่วน 1 7 4 -1 0 0 0 9 R1 R2 S2 3 1 4 3 1 2 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 3 6 3/3= 1 *** 6/4

สร้างตารางผลลัพธ์รอบที่ 1 ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 S1 R1 R2 S2 b อัตรา ส่วน 1 0 5/3 -1 -7/3 0 0 2 X1 R2 S2 1 1/3 0 1/3 0 0 -1 -4/3 1 0 0 -1/3 0 1 3 6/5 *** 6/5

สร้างตารางผลลัพธ์รอบที่ 2 ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 S1 R1 R2 S2 b 1 0 0 0 -1 -1 0 X1 X2 S2 1 0 0 1 1/5 3/5 -1/5 0 -3/5 -4/5 3/5 0 1 1 -1 1 3/5 6/5 จะได้ Z1=0 ตัวแปรเทียมไม่ได้เป็นตัวแปรมูลฐาน แสดงว่ามีคำตอบ จึงต้องทำ Phase 2 เพื่อหาคำตอบต่อไป

Phase 2 สมการเป้าหมายคือ หาค่าต่ำสุดของ Z = 4X1 +X2 จากตารางสุดท้ายของ Phase 1 R(ตัวแปรเทียม) ไม่ได้เป็นตัวแปรมูลฐานแล้วจึงไม่จำเป็นใช้ R ในการหาคำตอบ ได้ข้อจำกัดใน Phase 2 คือ X1 + 1/5S1 = 3/5 X2 - 3/5S1 = 6/5 S1 + S2 = 0

ใน Phase 2 ข้อจำกัดจากสมการเป้าหมายคือ Z -4X1-X2 =0 และได้ X1,X2,S2 เป็นตัวแปรมูลฐานเริ่มต้นที่เป็นไปได้ ทำสัมประสิทธิ์ X1,X2 เป็น 0 ดังนี้ แทนค่า X1 = 3/5 - 1/5S1 X2 = 6/5+ 3/5S1 ในสมการเป้าหมายได้ดังนี้ จาก Z = 4X1 +X2 จะได้ Z -4(3/5 - 1/5S1)-(6/5+ 3/5S1) =0 Z- 12/5+4/5S1-6/5-3/5S1 = 0 Z+1/5S1=18/5

ดังนั้นได้สมการขยายเพื่อสร้างตาราง Simplex คือ Z+ 1/5S1 =18/5 X1 + 1/5S1 = 3/5 X2 - 3/5S1 = 6/5 S1 +S2 = 0

สร้างตารางผลลัพธ์เบื้องต้น ตัวแปรมูลฐาน Z X1 X2 S1 S2 b อัตราส่วน 1 0 0 1/5 0 18/5 X1 X2 S2 1 0 0 1 1/5 0 -3/5 0 1 1 3/5 6/5 3 0***

สร้างตารางผลลัพธ์รอบที่ 1 ตัวแปรมูลฐาน Z X1 X2 S1 S2 b 1 0 0 0 -1/5 18/5 X1 X2 S1 1 0 0 1 0 -1/5 0 3/5 1 1 3/5 6/5 จากการพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเปลี่ยน และ ตัวแปร Slack เป็น 0 และ ลบ นั้นคือได้คำตอบที่ดีที่สุดดังนี้ X1=3/5, X2=6/5 และ Z=18/5

การแก้ปัญหาสูงสุด Max จงหาค่าสูงสุดของ Max. Z = 2X1+4X2+3X3 ภายใต้ข้อจำกัด -X1+3X2+2X3 <= 40 2X1-4X2+X3 = 30 X1>=0, X2>=0, X3>=0

การแก้ปัญหาสูงสุด Max Phase1 สร้างสมการเป้าหมายใหม่คือ Min. Z1 = R ภายใต้ข้อจำกัด -X1+3X2+2X3 + S = 40 2X1-4X2+X3 + R = 30 X1>=0, X2>=0, X3>=0

เขียนสมการใหม่เพื่อสร้างตาราง Simplex ดังนี้ สมการขยาย Z1- R = 0 -X1+3X2+2X3 + S = 40 2X1 -4X2 + X3 + R = 30 X1>=0, X2>=0, X3>=0 คำตอบมูลฐานเริ่มต้นที่เป็นไปได้คือ (X1,X2,X3,S,R) = (0,0,0,40,30) แทนค่าใน R ในสมการเป้าหมาย R = -2X1 + 4X2 - X3 + 30 สมการเป้าหมายคือ Z+ 2X1 - 4X2 + X3 = 30

ดังนั้นสมการขยายสำหรับสร้างตาราง Simplex คือ Z+ 2X1 - 4X2 + X3 = 30 -X1 + 3X2+ 2X3 + S = 40 2X1 - 4X2 + X3 + R = 30

สร้างตาราง Simplex เบื้องต้น (ตารางผลลัพธ์เบื้องต้น) ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 X3 S R b 1 2 -4 1 0 0 30 S R -1 3 2 1 0 0 1 40 หมายเหตุ Phase 1 เนื่องจากเป้าหมาย Z1 เป็น Min Z1 = R ดังนั้นการพิจารณาจะพิจารณาแบบปัญหา Min นั้นคือพยายามหาตารางผลลัพธ์ที่ดีที่สุดคือ สัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัวแปรขาด(slack variable) จากสมการเป้าหมาย จะต้องมีค่าเป็น ลบ หรือ 0 ซึ่งตารางนี้จะต้องกระทำต่อไปเนื่องจากยังไม่ใช่ตารางผลลัพธ์ที่ดีที่สุด

สร้างตารางผลลัพธ์รอบที่ 1 ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 X3 S R b สูตร 1 0 0 0 0 -1 R0’ = r0 - 2r2’ S X1 0 1 5/2 1 -2 1/2 1 1/2 0 1/2 55 15 R1’ = r1 +r2’ R2’=r2/2 จากตารางจะได้ ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดคือ สัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัวแปรขาด(slack variable) จากสมการเป้าหมาย จะต้องมีค่าเป็น ลบ หรือ 0 ทั้งหมดแล้ว นอกจากนี้พบว่าค่า R มีค่า =0 และ Z1 = 0 ดังนั้นสรุปว่า ปัญหานี้มีคำตอบ จึงทำ Phase 2 ต่อไปได้เพื่อหาคำตอบ

Phase 2 กลับมาพิจารณาสมการเป้าหมายของปัญหาคือ จงหาค่าสูงสุดของ Max. Z = 2X1+4X2+3X3 จากตารางสุดท้ายของ Phase 1 R(ตัวแปรเทียม) ไม่ได้เป็นตัวแปรมูลฐานแล้วจึงไม่จำเป็นต้องใช้ R ในการหาคำตอบ ดังนั้นข้อจำกัดใน Phase 2 คือ X2 + 5/2X3 + S = 55 X1 - 2X2 + 1/2X3 = 15

ดังนั้นสมการขยายเพื่อสร้างตาราง Simplex คือ Z - 2X1 - 4X2 - 3X3 = 0 X2 + 5/2X3 + S = 55 X1 - 2X2 + 1/2X3 = 15

สร้างตารางผลลัพธ์เบื้องต้น ของ Phase 2 ตัวแปรมูลฐาน Z X1 X2 X3 S b 1 -2 -4 -3 X1 0 1 5/2 1 -2 1/2 55 15 เนื่องจาก Phase 2 เราจะหาผลลัพธ์ของปัญหา MAX ดังนั้นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดคือ สัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัวแปรขาด(slack variable) จากสมการเป้าหมาย จะต้องมีค่าเป็น บวก หรือ 0 จากตารางต้องหาคำตอบที่ดีที่สุดต่อไป

สร้างตารางผลลัพธ์รอบที่ 1 ของ Phase 2 ตัวแปรมูลฐาน Z X1 X2 X3 S b สูตร 1 -2 0 7 4 220 R0’ = r0 +4r1’ X2 X1 0 1 5/2 1 0 11/2 2 55 125 R1’ = r1 R2’=r2 + 2r1’ จากตารางต้องหาคำตอบที่ดีที่สุดต่อไป

สร้างตารางผลลัพธ์รอบที่ 2 ของ Phase 2 ตัวแปรมูลฐาน Z X1 X2 X3 S b สูตร 1 0 0 18 8 470 R0’’ = r0’ +2r2’’ X2 X1 0 1 5/2 1 0 11/2 2 55 125 R1’’ = r1’ R2’’=r2’ จากตารางได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดคือ สัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัวแปรขาด(slack variable) จากสมการเป้าหมาย จะต้องมีค่าเป็น บวก หรือ 0 ดังนั้นจะได้ผลลัพธ์ที่เหมาะสมคือ X1 = 125 , X2 = 55 , Z สูงสุด = 470

จงหาค่าสูงสุดของ Max.Z = 3X1 +2X2

Phase 1 สร้างสมการเป้าหมายใหม่คือ Min Z1 = R ดังนั้นสมการขยายคือ 2X1 +X2 +S2 = 2 3X1 +4X2- S1+R = 12 X1,X2 >=0, S1,S2>=0, R>=0 คำตอบมูลฐานเริ่มต้นที่เป็นไปได้คือ (X1,X2,S1,S2,R) = (0,0,0,2,12) จากนั้นทำสัมประสิทธิ์ของ R ในสมการเป้าหมายเป็น 0 โดยการแทนค่า ในสมการดังนี้ จาก ค่า R = 12- 3X1- 4X2+S1 แทนค่า R ในสมการเป้าหมาย Z1-(12- 3X1- 4X2+S1) = 0 Z1 +3X1 +4X2 –S1 = 12

ดังนั้นสมการขยายสำหรับการสร้างตาราง Simplex คือ Z1 +3X1 +4X2 –S1 = 12 2X1 +X2 +S2 = 2 3X1 +4X2- S1+R = 12

ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 S1 S2 R b อัตรา ส่วน 1 3 4 -1 0 0 12 S2 R 2 1 สร้างตาราง Simplex เริ่มต้น (ตารางผลลัพธ์เบื้องต้น) ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 S1 S2 R b อัตรา ส่วน 1 3 4 -1 0 0 12 S2 R 2 1 0 1 0 -1 0 1 2 2 *** 3

สร้างตารางผลลัพธ์รอบที่ 1 ตัวแปรมูลฐาน Z1 X1 X2 S1 S2 R b 1 -5 0 -1 -4 0 4 X2 R 2 1 0 1 0 -1 -4 1 2 จากการพิจารณาZ1 = 4 ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเปลี่ยนและตัวแปร Slack เป็น 0 และลบทุกตัวแต่ไม่สามารถกำจัดตัวแปร R ออกจากตัวแปรมูลฐานได้ หรือไม่สามารถปรับค่า R จนเป็น 0 ได้แสดงว่าปัญหานี้ไม่มีคำตอบจึงไม่ต้องทำ Phase 2 ต่อไป