สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS) บทที่ 10 การแปลงลาปลาส และ การวิเคราะห์ระบบ 01040311 สัญญาณและระบบ

วัตถุประสงค์ ที่มาอย่างง่ายของการแปลงลาปลาส การแปลงลาปลาสและลักษณะสมบัติของฟังก์ชันการแปลง การประยุกต์ในการนำเสนอ วิเคราะห์ระบบ และการตอบสนองระบบ 01040311 สัญญาณและระบบ

บทนำ ถึงแม้ว่าการแปลงฟูเรียร์จะสามารถนำมาใช้ในการศึกษาผลการตอบสนองของระบบผ่านทฤษฏีการประสาน แต่เนื่องจากสัญญาณทางวิศวกรรมหลาย ๆ สัญญาณไม่สามารถแปลงฟูเรียร์ได้หรือได้โดยง่ายเช่น exp[at]u(t), a>0, exp[-at], - < x< + จึงมีการพัฒนาการแปลงที่ขยายขอบเขตไปจากการแปลงฟูเรียร์ อย่างหนึ่งคือ การแปลง ลาปลาส 01040311 สัญญาณและระบบ

บทนำ Pierre Simon de Laplace : ใช้ Integral transform ในงานทางด้านทฤษฎีความน่าจะเป็น S.D. Poisson(1781-1840) : ใช้ Integral transform ในงานทางด้าน กลศาสตร์ และวิศวกรรมเครื่องกล ในยุคเดียวกับ Fourier Oliver Heaviside : ใช้ Laplace transform ในงานทางด้านแก้สมการเชิงอนุพันธ์และทางด้านวิศวกรรมไฟฟ้า 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส VS การแปลงฟูเรียร์ ขยายขอบเขตการแปลงของฟังก์ชันที่ใช้ทางวิศวกรรมจากการแปลงฟูเรียร์ รูปแบบหลังการแปลงลาปลาสซับซ้อนน้อยกว่าการแปลงฟูเรียร์ สามารถใส่เงื่อนไขเริ่มต้นในขั้นตอนการแปลงลาปลาสเมื่อใช้ในการศึกษาการตอบสนองระบบ(แก้สมการเชิงอนุพันธ์) ศึกษาสมรรถนะของระบบด้วยการตีความตำแหน่งของโพลส์และซีโรส์ในระนาบเชิงซ้อนของฟังก์ชันถ่ายโอนในโดเมนลาปลาส 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ การแปลงลาปลาส การแปลงฟูเรียร์ การแปลงลาปลาส มีฟังก์ชัน a(t) เป็นผลคูณของ e-t กับ x(t) 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์-> การแปลงลาปลาส 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์-> การแปลงลาปลาส ให้ s =  + j เป็นเทอมของความถี่เชิงซ้อน และ d=(1/j)ds 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส x(t)X(S) คู่การแปลงฟูเรียร์เชิงซ้อนหรือการแปลงลาปลาส Analysis formula Synthesis formula x(t)X(S) คู่การแปลงฟูเรียร์เชิงซ้อนหรือการแปลงลาปลาส สองด้าน (two sided (bilateral) Laplace transform)  อยู่ใน Region Of Convegence (ROC) 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส X(s)= L{x(t)} x(t)=L-1{X(s)} หากฟังก์ชัน x(t) = 0 เมื่อ t< 0 จะได้การแปลงลาปลาสด้านเดียว (One sided (unilateral) Laplace transform) X(s)= L{x(t)} x(t)=L-1{X(s)} 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส VS การแปลงฟูเรียร์ สัญญาณ x(t) X(s) X() 1 1 อิมพัลส์ (t) ขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t) 1/s ()+1/j  แรมป์หนึ่งหน่วย tu(t) 1/s2 j’()+1/ 2 t ยกกำลัง n tn n!/sn+1 2(j)n(n)() เอ็กโปเนนเชียล e-atu(t) 1/(s+a) 1/(j+a) ซายน์ sin0tu(t)  0/(s2+ 02) โคซายน์ cos0tu(t) s/(s2+ 02) 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส ทำได้ 2 วิธี 1. ใช้สมการการแปลงโดยตรง 2. เปลี่ยนฟังก์ชันให้อยู่ในของฟังก์ชันพื้นฐานที่มีผลการแปลงอยู่แล้วจากนั้นใช้ลักษณะสมบัติของการแปลงหาผลการแปลงโดยรวมออกมา 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง แปลงลาปลาสฟังก์ชั่น x1(t) 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส ลักษณะที่ต่างจากการแปลงฟูเรียร์ อนุพันธ์ในแกนเวลา L L ใช้ในการวิเคราะห์ระบบที่มีพลังงานสะสมอยู่เดิม 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส ลักษณะที่ต่างจากการแปลงฟูเรียร์ initial & final value theorem ใช้ในการหาค่าขอบเขตโดยไม่ต้องแปลงลาปลาสผกผัน 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของการแปลงลาปลาส สัญญาณ การแปลงลาปลาส เชิงเส้น a1x1(t)+ a2x2(t) a1X1(s)+ a2X2(s) การสเกล a>0 x(at) (1/a)X(s/a) หน่วงเวลา u(t-)x(t-) e-stX(s) คูญด้วยเอ็กโปเนนเชียล e-atx(t) X(s+a) อนุพันธ์ dx(t)/d(t) sX(s)-x(0) ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย 01040311 สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของการแปลงลาปลาส การประสาน (Convolution) ถ้า 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง การประสาน จงหาผลของการประสานของสัญญาณและระบบต่อไปนี้ 01040311 สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันเป็นการแมปจากโดเมน t เป็น โดเมน s = +j t X(t)  j X(s) ระนาบ s นำเสนอเซตของสัญญาณซึ่งจะทำให้เอาท์พุทของระบบ LTI ที่กำหนดลู่เข้าหรือลู่ออก( blow up) 01040311 สัญญาณและระบบ

Absolute Region of Convergence เรียกสั้น ๆ ว่า Region of Convergence: ROC(ย่านการลู่เข้า) นิยาม การแปลงลาปลาสแบบสองทางจะลู่เข้าจากบางค่าของ Re{s}() ค่าของ s การแปลงลาปลาสแบบสองทางซึ่งให้ ROC ขึ้นอยู่กับ h(t) 01040311 สัญญาณและระบบ

Absolute Region of Convergence นิยาม j  a ROC ระนาบ s 01040311 สัญญาณและระบบ

Absolute Region of Convergence กรณีระบบเป็น causal เช่น 01040311 สัญญาณและระบบ

Absolute Region of Convergence ถ้า เนื่องจากเทอม เป็นสัญญาณซายน์ กำหนดว่า H(s)เข้าสู่อนันต์หรือไม่ เทอม เป็น ลบ หรือ 0 เทอม มีกำลังเป็นบวกระบบไม่ลู่เข้า 01040311 สัญญาณและระบบ

เงื่อนไขการลู่เข้า Causal Convergence Anti causal Convergence 01040311 สัญญาณและระบบ

Graphical ROC ตัวอย่าง นั่นคือ X(s) จะหาค่าได้ถ้า Re{s} > -a j ROC  -a ROC ระนาบ s นั่นคือ X(s) จะหาค่าได้ถ้า Re{s} > -a 01040311 สัญญาณและระบบ

Graphical ROC ตัวอย่าง j ระนาบ s ROC -a -b  01040311 สัญญาณและระบบ

Absolute Region of Convergence กรณี X(s) เป็นฟังก์ชันเศษส่วน = N(s)/D(s) X(s) จะไม่ลู่เข้าที่ค่า s ซึ่งทำให้ D(s) เป็น ศูนย์ (โพลส์ ของ X(s)) ROCของ ฟังก์ชันเศษส่วน ต้องไม่มีโพลส์ ปรากฏอยู่ ตัวอย่าง j ระนาบ s ROC -2 1  ROC-> -2< Re{s}<1 01040311 สัญญาณและระบบ

การประยุกต์ในการวิเคราะห์ระบบ ระบบLTI 01040311 สัญญาณและระบบ

การวิเคราะห์ระบบ การตอบสนองของระบบLTI (system solution) แก้สมการอนุพันธ์ของระบบ ประสานในโดเมนเวลาระหว่างผลตอบสนองอิมพัลส์กับสัญญาณอินพุท คูณในโดเมนความถี่ระหว่างฟังก์ชันระบบกับสัญญาณอินพุท 01040311 สัญญาณและระบบ

การประยุกต์การแปลงลาปลาสในการวิเคราะห์ระบบ แปลงลาปลาสของสมการอนุพันธ์ของระบบได้เป็นสมการพีชคณิต แก้สมการพีชคณิตแล้วแปลงผกผันคำตอบกลับมาในโดเมนเวลา ก.ไม่มีประจุตกค้าง ข. เมื่อเริ่มแรงดัน คล่อม C1,C2เป็น 5 และ 10โวลต์ ตัวอย่าง vx R1 R2 10v 1M 2M vi c1 c2 vo 0 t  1, 10sint 2F 1F = 0 otherwise 01040311 สัญญาณและระบบ

การประยุกต์การแปลงลาปลาสในการวิเคราะห์ระบบ เฉลย สมการของระบบ เอาต์พุทใน s โดเมน เอาต์พุทใน t โดเมน 01040311 สัญญาณและระบบ

แบบจำลอง LTI เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น H(p) เรียก Operational System Function 01040311 สัญญาณและระบบ

การประยุกต์การแปลงลาปลาสในการวิเคราะห์ระบบ แทน p ด้วย s ได้ฟังก์ชันโอนย้าย (Transfer function):H(s) : Rational Laplace Transform 01040311 สัญญาณและระบบ

การประยุกต์การแปลงลาปลาสในการวิเคราะห์ระบบ ทำ partial fraction แล้วอาจจะอยู่ในรูปแบบ ลำดับที่หนึ่ง ลำดับที่สอง 01040311 สัญญาณและระบบ

การประยุกต์การแปลงลาปลาสในการวิเคราะห์ระบบ ทำ partial fraction แล้วอาจจะอยู่ในรูปแบบ ลำดับสูง 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย สัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s ผลการตอบสนองลำดับแรก (First order response) 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) n เป็น undamped natural frequency  เป็น damping factor 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วยของระบบลำดับสอง ค่ายกกำลังสองความถี่ธรรมชาติของระบบ  = ค่าdamping factor ของระบบ 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) ฟังก์ชันโอนย้าย 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) รากขึ้นอยู่กับค่าของ   >1 รากจำนวนจริงไม่เท่ากันสองราก  =1 รากจำนวนจริงเท่ากันสองราก  <1 รากจำนวนเชิงซ้อนไม่เท่ากันสองราก 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 1 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  >1 Overdamp response 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 1 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s 2n =s1s2 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 2 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  =1 Critical response 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 2 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 2 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s แทน s=0 และ s = - n A=1, C= - n, B = -1 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 3 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  <1 Underdamp response 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 3 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  <1, s เป็นจำนวนเชิงซ้อน A = 1, B = -1, C = -2 n 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 3 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) กรณีที่ 3 01040311 สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) <1;underdamped >1 =1 01040311 สัญญาณและระบบ

<1;underdamped = 0.1 = 0.3 = 0.5 01040311 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอในระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันโอนย้ายใน s โดเมน Proper Rational Laplace Transform ของฟังก์ชัน 01040311 สัญญาณและระบบ

โพลส์(poles)และซีโรส์(zeros) Zmเป็นรากของ sm+bm-1sm-1+…..b0= 0 Zmเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน Zmเป็นซีโรส์(zeros)ของ H(s) Pnเป็นรากของ sn+an-1sn-1+…..a0= 0 Pnเป็นโพลส์(poles) ของ H(s) 01040311 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอโพลส์และซีโรส์บนระนาบเชิงซ้อน ส่วนจินตภาพของ s ตัวอย่าง j1 X -2 -1 ส่วนจริงของ s X -j1 ซีโรส์ของ H(s) X โพลส์ของ H(s) 01040311 สัญญาณและระบบ

การตีความตำแหน่งของโพลส์และซีโรส์ ตำแหน่งของโพลส์บนระนาบเชิงซ้อนแสดงถึงการตอบสนองในแกนเวลาของระบบ   01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองและสเถียรภาพของระบบ เรียก ept ว่าโหมดของระบบ (mode (natural) of the system) โหมด แสดง สมบัติทางกายภาพ(ตามธรรมชาติ) ของระบบ 01040311 สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบตามตำแหน่งของโพลส์ ทุกโพลส์มี   ความถี่ธรรมชาติค่อย ๆ ลดลง เรียกทรานเชียนส์ การตอบสนองจากภายนอกจะเห็นเด่นชัดกับผลตอบสนองของระบบระบบเสถียร มีโพลส์หนึ่งซึ่งมี    ความถี่ธรรมชาติไม่ลดลงระบบออสซิเลตคลื่นรูปซายน์ระบบระบบเกือบเสถียร ทุกโพลส์มี   ความถี่ธรรมชาติค่อย ๆ เพิ่มอย่างเอ็กโปเนนเชียล การตอบสนองจากภายนอกจะไม่มีกับผลตอบสนองของระบบระบบไม่เสถียร เช่นเดียวกับเกิดโพลส์ซ้ำบนแกนจินตภาพ    01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองและสเถียรภาพของระบบ กรณีที่ 1 โพลส์อยู่บนแกนค่าจริงของระนาบ s = a ได้โหมดเป็น eat t0 X  j 01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองและสเถียรภาพของระบบ กรณีที่ 2-3 โพลส์เป็นค่าเชิงซ้อนสังยุกต์บนระนาบ c(t) P = +j 01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองและสเถียรภาพของระบบ กรณีที่ 2-3 j X X X X X  X X X X X เสถียร ไม่เสถียร 01040311 สัญญาณและระบบ

BIBO stability เงื่อนไขที่จำเป็นและพอเพียง   H(s) จะเสถียรแบบ BIBO ถ้าทุกโพลอยู่บนระนาบด้านซ้ายมือ ตัวอย่าง...... 01040311 สัญญาณและระบบ

Laplace Domain Phasor 01040311 สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง การตอบสนองของระบบลำดับที่สอง ตำแหน่งของโพลส์ 01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองของระบบลำดับที่สอง X  j n n  01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบ ด้วยการแทน s = j ในฟังก์ชันโอนย้าย นั่นคือหาค่า H(s)ตามแกน จินตภาพ 01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบ ระบบลำดับที่หนึ่ง 01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่หนึ่ง s = j L X  -1/T 01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่หนึ่ง  1 -900   01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่สอง มีโพลส์อยู่ที่ 01040311 สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่สอง j X L2 L1 j L1 2 X L2 1 01040311 สัญญาณและระบบ

แผนภาพองค์ประกอบพื้นฐานของระบบ ตัวดำเนินการบวก ลบ y(t) y(t) Ky(t) y(t) K อินทีเกรเตอร์ ดิฟเฟอเรนทิเอเตอร์ ตัวคูณทางขนาด 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบ ระบบLTI 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบ แทน ด้วยตัวดำเนินการอนุพันธ์ Dn และ M=N คูณด้วย D-N 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบตามฟังก์ชันลาปลาส แผนภาพของระบบลำดับที่ n (Direct form) แผนภาพของระบบลำดับที่ n (Monolithic form) 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส แปลงลาปลาส 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส ฟังก์ชันโอนย้าย H(s) ประมาณว่า M=N 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส y(t) อินทีเกรเตอร์ y(t) ดิฟเฟอเรนทิเอเตอร์ 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส Y(s) X(s) an + + + + an-1 -bn-1 + + -b1 a1 -b0 a0 Direct form 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส Y(s) X(s) + an + + + -bn-1 an-1 + + -b1 a1 -b0 a0 Monolithic form 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส ฟังก์ชันถ่ายโอน H(s) 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส หรือ 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส Y(s) X(s) a0 + + + + a1 -b1 + + -bn-1 an-1 -bn an Direct form 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส Y(s) X(s) + a0 + + + -b1 a1 + + -bn-1 an-1 -bn an Monolithic form 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส ตัวอย่าง จงเขียนไดอะแกรมแบบจำลองของระบบซึ่งมีฟังก์ชันโอนย้ายเป็น 01040311 สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบ ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบซึ่งมีระบบย่อย 3 แบบ Cascade Parallel Feedback 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบCascade Y1(s) X(s) Y(s) 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบ Parallel Y(s) X(s) + 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบ Feedback e(t) + x(t) y(t) 01040311 สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบ Feedback e(t) + x(t) y(t) - Negative Feedback 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป การแปลงลาปลาสนำเสนอฟังก์ชันเวลาในรูป superposition ของ complex exponentials ฟังก์ชันเวลามีการแปลงลาปลาสถ้ากำหนด ROC ขึ้นมาได้ การแปลงลาปลาสของผลบวกของฟังก์ชันเวลาแบบ causal และ anti-causal จะเกิดใน ROC เป็นแถบขนานกับแกน j ในระนาบ s ใน ROC จะไม่มี โพลส์อยู่ โพลส์คือตำแหน่งในโดเมนลาปลาสซึ่งไม่มีการแปลงลาปลาส ซีโรส์ตำแหน่งในโดเมนลาปลาสซึ่งการแปลงลาปลาสเป็นศูนย์ 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป การแปลงลาปลาสมีสมบัติเหมือนกับการแปลงฟูเรียส์ยกเว้นกรณีอนุพันธ์ของฟังก์ชันเวลา กับ initial & final value theorem การแปลงลาปลาสทำได้โดยการอินทีเกรตโดยตรงหรือใช้สมบัติของการแปลง การแปลงลาปลาสผกผันมักใช้การทำ Partial Fraction ของฟังก์ชันลาปลาสแล้วเทียบกับการแปลงลาปลาสฟังก์ชันพื้นฐาน การแปลงลาปลาสผกผันยังทำได้โดยใช้ วิธีอนุกรม อินทีเกรตโดยใช้ทฤษฏี residue 01040311 สัญญาณและระบบ

สรุป บล็อกไดอะแกรมของระบบเขียนในเทอมลาปลาสโดยเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้อญุ่ในเทอมลาปลาส การวิเคราะห์สเถียรภาพของระบบทำได้โดยสังเกตตำแหน่งของโพลส์ในโดเมนลาปลาสที่เป็น Isolated Singular Points การสังเกตตำแหน่งของโพลส์(และซีโรส์)ดูได้จาก Proper Rational Laplace Transform ของฟังก์ชัน ตำแหน่งของโพลส์จะอยู่นอก ROC เสมอ ผลตอบสนองความถี่ของระบบสามารถหาได้จากตำแหน่งโพลส์-ซีโรส์โดยวิธีกราฟฟิกส์ 01040311 สัญญาณและระบบ