สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS) บทที่ 6 อนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อนและเส้นสเปคตรัม 01040311 สัญญาณและระบบ

วัตถุประสงค์ ศึกษาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อน ความหมายของขนาดของสเปคตรัมและเฟสสเปคตรัม ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์และการประยุกต์ใช้งานในการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์รูปแบบมาตรฐานหรืออนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณ ทางสัญญาณและระบบ : อนุกรมฟูเรียร์ ใช้ในการวิเคราะห์สัญาณที่มีขนาดแปรต่อเนื่องในช่วง – p ถึง + p หรือ สัญญาณเป็นคาบ อนุกรมฟูเรียร์รูปแบบมาตรฐานหรืออนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณ 01040311 สัญญาณและระบบ

สมการเอกลักษณ์ของออยเลอร์ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อน 01040311 สัญญาณและระบบ

สัมประสิทธิอนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อน ถ้า f(t) เป็นฟังก์ชันจำนวนจริง C-n= C*n 01040311 สัญญาณและระบบ

สัมประสิทธิอนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อน ถ้า f(t) เป็นฟังก์ชันจำนวนจริง = DC component | Cn | = ขนาดสเปคตรัมของสัญญาณ = เฟสสเปคตรัมของสัญญาณ 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ Cn ค่าคงที่หรือ ส.ป.ส. ฟูเรียร์ n เรียก basis ของอนุกรม เรียก generalized Fourier series 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ ถ้า n เป็นเซ็ตของฟังก์ชันเชิงตั้งฉากเชิงซ้อน = Cn ค่าคงที่หรือ ส.ป.ส. ฟูเรียร์หาได้จาก 01040311 สัญญาณและระบบ

เส้นสเปคตรัมหรือสเปคตรัมไม่ต่อเนื่อง DC | C0 | ฮาร์โมนิคส์ที่หนึ่ง | C-1 | | C1 | | C-2 | | C2 | | C-3 | | C3 | 01040311 สัญญาณและระบบ

เส้นสเปคตรัมหรือสเปคตรัมไม่ต่อเนื่อง 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ ประมาณสัญญาณแบบกำลังสองน้อยที่สุด 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ ผลความสมมาตรของสัญญาณต่อ ส.ป.ส ความสมมาตร คู่ คี่ ครึ่งคลื่น คู่ใน ¼ ของคลื่น คี่ใน ¼ ของคลื่น 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ ความเป็นเชิงเส้น (Linearity) f1(t) และ f2(T) เป็นสัญญาณเป็นคาบความถี่0 เท่ากัน แล้ว และ จะได้ 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ สัญญาณย้อนกลับบนแกนเวลา ถ้า f(t) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มี ส.ป.ส. Cn แล้ว f(-t) มี ส.ป.ส. ฟูเรียร์ เป็น C-n 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ สังยุกต์ของสัญญาณเชิงซ้อน ถ้า f(t) เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มี ส.ป.ส. Cn แล้ว f*(t) เป็นสังยุกต์ของ f(t) มี ส.ป.ส. C*-n 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ ความสมมาตรสังยุกต์ ถ้า f(t) เป็นสัญญาณ(ฟังก์ชัน)จำนวนจริงที่มี ส.ป.ส. Cn แล้ว C-n= C*n, Cn= C*-n 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ ผลคูณของสองสัญญาณ f1(t) และ f2(T) เป็นสัญญาณเป็นคาบความถี่0 เท่ากัน และ แล้ว จะได้ 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ ผลคูณของสองสัญญาณ เทอมในวงเล็บคือผลบวกการประสาน(convolution sum)ส.ป.สฟูเรียร์ ส.ป.ส ฟูเรียร์ผลคูณของสองสัญญาณเป็นผลบวกการประสานของส.ป.ส ฟูเรียร์ของแต่ละสัญญาณนั้น 01040311 สัญญาณและระบบ

การประสานของสองสัญญาณ ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ การประสานของสองสัญญาณ f1(t) และ f2(T) เป็นสัญญาณเป็นคาบความถี่0 เท่ากัน การประสานเชิงคาบนิยามโดย f3(t) มีคาบ T และดำเนินตามกฏ commutative และ Associative ถ้า แล้ว 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ สัญญาณเลื่อนในแกนเวลา(Time shifting) ถ้า และ แทน 01040311 สัญญาณและระบบ

การเลื่อนบนแกนเวลาของสัญญาณมีผลกับเฟสสเปคตัม f(t) d/2 -d/2 A T/2 -T/2 T -T ตัวอย่าง f(t) A d T/2 T -T -T/2 *เอกสารหมายเลข[1] problem 3.8 หน้า 60 01040311 สัญญาณและระบบ

การเลื่อนบนแกนเวลาของสัญญาณมีผลกับเฟสสเปคตัม *เอกสารหมายเลข[1] problem 3.9 หน้า 61 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ สัญญาณปรับเปลี่ยนบนแกนเวลา(Time Scaling) ถ้า และ 01040311 สัญญาณและระบบ

ฟังก์ชันสุ่ม(sampling function) f(t) d/2 -d/2 A T/2 -T/2 T -T ตัวอย่าง t T(t) (t) (t-T) (t+T) t t 01040311 สัญญาณและระบบ

การประสานของสองสัญญาณ ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ การประสานของสองสัญญาณ f1(t) และ f2(T) เป็นสัญญาณเป็นคาบความถี่0 เท่ากัน การประสานเชิงคาบนิยามโดย f3(t) มีคาบ T และดำเนินตามกฏ commutative และ Associative ถ้า แล้ว 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ Parseval’s theorem 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ อนุพันธ์ของอนุกรมฟูเรียร์ ใช้ sifting theorem 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง ใช้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจนเป็นขบวนของอิมพัลส์ ใช้คุณสมบัติ sifting ของอิมพัลส์ฟังก์ชันในการหาค่า ส.ป.ส แทนการอินทริเกรต 01040311 สัญญาณและระบบ

อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วง ตัวอย่าง ใช้การหาอนุพันธ์กระจายอนุกรมของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดย 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป อนุกรมฟูเรียร์รูปแบบเชิงซ้อนมี basis เป็น ฟังก์ชันเอ็กโปเนนเชียลเชิงซ้อน และ ส.ป.ส เป็น Cn | Cn | = ขนาดสเปคตรัมของสัญญาณ = เฟสสเปคตรัมของสัญญาณ 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป ลักษณะสมบัติของอนุกรมฟูเรียร์ ประมาณสัญญาณแบบกำลังสองน้อยที่สุด ผลความสมมาตรของสัญญาณต่อ ส.ป.ส ความเป็นเชิงเส้น (Linearity) สังยุกต์สมมาตร ผลคูณของสองสัญญาณ การประสานของสองสัญญาณ Parseval’s theorem อนุพันธ์ของอนุกรมฟูเรียร์ 01040311 สัญญาณและระบบ