Elements of Thermal System Mathematical Model of Dynamic Systems

Elements of Thermal System ในระบบความร้อน (Thermal System) จะมีส่วนประกอบพื้นฐานเพียง 2 ส่วนคือ thermal resistance และ thermal capacitance โดยทั่วไปแล้วการไหลของความร้อนจะเกิดเนื่องจากความแตกต่างของอุณหภูมิ ซึ่งจากกฎของ Fourier เราจะได้ เมื่อ q คือความร้อน T2-T1 คือความแตกต่างของอุณหภูมิ และ R คือค่า thermal resistance,

Elements of Thermal System ค่า R นี้จะขึ้นอยู่กับ mode ของการถ่ายเทความร้อน สำหรับ การนำความร้อน (conduction) เราจะได้ โดย A คือพื้นที่หน้าตัดของวัสดุที่ความร้อนไหลผ่าน X คือความหนาของวัสดุ และ k คือ Thermal Conductivity ของวัสดุ ดังนั้นสำหรับการนำความร้อนเราจะได้

Elements of Thermal System สำหรับการพาความร้อน เราจะได้อัตราการถ่ายเทความร้อนเป็น เมื่อ A คือพื้นที่สัมผัสของของไหลและของแข็ง H คือ coefficient of heat transfer ดังนั้นสำหรับการพาความร้อน(convection) thermal resistance จะมีค่าเป็น

Elements of Thermal System Thermal capacitance เป็นการวัดความจุความร้อน หรือการเปลี่ยนแปลงพลังงานภายในของระบบซึ่งการเปลี่ยนแปลงพลังงานภายในนี้ เกิดจากความแตกต่างของความร้อนที่ไหลเข้าระบบ และความร้อนที่ไหลออกจากระบบ ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงพลังงานภายใน ของระบบจะเป็น

Elements of Thermal System จากนิยามของความจุความร้อน ทำให้ เมื่อ c คือความจุความร้อนของระบบ ดังนั้น โดย คืออัตราการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ

Elements of Thermal System ทำให้เราสามารถเขียนสมการได้เป็น โดย thermal capacitance C มีค่าเป็น

Elements of Thermal System Ex: Thermometer พิจารณาเทอร์โมมิเตอร์ที่วัดอุณหภูมิในอ่างน้ำได้ T ขณะที่พึ่งใส่ลงไปในถังน้ำที่มีอุณหภูมิ TL ถ้าความต้านทานความร้อนจะป้องกันไม่ให้ความร้อนจากน้ำไหลเข้าสู่เทอร์โมมิเตอร์ มีค่าเท่ากับ R ดังนั้น

Elements of Thermal System Ex: Thermometer เมื่อ q   เป็นอัตราการไหลของความร้อนจากของเหลวเข้าสู่เทอร์โมมิเตอร์   ถ้ากำหนดให้เทอร์โมมิเตอร์มี thermal capacitance, C เราจะได้ แต่เนื่องจากจะมีเฉพาะความร้อนจากน้ำไหลเข้าสู่เทอร์โมมิเตอร์ ดังนั้น และ ทำให้

Elements of Thermal System Ex: Thermometer แทนค่าจะได้ หรือจัดสมการใหม่ได้เป็น เขียนอยู่ในรูปของ Laplace transform ดังนั้นฟังก์ชั่นถ่ายโอนของระบบจะได้ดังนี้

Mathematical Model of Thermal System

Mathematical Model of Thermal System สมมุติว่าอุณหภูมิของ ของเหลวที่ไหลเข้ามีค่าคงที่ และอัตราความร้อนเข้าสู่ระบบ (ซึ่งเกิดขึ้นโดยฮีตเตอร์) การเปลี่ยน ไปเป็น อย่างทันทีทันใด โดย hi ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงอย่างน้อย ในอัตราความร้อนอินพุต อัตราความร้อนที่ไหลออกมีการเปลี่ยนแปลงจาก ไปเป็น อุณหภูมิที่ทางออกมีการเปลี่ยนแปลงจาก ไปเป็น เช่นกัน สำหรับกรณีนี้ เราจะได้ว่า

Mathematical Model of Thermal System สมการสมดุลความร้อน ของระบบจะได้ แทนค่า h0 ลงไปในสมการ

Mathematical Model of Thermal System เขียนอยู่ในรูปของ Laplace transform ดังนั้นฟังก์ชั่นถ่ายโอนของระบบจะได้ดังนี้