หน่วยที่ 1 ปริมาณทางฟิสิกส์ และเวกเตอร์ หน่วยที่ 1 ปริมาณทางฟิสิกส์ และเวกเตอร์

ประเภทของปริมาณทางฟิสิกส์ 1. ปริมาณพื้นฐาน (basic quantity) 2. ปริมาณอนุพันธ์ (derived quantity) ปริมาณพื้นฐาน : เป็นปริมาณที่ได้จากการวัดโดยตรง เช่น มวลและความยาว ปริมาณอนุพันธ์ : เป็นปริมาณที่ได้จากการนำปริมาณพื้นฐานมาผสมผสานกัน เช่น แรงและงาน

ปริมาณพื้นฐาน 7 ชนิด

ปริมาณอนุพันธ์

คำอุปสรรค (prefixes) ใช้นำหน้าหน่วยเพื่อความสะดวกในการบอกขนาดของหน่วยที่มีขนาดใหญ่หรือเล็กมากๆ

ชนิดของปริมาณทางฟิสิกส์ 1. ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) 2. ปริมาณเวกเตอร์ (vecter quantity) ปริมาณสเกลาร์ : บอกขนาดอย่างเดียว ก็มีความหมายสมบูรณ์ เช่น ระยะทางและอัตราเร็ว ปริมาณเวกเตอร์ : ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทางจึงจะมีความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัดและความเร็ว *** การรวมปริมาณสเกลาร์สามารถรวมกันทางพีชคณิต เพื่อหาขนาดอย่าง เดียวแต่การรวมปริมาณเวกเตอร์ต้องพิจารณาทิศทางด้วย

2.1 สเกลลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) เวกเตอร์คือปริมาณที่มีขนาดและพร้อมทั้งการบ่งบอกทิศทาง สัญญาลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์ a ขนาดของเวกเตอร์ a = | a | เวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยในทิศของ a คือ ea = a / a ปริมาณทางฟิสิกส์ที่เป็นเวกเตอร์ได้แก่ การขจัด ความเร็ว ความเร่ง แรงชนิดต่างๆ

2.1 สเกลลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ) การกลับทิศเวกตอร์ คูณเวกเตอร์ด้วย -1 a - a การย่อขนาดเวกเตอร์ คูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนที่น้อยกว่า 1 เช่น 0.5 a การขยายขนาดเวกเตอร์ คูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนที่มากกว่า 1 เช่น 1.5 a

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิงตั้งฉาก 2 มิติ โดยที่ i และ j คือเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยในแนวแกน x และ y ตามลำดับ | i | = | j | =1 y x i j

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ (ต่อ) เวกเตอร์ a ใดๆใน 2 มิติเขียนได้ดังนี้ a = ax i + ay j โดยที่ ขนาดของเวกเตอร์ a ที่ฉายลงบนแกน x ≡ ax = a cos Ө ขนาดของเวกเตอร์ a ที่ฉายลงบนแกน y ≡ ay = a sin Ө y x ax ay ө a

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ (ต่อ) สังเกตว่า ax2 + ay2 = a2 tan Ө = ay / ax

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ (ต่อ) เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิงตั้งฉาก 3 มิติ โดยที่ i, j และ k คือเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยในแนวแกน x,y และ z ตามลำดับ | i | = | j | = | k | =1 z y j k i x

2.2 เวกเตอร์ในระบบแกนอ้างอิง 2 และ 3 มิติ (ต่อ) เวกเตอร์ a ใดๆใน 3 มิติเขียนได้ดังนี้ a = ax i + ay j + az k โดยที่ ax = a sin Ө cos φ ay = a sin Ө sin φ az = a cos Ө z y ay az ax x ө φ a

2.3 การรวมเวกเตอร์ การรวมเวกเตอร์ ทำได้ 2 วิธีคือ 1. โดยวิธีเขียนรูปภาพ 2. โดยวิธีการรวมตามส่วนประกอบ

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) 1.โดยวิธีเขียนรูปภาพ นำหางเวกเตอร์ตัวหนึ่งไปต่อกับหัวเวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง เวกเตอร์ลัพธ์ คือ เส้นตรงที่ลากจากหางของเวกเตอร์ตัวแรก ไปยังหัวของ เวกเตอร์ตัวสุดท้าย

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) สมมุติว่า a และ b เป็นเวกเตอร์ใดๆ การรวมกันทำได้ดังรูปข้างล่างนี้ จากรูปจะเห็นว่า a + b = b + a หมายความว่า เราสามารถสลับลำดับของการรวมเวกเตอร์ได้ a b a + b

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) สมมุติว่า d, e และ f เป็นเวกเตอร์ใดๆ การรวมกันทำได้ดังรูปข้างล่างนี้ จากรูปจะเห็นว่า d + (e + f) = (d + e) + f หมายความว่า เราสามารถสลับกลุ่มของการรวมเวกเตอร์ได้ d e f d + e e + f d + e + f

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) ประโยชน์ของการรวมเวกเตอร์โดยรูป 1.ในกลศาสตร์ การรวมแรงโดยรูปทำให้เห็นภาพของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ 2.ถ้านำเวกเตอร์แรงทั้งหลายต่อกันแล้วไม่ได้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิด แสดงว่าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุไม่เป็นศูนย์ วัตถุจะไม่อยู่ในสมดุลของแรงและมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งตามทิศของแรงลัพธ์ 3.แต่ถ้านำเวกเตอร์แรงทั้งหลายต่อกันแล้วได้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปิด แสดงว่าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ วัตถุจะอยู่ในสมดุลของแรงและจะอยู่กับที่หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

2.3 การรวมเวกเตอร์ (ต่อ) 2. โดยวิธีการรวมตามส่วนประกอบ เช่น a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k จะได้ว่า a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) k

2.4 การคูณเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ตัวหนึ่งเข้ากับเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งมี 2 แบบคือ 1. ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product) 2. ผลคูณเวกเตอร์ (Vector product)

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) 1. ผลคูณสเกลาร์ (Scalar product) ผลคูณสเกลาร์คือการคูณเวกเตอร์สองตัวแล้วได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณ สเกลาร์ ซึ่งมีนิยามในการคูณดังนี้ a  b = ab cos Ө โดยที่เวกเตอร์ a และ b มีขนาดเท่ากับ a และ b ตามลำดับ และ Ө เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง สังเกตว่า a  b = b  a

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) จากนิยามผลคูณสเกลาร์ a  b = ab cos Ө จะเห็นว่า ถ้า i, j และ k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน x, y และ z แล้ว i  i = 12 cos 0° = 1 ในทำนองเดียวกัน j  j = k  k = 1 แต่ว่า i  j = i  k = j  k = 0 เนื่องจากว่า cos 90° = 0

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ในกรณีที่เวกเตอร์ a และ b เขียนในเทอมของส่วนประกอบดังนี้ a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k จะได้ว่า a  b = ax bx + ay by + az bz ดังนั้นขนาดของเวกเตอร์ a ใดๆ a  a = a2 = ax2 + ay2 + az2 a = (ax2 + ay2 + az2)1/2 เวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยในทิศของ a คือ ea = a / a

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ความหมายของผลคูณสเกลาร์เป็นไปได้ 2 ทาง a  b = a (b cos Ө) = b (a cos Ө) a b Ө b cos Ө a b Ө a cos Ө

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ผลคูณเวกเตอร์ (Vector product) ผลคูณเวกเตอร์คือการคูณเวกเตอร์สองตัวแล้วได้ผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ตัวใหม่ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์ทั้งสองดังรูปข้างล่างนี้ a b c = a  b Ө c′ = b  a

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ผลคูณเวกเตอร์มีสัญญลักษณ์ในการคูณเป็นดังนี้ c = a  b โดยที่ขนาดของเวกเตอร์ c คำนวณได้ตามนิยามนี้ c = |a  b| = ab sin Ө สังเกตว่า b  a = - a  b

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) i k j ตามรูปและนิยามของขนาดข้างต้น ถ้า i, j และ k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน x, y และ z แล้วจะได้ว่า i  j = k = - j  i j  k = i = - k  j k  i = j = - i  k เนื่องจากว่า sin 90° = 1 สังเกตว่า i  i = j  j = k  k = 0 เนื่องจากว่า sin 0° = 0 i k j

2.4 การคูณเวกเตอร์ (ต่อ) ในกรณีที่เวกเตอร์ a และ b เขียนในเทอมของส่วนประกอบดังนี้ a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k จะได้ว่า a  b = (ay bz - az by ) i + (az bx - ax bz ) j + (ax by - ay bx ) k =

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a  b i j k 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย a  b i j k -j -k -i