บทที่ 7 การหาปริพันธ์ (Integration) Antiderivative (Indefinite Integral) Differential Equation And Modeling

ฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ(Antiderivative) นิยาม ฟังก์ชัน F(x) เป็น ฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ ของ f(x) ถ้าหาก F’(x) = f(x) สำหรับทุก x ในโดเมนของ f เซ็ตของทุกๆ ฟังก์ชันอนุพันธ์กลับของ f เรียกว่า ปริพันธ์แบบไม่จำกัด(indefinite integral) ของ f เทียบกับ x แสดงด้วย Integral sign integrand Variable of integration

ตารางฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ ตัวอย่างที่ 1 constant จงหาค่า วิธีทำ antiderivative ตารางฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ

ตัวอย่างที่ 2 เลือกฟังก์ชันอนุพันธ์กลับ จากตาราง

ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบผลปริพันธ์ ? ปัญหาค่าเริ่มต้น (Initial Value Problems) คือปัญหาที่กำหนดอนุพันธ์ y’(x) และกำหนดค่าเริ่มต้น yo เมื่อ x = xo มาให้

ตัวอย่างที่ 4 จงหาเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสที่จุด (x,y) เป็น 3x2 และผ่านจุด (1,-1) สมการอนุพันธ์ ค่าเริ่มต้น General solution Particular solution

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Modeling) กำหนดตัวแปร หาสมการอนุพันธ์ กำหนดค่าเงื่อนไขเริ่มต้น หาผลเฉลย ตรวจสอบผลเฉลย

ชิ้นหนึ่งถูกโยนของลงมา อยากทราบว่าวัตถุจะตกถึงพื้นในเวลาใด ตัวอย่างที่ 5 บอลลูนกำลังลอยขึ้นด้วยอัตรา12 ฟุต/วินาที ที่ความสูง 80 ฟุตเหนือพื้นวัตถุ ชิ้นหนึ่งถูกโยนของลงมา อยากทราบว่าวัตถุจะตกถึงพื้นในเวลาใด วิธีทำ กำหนดให้ v(t) = ความเร็ว t = เวลา s(t)= ระยะความสูงจากพื้น 12 ฟุต/วินาที ความเร่งเนื่อง จากแรงดึงดูดของโลก g สมการอนุพันธ์

เงื่อนไขเริ่มต้น: v(0) = 12 แก้สมการ หาค่า C จากเงื่อนไขเริ่มต้น

แก้สมการ แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น หาเวลาที่ระยะทาง = 0

กฎการหาปริพันธ์

ตัวอย่างที่ 1 วิธีทำ ตัวอย่างที่ 2 ปริพันธ์แยกเทอม

ตัวอย่างที่ 3 ปริพันธ์อง sin2x และ cos2x

ตัวอย่างที่ 4 ใช้ กฎยกกำลัง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6 เปลี่ยนตัวแปร

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างที่ 8 ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณฯ

การประมาณพื้นที่ใต้กราฟโดยผลรวมจำกัด อัตราการสูบฉีดเลือดของหัวใจหาได้โดยการฉีดสีย้อม (กำมันตรังสีที่ไม่เป็น อันตราย) เข้าไปห้องขวาของหัวใจ เลือดจะไหลผ่านปอด แล้วกลับมาที่หัวใจห้อง ซ้ายก่อนจะไหลออกเส้นเลือดใหญ่ ซึ่งจะเป็นจุดที่วัดความเข้มข้นของสีย้อม

การประมาณปริมาตรของทรงกลม

การประมาณค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยพื้นที่ใต้กราฟ

ผลรวมรีมาน ตัวอย่างที่ 1 สัญลักษณ ์

นิยามของ ปริพันธ์แบบจำกัด ด้วยลิมิตของ Riemann Sums ให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามในช่วง [a,b] ถ้าหากแบ่งออกเป็นช่วงย่อยๆด้วยตัว แบ่ง P และ ck อยู่ระหว่างแต่ละช่วงย่อย [xk-1,xk] ถ้าหากมีจำนวนจริง I ที่ทำ ให้ ไม่ว่าจะเลือกแบ่ง P และเลือก ck อย่างไรก็ได้ ดังนั้น f สามารถอินทิเกรตได้ในช่วง [a,b] และ I เป็นค่า ปริพันธ์แบบจำกัด ของ f

ทฤษฎีบทที่ 1 ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง สามารถหาปริพันธ์ได้ Differentiation Integration Upper limit lower limit

ตัวอย่างที่ 2 การใช้เครื่องหมาย จงแสดง ลิมิตในรูปของ ปริพันธ์ ในช่วงของ x = [-1,3] และ mk เป็นกึ่งกลาง ของช่วงที่ k นิยาม พื้นที่ใต้กราฟ ถ้า y=f(x) ไม่มีค่าเป็นลบ และหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a,b] จะได้ว่าพื้นที่ใต้ กราฟเป็น

ตัวอย่างที่ 3 พื้นที่ใต้กราฟ f (x)= x จงหา วิธีทำ พื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน y = x คือพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูในรูป พื้นที่ ดังนั้น

นิยาม ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f ในช่วง [a,b] คือ

ตัวอย่างที่ 4 หาค่าเฉลี่ย หาค่าเฉลี่ยฟังก์ชัน ในช่วง [-2,2] สมการคือครึ่งวงกลมมีพื้นที่ ดังนั้น หาค่าเฉลี่ยฟังก์ชัน

กฎการหาปริพันธ์แบบจำกัด

ตัวอย่างที่ 5

ทฤษฎีค่าเฉลี่ยและทฤษฎีพื้นฐาน ทฤษฎีค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทีเกรตแบบมีขอบเขต (Mean Value Theorem for Definite Integrals) ถ้าหาก f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] ดังนั้นจะต้องมีจุด c อย่างน้อย หนึ่งจุดที่

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f(x)= 4 – x ในช่วง [0,3] และหาว่าจุดไหนของฟังก์ชัน ที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ย วิธีทำ

ทฤษฎีพื้นฐาน (fundamental theorem) ตอนที่ 1 ถ้า f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] แล้ว ฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วง [a.b] และ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า และ วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 3 จงหา dy/dx เมื่อ วิธีทำ ให้ และจาก

ตัวอย่างที่ 4 จงหา ก) ข) ก) ข)

การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขโดยวิธี trapezoidal ประมาณค่าอินทีเกรต ด้วย เมื่อ yi เป็นค่าของฟังก์ชันที่จุดแบ่ง โดยที่

ตัวอย่างที่ 5 ค่าที่ถูกต้องคือ 2.333333