Summations and Mathematical Induction Benchaporn Jantarakongkul 1 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Summation Notation กำหนดลำดับ {an}, จำนวนเต็มที่เป็นขอบล่าง(lower bound) j0, และจำนวนเต็มที่เป็นขอบบน(upper bound) kj, ดังนั้นผลรวมของ {an} จาก j ถึง k นิยามได้ดังนี้: ในที่นี้เรียก i ว่าดัชนีของการบวก 2 Faculty of Informatics, Burapha University

Simple Summation Example หรือใช้ฟังก์ชั่นข้อความ(predicate)ในการนิยามเซตของสมาชิก ที่จะนำมา หาผลรวมได้ เช่น: ( ) 3 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Summation Examples การเขียนสัญลักษณ์แทนผลรวม 1000 เทอมของลำดับ {an} เมื่อกำหนด an=n2 โดยที่ n = 1, 2, 3, … ? เขียนได้ดังนี้ จงหาค่าของ ? จะได้ว่า 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 จงหาค่าของ ? ตัวอย่างนี้ หากค่อยๆหาผลรวมจนครบทุกเทอมอาจต้องใช้เวลานาน… 4 Faculty of Informatics, Burapha University

Euler’s Trick ในการหาสูตรรูปแบบปิดของ พิจารณาผลรวม ต่อไปนี้: 1+2+…+(n/2)+((n/2)+1)+…+(n-1)+n จะเห็นว่ามีสมาชิกทั้งหมด n/2 คู่ แต่ละคู่รวมกันมีค่าเท่ากับ n+1, ดังนั้นผลรวมทั้งหมดจึงมีค่าเท่ากับ (n/2)(n+1) ทำให้สามารถหาผลรวมได้ง่ายขึ้น ตัวอย่าง เช่น: n+1 … n+1 n+1 5 Faculty of Informatics, Burapha University

Summation Manipulations เอกลักษณ์การหาผลรวม เช่น: (กฎการแยกสัมประสิทธิ์) (กฎการกระจาย) ถ้า j  m  k (การแยกอนุกรม) 6 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Example จงหาค่าของ =5∙11∙21- 10∙11+40 = 1085 # 7 Faculty of Informatics, Burapha University

Some Shortcut Expressions อนุกรมเรขาคณิต(Geometric series) กฎของออยเลอร์(Euler’s trick) อนุกรมกำลังสอง(Quadratic series) อนุกรมกำลังสาม(Cubic series) 8 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Using the Shortcuts ตัวอย่าง เช่น: จงหาค่า . ใช้กฎการแยกอนุกรม หาค่าผลรวมที่ต้องการ ใช้กฎอนุกรมกำลังสอง คำนวณหาค่า 9 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Nested Summations ตัวอย่าง จงหาค่าผลรวมต่อไปนี้ ตัวอย่าง: 10 Faculty of Informatics, Burapha University

Mathematical Induction 11 Faculty of Informatics, Burapha University

Mathematical Induction หลักของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์(mathematical induction) เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์เพื่อให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นของประพจน์ใดๆเป็นจริง สำหรับเลขจำนวนนับทุกจำนวน (คือใช้พิสูจน์ประพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ n P(n) ว่าเป็นจริง เมื่อ nN) ถ้าเรามีฟังก์ชั่นของประพจน์ P(n) และเราต้องการพิสูจน์ว่า P(n) นั้นเป็นจริง สำหรับทุกค่าจำนวนนับ n พิสูจน์ได้ดังนี้: [Basis step] ต้องแสดงว่า P(0) เป็นจริง [Inductive step] k P(k)P(k+1) คือ ต้องแสดงว่า ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k + 1) เป็นจริง สำหรับทุกค่า kN [Conclusion] ดังนั้น P(n) ต้องเป็นจริง สำหรับทุกค่า nN 12 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Example 1 จงพิสูจน์ว่า n  1 P(n) โดยที่ P(n) = “ผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่เป็นคี่ n ตัวแรก มีค่าเท่ากับ n2” หมายถึงการพิสูจน์ว่า: พิสูจน์โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ Basis step : ให้ n=1 ผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่เป็นคี่ 1 ตัวแรก มีค่าเท่ากับ 12 (จริง) P(n) 13 Faculty of Informatics, Burapha University

Example 1 Inductive step: พิสูจน์ว่า k1: P(k)P(k+1) ดังนั้น จากหลักของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า P(n) จริง นั่นคือผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่เป็นคี่ n ตัวแรก มีค่าเท่ากับ n2 จากสมมติฐานที่ว่า P(k)เป็นจริง 14 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Example 2 จงแสดงว่า สำหรับ n ทุกจำนวนซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่มีค่าไม่เป็นลบ 1+2+22+23+…+2n = 2n+1 –1 ให้ P(n) เป็นประพจน์ซึ่งทำให้สูตรข้างต้นเป็นจริง Basis step: P(0) เป็นจริง เพราะ 20 =1= 21-1 Inductive step: สมมติว่า P(k) เป็นจริง ต้องแสดงว่า P(k+1) เป็นจริงด้วย 15 Faculty of Informatics, Burapha University

Example 2 - Inductive Step P(k) เป็นจริง หมายความว่า 1+2+22+…+2k = 2k+1 –1 เราจำเป็นต้องแสดงว่า 1+2+22+…+2k+1= 2(k+1)+1 –1 1+2+22+…+2k+1 = 1+2+22+…+2k +2k+1 = (2k+1 –1) +2k+1 = 2.2k+1 – 1 = 2k+2 –1 จากทั้งสองขั้นตอนตามหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จึงสรุปได้ว่า 1+2+22+23+…+2k = 2k+1 –1 จริง □ 16 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Example 3 ตัวอย่าง : สำหรับจำนวนเต็มใดๆ n ≥ 1 จะได้ว่า Proof: Basis step : เมื่อ n = 1 สมการข้างบนเป็นจริงเพราะ Inductive step: สมมติสมการข้างต้นเป็นจริงที่ k นั่นคือ สมมติว่า และพิสูจน์ให้ได้ว่าสมการยังคงเป็นจริงที่ k+1 ด้วย 17 Faculty of Informatics, Burapha University

Faculty of Informatics, Burapha University Example 3 ดังนั้น จะได้ว่า, นั่นคือ สมการยังคงเป็นจริงที่ k+1 เสร็จสิ้นการพิสูจน์ขั้นตอน inductive step ดังนั้นสรุปได้ว่า P(n) ต้องเป็นจริง สำหรับจำนวนใดๆ nN นั่นคือ 1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2 เป็นจริงสำหรับทุกจำนวน nN □ 18 Faculty of Informatics, Burapha University