อาจารย์อาจารีย์ ทองอ่อน INTEGRATIONS จัดทำโดย นางสาวณิชานันท์ คำสุข 56123801 นางสาวแพรวพรรณ ใหม่พรหม 56123811 นางสาวอัญมณี วงศ์ใหญ่ 56123832 เสนอ อาจารย์อาจารีย์ ทองอ่อน

TRAPEZOIDAL APPROXIMATION ::กฎสี่เหลี่ยมคางหมู:: กฎสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะแบ่งช่วงขีดจำกัดเริ่มจาก [a,b] ออกเป็นส่วนย่อย n ส่วนเท่าๆกัน จะได้สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีขอบเขตของแต่ละส่วนที่อยู่ตำแหน่ง 𝑥 0 , 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛

ซึ่งได้มาจากสูตรการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู พิจารณาที่สี่เหลี่ยมลำดับที่ i ซึ่งอยู่ระหว่าง 𝑥 𝑖−1 และ 𝑥 𝑖 จะมีความกว้าง ความสูงที่ด้านซ้าย และความสูงด้านขวา เป็น 𝛥𝑥= 𝑏−𝑎 2 , 𝑓( 𝑥 𝑖−1 ) และ 𝑓( 𝑥 𝑖 ) จะคำนวณพื้นที่ได้จากสมการ 𝑠 𝑖 = Δ𝑥 2 (𝑓 𝑥 𝑖−1 +f( 𝑥 𝑖 )) ซึ่งได้มาจากสูตรการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู A=mw โดยที่ 𝑚= 1 2 (𝑎+𝑏) 𝒇 𝒙 𝒊−𝟏 𝒎 𝒇 𝒙 𝒊 เมื่อแทน m จะได้ 𝐴= 1 2 𝑎+𝑏 W a b w

พื้นที่ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมคางหมูจํานวน n รูปจะใช้แทนเป็นค่าปริพันธ์ดังนั้นเมื่อกําหนดAreaเป็นผลรวมของพื้นสี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละรูปจะได้ 𝐴𝑟𝑒𝑎= 𝐴 1 + 𝐴 2 + 𝐴 3 +…+ 𝐴 𝑛−1 + 𝐴 𝑛 𝐴𝑟𝑒𝑎= 𝑓 𝑥 0 +f( 𝑥 1 ) 2 Δ𝑥+ 𝑓 𝑥 1 +f( 𝑥 2 ) 2 Δ𝑥+ 𝑓 𝑥 2 +f( 𝑥 3 ) 2 Δ𝑥+…+ 𝑓( 𝑥 𝑛−1 )f( 𝑥 𝑛 ) 2 𝛥𝑥 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= Δ𝑥 2 [𝑓( 𝑥 0 )+2𝑓 𝑥 +2f 𝑥 2 +…+2f 𝑥 𝑛−1 +f( 𝑥 𝑛 )]

ตัวอย่าง การหาค่าปริพันธ์ของ 0 4 𝑥 2 −2x 𝑑𝑥 วิธีคิด ใช้วิธีทางแคลคูลัสคํานวณจะได้ 0 4 𝑥 2 −2x 𝑑𝑥 = 𝑥 3 3 − 𝑥 2 0 4 = 64 3 −16=5.333 ถ้าแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูจํานวน 10,100,1000,10000 จะได้ผลดังตาราง n sum 10 9.152 100 5.659 1000 5.365 10000 5.337 100000 5.357 1000000 5.561 10000000 6.105

SIMPSON’S INTEGRATION ::กฎของซิมป์สัน:: วิธีซิมป์สันเป็นการประมาณพื้นที่ใต้โค้งด้วยอนุกรมของพาราโบลาโดยสมการพาราโบลาจะเข้าใกล้โค้งที่กำหนดจากf(x) มากกว่าการประมาณค่าด้วยเส้นตรงของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เมื่อเราต้องการหา ค่าปริพันธ์ของฟังชัน f(x) ระหว่างขีดจํากัด a และ b เราจะเลือกจุด 𝛥𝑥= 𝑏−𝑎 2 คือเท่ากับครึ่งหนึ่งของระยะ ระหว่าง a และ b

ในที่นี้เราจะใช้วิธีที่ต่างค่าจากการประมาณด้วยสี่เหลี่ยมคางหมูแต่ยังมีความคล้ายกันนำมาใช้หาพื้นที่ใต้โค้งระหว่างจุด a= 𝑥 𝑖−1 , b= 𝑥 𝑖 จะได้สมการหาพื้นที่ 𝐴𝑟𝑒𝑎= f 𝑥 𝑖−1 +f 𝑥 𝑖 เพื่อให้โค้งเข้ากันได้พอดีกับพาราโบลา เราจะแปลงให้ได้สมการที่มีรูปแบบคล้ายกันโดยเพิ่มจุดระหว่าง a= 𝑥 𝑖−1 ,b= 𝑥 𝑖 และ c= 𝑥 𝑖−2 จะได้สมการหาพื้นที่ 𝐴𝑟𝑒𝑎=(f 𝑥 𝑖−1 +f 𝑥 𝑖−2 +f( 𝑥 𝑖 )) ฟังชันโดยทั่วไปไม่ว่าจะเป็นเส้นตรง หรือพาราโบลา จะพบว่าเมื่อทําการแบ่งช่วงที่จะหาปริพันธ์ออก เป็นส่วนย่อยกว้างเท่าๆ กัน และมีจํานวนที่แบ่งเป็นเลขคู่ และใช้กฎของซิมสันหาพื้นที่ใต้โค้งของทั้งคู่พร้อมกัน ในกรณีที่ต้องการหาพื้นที่ของแถบที่ถูกแบ่งซึ่งอยู่ระหว่าง 𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 และ 𝑥 𝑖−2 𝑠 𝑖 = 𝛥𝑥 3 (𝑓 𝑥 𝑖−2 +4f 𝑥 𝑖−1 +f( 𝑥 𝑖 ))

ดังนั้นสมการของซิมป์สัน ที่ใช้สำหรับพื้นที่ใต้โค้ง 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= Δ𝑥 3 [𝑓( 𝑥 0 )+4𝑓 𝑥 1 +2f 𝑥 2 +…+4f 𝑥 𝑛−1 +f( 𝑥 𝑛 )]

ตัวอย่าง การหาค่าปริพันธ์ของ 0 4 𝑥 2 −2x 𝑑𝑥 วิธีคิด ใช้วิธีทางแคลคูลัสคํานวณจะได้ 0 4 𝑥 2 −2x 𝑑𝑥 = 𝑥 3 3 − 𝑥 2 0 4 = 64 3 −16=5.333 ถ้าแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูจํานวน 10,100,1000,10000 จะได้ผลดังตาราง n sum 10 13.824 100 5.993 1000 5.397 10000 5.340 100000 5.357 1000000 5.561 10000000 6.112

การเปรียบเทียบค่าจริง กับ ค่าของ trapezoidal และ ค่าของ simpson